黨婷 彭乃馳

筆者在獨(dú)立學(xué)院從事微積分、高等數(shù)學(xué)以及大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)多年，每每講到求極限的最重要方法之一——洛必達(dá)法則時(shí)，常發(fā)現(xiàn)學(xué)生——特別是獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生，在使用這個(gè)法則時(shí)常會(huì)犯一些錯(cuò)誤，在求解較難的極限題時(shí)往往感覺(jué)無(wú)從下手.針對(duì)這種現(xiàn)象，筆者在多年從事教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，總結(jié)了在洛必達(dá)法則使用過(guò)程中獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤與注意事項(xiàng).本文對(duì)獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生以及在獨(dú)立學(xué)院從事微積分、高等數(shù)學(xué)與大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)的教育工作者都有很高的參考價(jià)值，對(duì)二本、一本的學(xué)生與教育工作者也有一定的參考價(jià)值.

一、洛必達(dá)法則在使用過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤

1輩還誦問(wèn)剿姹懵矣

洛必達(dá)法則使用的形式應(yīng)當(dāng)是：f(x)g(x)→f′(x)g′(x)，即這個(gè)公式應(yīng)當(dāng)是對(duì)商才好用的一個(gè)公式，而且是把商的分子與分母分別求導(dǎo).但是，有些學(xué)生在使用這個(gè)公式時(shí)往往不注意這一點(diǎn)，比較常見(jiàn)的不顧形式，隨便亂用的情形如下：

（1）誤用成f(x)g(x)→f′(x)g′(x).

例如：求limx→+∞xπ2-arctanx.有些學(xué)生誤解成：

原式=limx→+∞x′π2-arctanx′=limx→+∞-11+x2=0.

（2）誤用成f(x)→f′(x).

例如：求limx→0+xlnx.

有些學(xué)生誤解成：原式=limx→0+(xlnx)′=limx→0+(lnx+1)=-∞.

（3）誤用成f(x)g(x)→f(x)g(x)′.

針對(duì)以上種種現(xiàn)象，教師在講解該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，一定要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)洛必達(dá)法則是對(duì)商才好用的一個(gè)公式，而且這個(gè)公式與商的導(dǎo)數(shù)公式完全不同.把這一點(diǎn)講清楚后，后面在講到用洛必達(dá)法則求0·∞，∞-∞，1∞，00，∞0等型的未定式的極限問(wèn)題時(shí)，就可以很自然的讓學(xué)生想想：求以上這些形式的未定式極限問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？當(dāng)然是先化成商的形式，再去使用洛必達(dá)法則.

2輩還頌跫隨手使用

洛必達(dá)法則使用的條件有三條，其中在使用過(guò)程中需注意的有兩條：①f(x)g(x)為00型或∞∞型；②f′(x)g′(x)的極限存在或?yàn)椤?但是，有些學(xué)生在使用這個(gè)公式時(shí)不注意以上條件隨手使用，又導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

（1）不注意f(x)g(x)為00型或∞∞型的條件.

例如：求limx→0ex-1x2-x.有些學(xué)生誤解成：

原式=limx→0ex2x-1=limx→0ex2=12.錯(cuò)誤的原因在于第一次使用完洛必達(dá)法則后，所得到的極限limx→0ex2x-1已經(jīng)不再為00型或∞∞型，繼續(xù)使用這個(gè)法則，當(dāng)然就導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

（2）不注意f′(x)g′(x)的極限存在或?yàn)椤薜臈l件.

例如：求limx→0x2cos1xln(1+x).

有些學(xué)生誤解成：原式=limx→02xcos1x+sin1x11+x，故原極限不存在.錯(cuò)誤的原因在于使用一次洛必達(dá)法則后所得到的極限limx→02xcos1x+sin1x11+x是振蕩不存在的，所以本題根本就不能使用洛必達(dá)法則來(lái)求.

二、洛必達(dá)法則在使用過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意的事項(xiàng)

把使用洛必達(dá)法則的兩種常見(jiàn)錯(cuò)誤——不顧形式與不顧條件講清楚后，一般就能保證學(xué)生能夠作出相對(duì)較簡(jiǎn)單的洛必達(dá)法則求極限的題目，但是要想讓學(xué)生對(duì)這種法則掌握得更加深入，還能作出相對(duì)較難的洛必達(dá)法則求極限的題目，則還需要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)注意事項(xiàng)：

1比鬴′(x)g′(x)仍滿足法則條件，可連用本法則

例1求limx→+∞ln(x+ex)x.

解原式=limx→+∞1+exx+ex=limx→+∞ex1+ex=limx→+∞exex=1.

本題連續(xù)使用了三次洛必達(dá)法則，最后才得出了正確的答案.

2備梅ㄔ虺Ｓ氳燃郾湫?、重覙O限及等價(jià)無(wú)窮小代換等其他求極限的重要方法一起使用

例2（2012年數(shù)三，三（15））求limx→0ex2-e2-2cosxx4.

本題是2012年數(shù)學(xué)三第三大題第（15）小題，在解答過(guò)程中，只有“(4)”與“(6)”兩步是用到了洛必達(dá)法則，“(3)”與“(7)”兩步用的是等價(jià)無(wú)窮小代換，其他幾步用的是等價(jià)變形.像這種較復(fù)雜的題目，只用洛必達(dá)法則往往很難得出正確答案.

三、結(jié)束語(yǔ)

本文到此已經(jīng)結(jié)束，但是并不意味著洛必達(dá)法則的使用我們已經(jīng)研究透徹了，比如，能否用洛必達(dá)法則證明重要極限limx→0sinxx=1？若能，我們的教材是否應(yīng)當(dāng)改寫(xiě)？若不能，這個(gè)極限limx→0sinxx確實(shí)滿足洛必達(dá)法則所有的三個(gè)條件，這是否意味著一般教材所列的洛必達(dá)法則的三個(gè)條件還不夠，還存在第四個(gè)條件？這些問(wèn)題都是我們以后需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題.