余明波

考題得分情況分為三種：滿分、零分、部分分.得零分、部分分都屬于答題失誤.答題失誤出在“會(huì)而不對、對而不全、全而不憂”的問題上.那么如何使失敗者的教訓(xùn)變?yōu)槲覀兂晒?jīng)驗(yàn)?zāi)?？下面我們以例說法，總結(jié)提高.

一、知識(shí)性失誤

答題失誤難以避免，小失誤有時(shí)失誤不小.但只要我們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，就一定能在失誤中求得真知.注重答題失誤糾正、辨析，是落實(shí)雙基的有效過程，知識(shí)性失誤的突出表現(xiàn)就是概念不清，公式記誤，定理用錯(cuò)等.

1.概念性失誤.

對每一個(gè)數(shù)學(xué)語言問題，要理解并順利地解決，關(guān)鍵一點(diǎn)是概念上不能有半點(diǎn)含糊.

例1：四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的方法共有種（用數(shù)字作答）.

說明1：本題主要考查排列和組合的概念及兩個(gè)基本原理的應(yīng)用及分析和解決問題的能力.

思考①從4個(gè)不同的球中先取2個(gè)放入第一個(gè)盒子中，共有C種取法，再把剩下的2個(gè)球放入其余3個(gè)盒子里，使每個(gè)盒子至多放入一個(gè)球，共有A種方法。這就保證有一個(gè)盒子里放入2個(gè)球，而有一個(gè)盒子是空的，故放法總數(shù)CA=36種.

思考②先收起一個(gè)盒子有C種，讓4個(gè)球都放入其余3個(gè)盒子里，為保證這3個(gè)盒子中出現(xiàn)空盒，就必須有一個(gè)盒子放進(jìn)2個(gè)球，其余的2個(gè)盒子各放入一個(gè)球，故放法總數(shù)CAA=288種.

思考①失誤的原因是沒有考慮到作為第一個(gè)盒子放入2個(gè)球，應(yīng)該有4種情況，忽視加法原理.

思考②失誤在其中不是A，而是C——排列組合概念理解不深.

說明2：對于概念性問題的處理，一定要認(rèn)真審題、深入理解、綜合運(yùn)用.

2.定理運(yùn)用失誤.

熟記法則、公式，準(zhǔn)確運(yùn)用定理，是提高運(yùn)算能力的基本要求，然而在諸多考題中，這方面的失誤屢見不鮮.

例2.設(shè)等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，若S+S=2S，求該數(shù)列的公比q（q∈R）.

說明1：本題主要考查等比數(shù)列公式、解方程方法及計(jì)算能力.

解法一：由S+S=2S得a+a+a+2（a+a+a）=0

∴（a+a+a）（1+2q）=0，即a（1+q+q）（1+2q）=0

又∵a≠0∴（1+q+q）（1+2q）=0

∵q∈R∴1+q+q≠0

∴1+2q=0

∴q=-

解法二：S=S+qSS=S+qS+qS

代入S+S=2S

得2S+qS=2S+2qS+2qS

∵S=a（1+q+q）=a［（q+）+］≠0

∴1+2q=0∴q=-

解此題的思路比較寬，方法多，隨之反映出失誤也是多方面的.

失誤1：錯(cuò)把S、S、S當(dāng)成數(shù)列通項(xiàng)代入S+S=2S，得aq+aq=2aq.

失誤2：利用求和公式直接代入S+S=2S，而不討論q≠1，犯了忽視公式成立條件的錯(cuò)誤.

失誤3：把前n項(xiàng)和公式錯(cuò)記為S=，S=代入S+S=2S，得出錯(cuò)上加錯(cuò)的“正確”結(jié)論2q+q=0.

說明2：像此類著重于公式運(yùn)用，判別定理成立條件的這方面問題的處理，錯(cuò)誤的教訓(xùn)就是公式掌握不牢，定理記憶不清，導(dǎo)致勞而無功.

二、非知識(shí)性失誤

由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之外的其他因素造成的考題失分稱為非知識(shí)性失誤，其主要體現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)性失誤、心理性失誤、邏輯性失誤及策略性失誤上.

1.經(jīng)驗(yàn)性失誤.

解題的規(guī)律性、表述的準(zhǔn)確性、思維的習(xí)慣性與個(gè)人的治學(xué)態(tài)度是否嚴(yán)謹(jǐn)有著密切關(guān)系.不良的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)會(huì)帶來知識(shí)與能力，技能與技巧，靈活與善變諸方面的綜合負(fù)效應(yīng).

例3.解不等式log＞1

考生的失誤解答：

解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式為1-＞0，且1-＞a，∴＜x＜0；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式為1-＞0，且1-＜a，∴1＜x＜.

故不等式的解答為：a＞1時(shí)，＜x＜0；0＜a＜1時(shí)，1＜x＜.

以上解法基本上無知識(shí)性失誤.但是，根據(jù)解答題的要求，存在論證過程不詳、表述不準(zhǔn)確、文字說明過于簡單的“輕而易舉”的經(jīng)驗(yàn)性失誤，認(rèn)為此題不難，三步兩步寫個(gè)過程，就完成任務(wù)，這種不良的解題意識(shí)，應(yīng)值得每位學(xué)生都引起重視.

2.心理性失誤.

應(yīng)試中出現(xiàn)的心理性失誤，主要是由于考生緊張、急躁心煩、掉三落四等非智力因素所致.因此，平時(shí)對考生進(jìn)行一些必要的心理素質(zhì)的應(yīng)試訓(xùn)練，是必要的.

例4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明函數(shù)f（x）=-x+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù).

證明：∵y=x在［-∞，+∞］上是增函數(shù)

∴y=x在（-∞，+∞）上也是增函數(shù)

∴當(dāng)-∞＜x＜x＜+∞時(shí)，f（x）-f（x）=x-x＜0

故函數(shù)f（x）=-x+1在（-∞，+∞）上是減函數(shù).

這樣的證明最多只能得部分分，失誤的原因在于：求勝心切、答非所問，違背命題的意圖：要求你用單調(diào)性定義證明及送給你得分的題，卻沒得全分.

3.邏輯性失誤.

邏輯思維對解題的基本要求是：推理要有根據(jù)，論證要有說服力，否則就會(huì)產(chǎn)生不同程度的邏輯性失誤.

例5：設(shè)對所有實(shí)數(shù)x，xlog+2xlog+log＞0恒成立，求a取值范圍.

解：∵題設(shè)對一切x∈R不等式成立

∴當(dāng)x=0時(shí)，不等式也成立，則

log＞0，即＞1，由定義域得＞0∴0＜＜1，解得0＜a＜1.

此題解得結(jié)論純屬巧合.因?yàn)椋嬖诿黠@的邏輯性失誤，以時(shí)不等式恒成立這個(gè)必要條件代替了為所有實(shí)數(shù)時(shí)不等式恒成立的充要條件，這是一個(gè)原則性的大失誤.

4.策略性失誤.

策略性失誤，主要表現(xiàn)在解題過程中沒有對問題進(jìn)行分析、聯(lián)想，使問題簡化——簡化策略，或使問題轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化策略，具有這種把未知解法的問題簡化或轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的一種思維策略的能力，是我們減少策略性失誤的根本保證.

例6.已知：直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8），關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程.

解：設(shè)直線L和拋物線C的方程分別為y=kx（k≠0）與y=2px（p＞0）

A、B兩點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x，y），B（x，y），根據(jù)題意：方程有六個(gè)獨(dú)立方程，求解的六個(gè)未知數(shù)，從理論上講可解，但要相當(dāng)細(xì)心，由于未知數(shù)較多，計(jì)算過程比較復(fù)雜，學(xué)生會(huì)望而生畏從而陷入困境，導(dǎo)致解題失誤，這就是轉(zhuǎn)化策略的失誤.顯然，解決本題的關(guān)鍵是將“形”的一些幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)和式的等價(jià)表達(dá).

三、能力性失誤

數(shù)學(xué)由于其邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的準(zhǔn)確性和應(yīng)用的廣泛性的特點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生能力的過程中發(fā)揮著重要作用，被稱為鍛煉人們思維的“體操”.不少學(xué)生盡管已掌握了“三基”，具有“四能”，但是不能綜合體現(xiàn)出解題能力，造成綜合解決問題的能力性失誤.

1.運(yùn)算失誤.

學(xué)生在運(yùn)算能力方面存在的主要問題是準(zhǔn)確性差、運(yùn)算速度慢及運(yùn)算不合理，雖然在掌握公式、法則等方面也達(dá)到了熟練程度，但由于缺少由“熟記理解”向“靈活運(yùn)用”的轉(zhuǎn)化能力，致使出現(xiàn)運(yùn)算能力的綜合性失誤.

在解題中不少同學(xué)由于運(yùn)算失誤，直接影響歸納思維能力的發(fā)揮，導(dǎo)致解題的綜合能力性失誤.有的雖然解出，但用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，運(yùn)算有誤，無法得到正確結(jié)論，最后不得不下一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論或減少中間過程，投機(jī)取巧蒙混過關(guān).因此，我們在解題的時(shí)候應(yīng)進(jìn)行歸納推理，準(zhǔn)確地運(yùn)算得出正確的答案.

2.分析不透，思維受阻.

解題的訣竅之一就是會(huì)分析，對一道考題的分析就是要抓住知識(shí)考點(diǎn)、要點(diǎn)，利用顯露出來的條件挖掘隱含條件，分析透徹，使問題明朗化.