于紅平

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新能力，學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)離不開知識和技能的掌握，知識、技能是以方法為中介對能力結(jié)構(gòu)起作用的，數(shù)學(xué)方法中又包含著對數(shù)學(xué)知識和方法起本質(zhì)概括作用的數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、方程(函數(shù))思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想等.所以，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法具有更重要的意義.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程；解法；思想

在“一元二次方程的解法”這一節(jié)中，我們接觸了許多數(shù)學(xué)方法，這是這一章學(xué)習(xí)的重點，只有學(xué)生學(xué)會了這些方法，才能運用它們解決解一元二次方程的問題.那么，在本節(jié)課的設(shè)計中，就必須考慮如何使學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)方法.

一、對一元二次方程四種基本解法的思考

1敝苯涌平方法

當(dāng)方程中一次項的系數(shù)為零時，方程可變形為x2=-ca的形式，或方程是一個含未知數(shù)式子的平方，即(x+a)2=b(b≥0)的形式，才可以用這種方法.

“直接開平方法”具有承上啟下的作用，既可復(fù)習(xí)鞏固有關(guān)“數(shù)的開方”的知識，又可以通過解(x+a)2=b(b≥0)形式的方程導(dǎo)出配方法，因此，必須熟練掌握.

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配方法是解一元二次方程的通法.配方，就是利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2把一個二次三項式配成完全平方的形式，配方法解方程就是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)變形為x+b2a2=b2-4ac4a2的形式，再利用開平方法求方程的解.

用配方法解方程，步驟較繁，但是，配方法是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時，經(jīng)常用到.配方的過程是一個自始至終充滿思維活力的過程，是對學(xué)生進行基本技能訓(xùn)練，提高思維素質(zhì)的絕好材料，所以，教學(xué)中不僅要把這種方法的運用落實在解一元二次方程中，更重要的是必須著眼讓學(xué)生熟練地把握這種方法的操作步驟，從語言的表述到字母的表示，都應(yīng)在教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)出嚴(yán)格的要求.

3憊式法

運用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.求根公式的導(dǎo)出是對一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)運用配方法的直接結(jié)果.求根公式的推導(dǎo)，主要依賴配方法和開方運算兩部分知識來完成，對于公式的推導(dǎo)應(yīng)給予足夠的重視.運用公式法解方程是教學(xué)的重點，它是解一元二次方程的通法，具有普遍適用性，運用公式法的實質(zhì)是求代數(shù)式的值或化簡代數(shù)式.從這層意義上講，運用公式法解一元二次方程是一種綜合訓(xùn)練，能夠有效地提高學(xué)生的運算能力，其重要性是不言而喻的.用公式法解一元二次方程，首先，要把原方程化為一般形式，因為公式中的a，b，c是對一般形式而言的；其次，要確定b2-4ac的符號，b2-4ac≥0是公式成立的必要條件；最后，是代入公式計算、求根.對學(xué)生的解題步驟應(yīng)提出嚴(yán)格的要求，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

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如果一個一元二次方程可變形為左邊分別為兩個關(guān)于未知數(shù)的一次因式的乘積，右邊為零，即(ax+b)(cx+d)=0的形式，則令每一個因式為零，從而把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來求解.對于因式分解法的教學(xué)，應(yīng)突出“降次”求解的思想.用因式分解法解方程前，先要將已知方程化成一般形式，應(yīng)把它作為一個解題步驟提出來，這樣可以有效防止出現(xiàn)諸如“x2-x-12=1，得(x-4)(x+3)=1.然后，令x-4=1和x+3=1，方程的解為x1=5，x2=-2”的錯誤.

二、對有關(guān)數(shù)學(xué)思想的思考

1弊化思想

轉(zhuǎn)化思想就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的問題的思想，是解決數(shù)學(xué)問題乃至自然科學(xué)和社會科學(xué)問題的重要指導(dǎo)思想，具有普遍的意義和廣泛的應(yīng)用價值，它貫穿于一元二次方程的解法這一節(jié)的始終.首先，在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，課本給出了前三種基本解法的順序結(jié)構(gòu)(直接開平方法→配方法→公式法)；其次，在許多具體問題的處理中，我們通過開平方法、配方法、換元法、因式分解法實現(xiàn)了由繁向簡、由未知向已知、由二次向一次的轉(zhuǎn)化；最后，用公式法解方程，必須先把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式.本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)和轉(zhuǎn)化思想的掌握.

2狽擲嗨枷

有些數(shù)學(xué)問題的解決，可能條件和結(jié)論不唯一確定，有多種可能，需要從問題的實際情況出發(fā)進行分類討論.本章一開始，就給出了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，這里a≠0是方程ax2+bx+c=0為一元二次方程的充分條件，它蘊涵著分類的思想.對于方程ax2+bx+c=0，要防止學(xué)生形成a一定不為零的思維定式，如果所研究的問題中明確指出了方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，則它隱含了條件a≠0；否則，方程ax2+bx+c=0既可能是一元二次方程(當(dāng)a≠0時)，也可能是一元一次方程(當(dāng)a=0且b≠0時).因此，復(fù)習(xí)時，應(yīng)有的放矢地通過具體的例子(如(3-2x)x+5x=8-2x2)予以強調(diào).對學(xué)有余力的學(xué)生，還應(yīng)適當(dāng)增加一些練習(xí).如：當(dāng)a，b，c滿足什么條件時，方程(a-1)x2-bx+c=0分別是一元二次方程和一元一次方程?解關(guān)于x的方程a2x2-2ax+1=x(ax-1).使他們對有關(guān)概念有更加清晰的認識，對分類思想有更深的感悟.其次，求根公式中b2-4ac≥0這個條件就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有解的分類依據(jù)，當(dāng)然，這在后面的學(xué)習(xí)中還會繼續(xù)研究.

三、結(jié)語

一元二次方程及其解法是代數(shù)教學(xué)的重點內(nèi)容，它既是對初中階段整式方程知識的總結(jié)，又是學(xué)習(xí)分式方程、無理方程和其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，又有助于學(xué)生對解方程的思想和方法形成較為清晰、透徹的認識.所以，上好這節(jié)復(fù)習(xí)課至關(guān)重要，一定要予以高度的重視.