劉金曉

【摘要】目前重解題輕概念、重結(jié)論輕過程的現(xiàn)象很普遍，這樣數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就長(zhǎng)期處在一個(gè)被忽略的地位，不少同學(xué)也就忽視了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，而事實(shí)上數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓和靈魂，是學(xué)生進(jìn)行計(jì)算、解題的依據(jù)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的良好素材.因此，在新課程改革教學(xué)中抓緊抓好概念的學(xué)習(xí)是非常重要的.本文從學(xué)生的層面談?wù)剶?shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】概念；學(xué)習(xí)

一、建構(gòu)主義的概念學(xué)習(xí)

建構(gòu)主義的最早提出者是瑞士心理學(xué)家皮亞杰，他對(duì)于建構(gòu)主義的基本觀念是：兒童在和四周的環(huán)境相互影響時(shí)，慢慢獲得有關(guān)大千世界的知識(shí)，這樣自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到了發(fā)展.其中相互作用涉及三個(gè)基本過程：同化、順應(yīng)和平衡、個(gè)體將外部刺激所提供的信息整理到自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程叫做同化.順應(yīng)指?jìng)€(gè)體原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)受到外部刺激而發(fā)生變化的過程.平衡指?jìng)€(gè)體通過自我調(diào)節(jié)使認(rèn)知發(fā)展從一個(gè)平衡點(diǎn)到另一個(gè)較高平衡點(diǎn)變化的過程.他認(rèn)為，人類智慧的實(shí)質(zhì)，就是同化和順應(yīng)間的平衡過程，個(gè)體受到新的刺激時(shí)，就會(huì)用原有圖示去同化.若成功，就會(huì)出現(xiàn)短時(shí)間的平衡；若不成功，個(gè)體就會(huì)調(diào)動(dòng)以前的圖式或新建一個(gè)圖式，直到最后認(rèn)知上達(dá)到新平衡.兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在“平衡——不平衡——新的平衡”的循環(huán)中不斷地豐富、提高和發(fā)展的.建構(gòu)主義教學(xué)論的本質(zhì)：建立一類認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí).建構(gòu)主義對(duì)概念學(xué)習(xí)的積極方面：(1)數(shù)學(xué)概念是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，并不是客觀實(shí)在被主體簡(jiǎn)單的、被動(dòng)的反映；(2)在建構(gòu)的過程中主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用，并處于不斷的發(fā)展之中.

二、學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)來自學(xué)校學(xué)習(xí)和日常生活，它對(duì)新概念的學(xué)習(xí)有積極作用和消極作用.

1被極作用

因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)之間本身是有連續(xù)性的，又根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展的理論，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)往往是從原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來出發(fā)去理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系及性質(zhì)，若成功，就獲得短暫的平衡；若不成功，學(xué)生就會(huì)建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或調(diào)節(jié)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，去順應(yīng)新概念，最終獲得成功.因此學(xué)生要想牢固掌握所學(xué)新概念，就必須依靠原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).理解概念本質(zhì)的前提是豐富的經(jīng)驗(yàn)，一名學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越完善，表明他的生活經(jīng)驗(yàn)就越豐富，這樣獲得概念的效果更好.因此學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一定要學(xué)好前面的知識(shí)，否則就會(huì)影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，因?yàn)閷W(xué)習(xí)者如果不具備與新概念有關(guān)的知識(shí)就很難全面認(rèn)識(shí)和理解新知識(shí)，此時(shí)新舊知識(shí)又出現(xiàn)了斷鏈，形成了不連通的網(wǎng)絡(luò)，如果再繼續(xù)下去，就會(huì)出現(xiàn)更大面積的破網(wǎng)，所以學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)很重要.

2畢極作用

日常概念具有模糊性、廣泛性和多義性，很容易導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤理解數(shù)學(xué)概念，因?yàn)橛行└拍畹娜粘Ｓ谜Z(yǔ)的含義和數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)不一致，例如數(shù)學(xué)中的“或”“和”等概念，這樣就會(huì)使得學(xué)生在掌握概念的過程中遇到困難，產(chǎn)生誤解形成錯(cuò)誤概念，而當(dāng)學(xué)生建構(gòu)了錯(cuò)誤概念，就算學(xué)習(xí)了科學(xué)的概念，但是這種先入為主的觀念依然存在于他們的潛意識(shí)里，美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家戴維斯教授就曾說過這種錯(cuò)誤觀念的頑固性.另外，學(xué)生生活在客觀世界中，在學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念之前，就已經(jīng)有一系列的概念和觀念，但當(dāng)時(shí)受到思維水平的限制，這些概念是片面的或是錯(cuò)誤的，盡管如此，波利亞曾說明了過去的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)才讓我們產(chǎn)生好念頭，因而這些前概念對(duì)學(xué)生概念的學(xué)習(xí)有很大的影響，有的概念已經(jīng)在大腦里形成了一定的理論體系，即已經(jīng)根深蒂固，這樣它就會(huì)抵觸與之相關(guān)的科學(xué)概念，就算接受了，也是一個(gè)錯(cuò)誤概念和科學(xué)概念的混合體.例如，學(xué)生熟悉冪的運(yùn)算律(ab)n=anbn，而出現(xiàn)了錯(cuò)誤m2·n2=(m·n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM·logaN=logaMN等.

三、學(xué)生思維定式

近年來，很多老師抱怨不少學(xué)生做概念的相關(guān)題目時(shí)“一望就會(huì)、一動(dòng)就錯(cuò)”“眼高手低”等，這是因?yàn)閷W(xué)生在解題中出現(xiàn)了思維定式，即用原來的思維方式去學(xué)習(xí)新的概念，或者用原來的方法去理解新概念，這樣就出現(xiàn)了一些慣性錯(cuò)誤，這是因?yàn)橐研纬筛拍钏季S定式了.當(dāng)概念的學(xué)習(xí)從一個(gè)層次轉(zhuǎn)入另一個(gè)層次、從一個(gè)階段轉(zhuǎn)入另一個(gè)階段時(shí)，通過表象網(wǎng)絡(luò)等的作用，對(duì)應(yīng)的思維表象、思維模式、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)便自覺地進(jìn)行了加工，做了不恰當(dāng)?shù)耐茝V，而很多同學(xué)則按照過去的思維，自認(rèn)為是做了合理的推廣，其實(shí)新的層次與原來的層次之間的差異被忽略了，因此學(xué)習(xí)的概念往往是錯(cuò)誤的.通常概念的表象、定義及運(yùn)用在各個(gè)階段的轉(zhuǎn)換過程中也會(huì)不自覺地進(jìn)入思維定式而導(dǎo)致錯(cuò)誤.同時(shí)隨著認(rèn)知層次的發(fā)展數(shù)學(xué)概念是不斷改變的，這時(shí)就要求學(xué)生打破已形成的數(shù)學(xué)概念模式，去建立新概念，但是學(xué)生的思維還是陳舊的，當(dāng)在新的領(lǐng)域里討論問題時(shí)，思維還是不自覺地進(jìn)入了限制的領(lǐng)域，而且同階段的差異性之間也存在著矛盾，導(dǎo)致了學(xué)生學(xué)習(xí)概念的困難.例如函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，在初中是描述的，是作為常量數(shù)學(xué)的函數(shù)，然而到了高中就可以用映射或者別的觀點(diǎn)來描述，其核心是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，因此，若初中過于強(qiáng)調(diào)這種描述性的定義，必然給高中函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來困難，因?yàn)閷W(xué)生的思維已經(jīng)定式.

1毖生概括的能力

心理學(xué)研究表明，學(xué)生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念的抽象性具有層次性的特點(diǎn)，因此在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，只有按照數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)層次，讓概念的學(xué)習(xí)成為一個(gè)螺旋上升的過程，讓抽象程度低的概念成為高層次概括活動(dòng)的具體素材，伴隨著不斷提高的概括活動(dòng)層次，學(xué)生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐漸形成了良好的結(jié)構(gòu)功能的概念體系.這樣學(xué)生才會(huì)準(zhǔn)確地掌握概念的本質(zhì)屬性，然而很多學(xué)生有較低的抽象概括能力，他們不能掌握事物的本質(zhì)屬性，因而影響了數(shù)學(xué)概念的理解和掌握.因?yàn)橹挥懈爬说母拍畈欧奖阌洃?，也有利于遷移，李秉德先生曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中與其說為教遷移而不如說為教概括.如果概括能力差，信息就很快被遺忘或儲(chǔ)存很亂，這樣就影響了概念的同化和順應(yīng)，因此，數(shù)學(xué)教師要注意不斷提高學(xué)生的概括水平，比如可以實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題的情境，并且精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生親自體會(huì)由具體到抽象概括事物本質(zhì)屬性的過程.例如函數(shù)的定義，課本是比較局限的定義F(x)是函數(shù)，而F(F(x))就不明白了，逐漸地深入，這樣有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的概括能力，這樣就有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.

2毖生語(yǔ)言表達(dá)的能力

波利亞認(rèn)為轉(zhuǎn)化是最獨(dú)特的一種智力活動(dòng).因此在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中必須重視確立和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言.教學(xué)實(shí)踐表明，若一名學(xué)生能夠把所學(xué)的數(shù)學(xué)概念的有關(guān)屬性及它們之間的關(guān)系用自己的語(yǔ)言來表述，那么他就容易地把它們應(yīng)用在新的情境，那樣就能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.然而在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生自我語(yǔ)言的形成被很多教師和學(xué)生都忽略了，他們往往認(rèn)為數(shù)學(xué)概念追求的目標(biāo)是形式化的語(yǔ)言，這樣導(dǎo)致的結(jié)果是一方面學(xué)生學(xué)習(xí)的概念是通過不完善的自我語(yǔ)言來建構(gòu)的，另一方面學(xué)生又要記老師教的形式化的語(yǔ)言，同時(shí)又隔離兩者，片面理解了概念，這樣就增加了解決問題的障礙與記憶的負(fù)擔(dān).著名科學(xué)家A.Einsetni曾指出一個(gè)人的智力及學(xué)習(xí)的方法很大程度上是取決于語(yǔ)言，這一精辟論述深刻地揭示了數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力與概念學(xué)習(xí)的密切關(guān)系.因此，對(duì)概念的語(yǔ)言進(jìn)行分解，能使學(xué)生掌握概念應(yīng)用的操作程序，這樣就能更深刻地理解和熟練地運(yùn)用概念.

四、學(xué)生不好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣

方法是成功的必要因素，科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以在一定程度上彌補(bǔ)學(xué)生智力上的不足，而不少學(xué)生有不好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，少部分學(xué)生會(huì)去做筆記和整理錯(cuò)題，相當(dāng)一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，不會(huì)歸納總結(jié)方法，以及忽略不懂的概念.

1毖習(xí)方法

每名同學(xué)有不同的學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)方法不好的同學(xué)開始學(xué)習(xí)成績(jī)差，若不及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，改變學(xué)習(xí)方法，成績(jī)只會(huì)越來越差.當(dāng)與別人的差距到一定程度時(shí)，就很難趕上去，這時(shí)就會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)失去興趣，造成惡性循環(huán)，慢慢就對(duì)自己完全失去了信心.所以學(xué)生會(huì)不會(huì)學(xué)，有沒有好的學(xué)習(xí)方法，會(huì)直接影響到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).很多學(xué)生上課不認(rèn)真做筆記，而人的記憶只能停留幾天，這樣就會(huì)導(dǎo)致遺忘，學(xué)了等于白學(xué).還有的學(xué)生不重視訂正錯(cuò)誤，對(duì)做錯(cuò)的題也不善于從中分析原因，而一個(gè)人的大腦里錯(cuò)誤的觀念是非常頑固的，這樣的后果是之前做錯(cuò)，以后還會(huì)做錯(cuò).當(dāng)然，還有其他的不好的學(xué)習(xí)方法，例如，盲目地解題，不注重理解知識(shí)、領(lǐng)會(huì)方法，只會(huì)死記硬背概念的定義、公式.我認(rèn)為在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，準(zhǔn)備筆記本和錯(cuò)題本是很重要的，因?yàn)楣P記本可以防止學(xué)生的遺忘，并且讓學(xué)生把握重點(diǎn)知識(shí)，錯(cuò)題本可以起到幫學(xué)生避免負(fù)遷移，訂正頭腦里的錯(cuò)誤的觀念的作用.因此，做筆記和訂正錯(cuò)誤是個(gè)很重要的學(xué)習(xí)方法.而學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是需要靠教師和父母來指導(dǎo)的，但是主要是老師，所以老師要加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo).讓學(xué)生珍惜和重視自己的學(xué)習(xí)過程，多嘗試和訓(xùn)練領(lǐng)悟到的學(xué)習(xí)方法，讓它們內(nèi)化成自己的能力，提高自己學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的本領(lǐng).而概念方面的錯(cuò)誤常常是學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)差的主要根源之一.因?yàn)楦拍钍菍W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的奠基石，基礎(chǔ)打好了才能越爬越高.概念的學(xué)習(xí)也需要方法，有好的學(xué)習(xí)方法就能不斷地學(xué)習(xí)到新知識(shí)，逐步使自己有更加好的成績(jī).

2毖習(xí)習(xí)慣

我國(guó)著名教育家葉圣陶先生說過好的學(xué)習(xí)方法可以轉(zhuǎn)化成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，所以我們要養(yǎng)成做筆記和改錯(cuò)題的好習(xí)慣.當(dāng)然還有其他的很多的好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，很多學(xué)生不善于總結(jié)知識(shí)，學(xué)習(xí)了很多知識(shí)，解完了很多題目，都不去總結(jié)、歸類和推廣，以后碰到類似的題目，還是不會(huì)做;還有的學(xué)生不重視學(xué)習(xí)，沒有主動(dòng)性和積極性，習(xí)慣放松，沒有探索的精神.比如一些數(shù)學(xué)成績(jī)差的同學(xué)，不能理解一些概念，與概念相關(guān)的題目也不會(huì)做，就自動(dòng)放棄和忽略了，自己根本不愿意去花時(shí)間思考，也不去弄清楚搞明白.試想：若不經(jīng)歷一個(gè)思考的過程，不經(jīng)過很多思維的碰撞與組合，怎么可能學(xué)好概念？很多學(xué)生在初中就養(yǎng)成了直接套用公式的學(xué)習(xí)模式，而進(jìn)入高中就不同了，同樣的問題，不同的思維角度，將直接影響解題的繁簡(jiǎn)程度.例如求二次函數(shù)的最值，看似它是一個(gè)純代數(shù)的問題，但是用代數(shù)觀點(diǎn)解非常麻煩，若對(duì)解析幾何中的斜率和兩點(diǎn)間的距離公式很熟悉就可以使問題變得非常簡(jiǎn)單.所以平時(shí)養(yǎng)成歸類、總結(jié)和推廣的好習(xí)慣，能輕松解題.另外，認(rèn)真思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以加深對(duì)概念的理解和記憶，從感性認(rèn)識(shí)升華到理性認(rèn)識(shí)，還可以防止死讀書和讀死書，在學(xué)習(xí)時(shí)都能批判地吸收以及激發(fā)靈感，解開困惑.而在實(shí)際的教學(xué)中，我們會(huì)注意到，很多同學(xué)急于求成和急功近利，學(xué)習(xí)概念時(shí)，沒弄清概念的內(nèi)涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判斷和準(zhǔn)確的邏輯推理未能采用多層次的分析，同時(shí)數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于問題解題后的整體思考、回顧和反思，包括都用到哪些概念、數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用是否正確、對(duì)問題的解決有什么獨(dú)特之處、是否可找出另外的方案、能否推廣和遷移等，都被忽視了，從而導(dǎo)致他們的興趣和注意指向偏差，忽視了數(shù)學(xué)過程而偏重?cái)?shù)學(xué)的結(jié)論，而且學(xué)生之間的交流就是比較分?jǐn)?shù)，這樣就很少有同學(xué)去深層次地討論數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程和對(duì)解題方法的影響.這樣學(xué)生就不能完全理解概念，不能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，正確的概念就沒辦法形成，深刻的結(jié)論也難以領(lǐng)會(huì).

數(shù)學(xué)是玩概念的！數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)是用概念思維，是抽象思維；數(shù)學(xué)解題離不開概念，解題又有利于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，相輔相成.讓我們把數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)放在數(shù)學(xué)教學(xué)的首要位置.

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