吳允浦

函數(shù)的概念比較抽象，思想方法難于理解，習(xí)題錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)感到比較困難，在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果能夠?qū)Σ糠謧鹘y(tǒng)的函數(shù)例題、習(xí)題進(jìn)行改造，則往往可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)的部分習(xí)題做適當(dāng)?shù)母脑?，并加以?jiǎn)單介紹.

一、封閉性問(wèn)題的開(kāi)放性改造

以問(wèn)題狀態(tài)（條件、過(guò)程和結(jié)論）的明確程度為依據(jù)，可將數(shù)學(xué)問(wèn)題分為封閉性和開(kāi)放性兩個(gè)問(wèn)題.平時(shí)所見(jiàn)的大部分問(wèn)題屬于封閉性問(wèn)題，而開(kāi)放性問(wèn)題對(duì)于發(fā)展學(xué)生的個(gè)性、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維有著重要意義.對(duì)于封閉性問(wèn)題，如果我們?cè)谡J(rèn)清題目的實(shí)質(zhì)下對(duì)于問(wèn)題的條件、結(jié)論或者過(guò)程予以適當(dāng)修改，則可以使其具有一定的開(kāi)放性.

題1求函數(shù)f(x)=(x-1)2對(duì)稱軸、最值、單調(diào)性.

單純求二次函數(shù)的最值、單調(diào)性，難于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，如果將此題的結(jié)論作為條件，可以改編成開(kāi)放性問(wèn)題，不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且使每名學(xué)生的思維能力都得到較大的發(fā)展.

題2老師給出一個(gè)函數(shù)y=f（x），四名學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).

甲：對(duì)x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是減函數(shù).

丙：在［2，+∞)上是增函數(shù).

丁：f（0）不是函數(shù)的最值.

如果其中恰好有三名學(xué)生說(shuō)得正確，請(qǐng)寫出這樣一個(gè)函數(shù).

適當(dāng)放寬限制條件，使得問(wèn)題存在多種答案，具有一定的開(kāi)放性，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維積極性.

題3已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均為實(shí)數(shù)）.

（1）當(dāng)b=1時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，使f(x)≠0，求a，c滿足的條件；

（2）當(dāng)a+c=0時(shí)，求證：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f(x)=0.

此題是比較典型的二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，如果能放寬數(shù)學(xué)背景，增加適當(dāng)?shù)膶?shí)際情景，可將此題改編為一道開(kāi)放性較強(qiáng)的問(wèn)題.不僅增加了數(shù)學(xué)的趣味性，而且培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力.

題4已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c為非零實(shí)數(shù).甲、乙兩人做一游戲，他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x，使f(x)≠0，那么甲獲勝；如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f(x)=0，那么乙獲勝.

(1)甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？

(2)如果a，b，c是任意實(shí)數(shù)，結(jié)果如何？為什么？

二、常規(guī)型問(wèn)題的探索性改造

以問(wèn)題解決者的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)分為常規(guī)性問(wèn)題與探索性問(wèn)題.平時(shí)所見(jiàn)到的例、習(xí)題大部分是常規(guī)性問(wèn)題，而探索性問(wèn)題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)性有著常規(guī)性問(wèn)題不可比擬的作用，改變常規(guī)問(wèn)題的條件、結(jié)論或者設(shè)問(wèn)方式就可以引導(dǎo)常規(guī)性問(wèn)題改編為探索性問(wèn)題.

題5已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，當(dāng)a=-130時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考慮到a的任意性，我們可以用逆向思維，運(yùn)用設(shè)問(wèn)方式，將此題改變?yōu)樘剿餍詥?wèn)題.

題6已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，問(wèn)是否存在a(a<0)，使得f(x)在區(qū)間(-∞，-4］上是減函數(shù)，且在區(qū)間(-4，0)上是增函數(shù)？若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題7已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

這是一道單純性二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，探究性不強(qiáng)，我們不妨增加已知條件，改編為下述具有一定探究性的問(wèn)題.

題8已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，是否存在實(shí)數(shù)m，n(m

三、純粹性問(wèn)題的應(yīng)用性改造

以問(wèn)題性質(zhì)的數(shù)學(xué)過(guò)程（抽象、變換、應(yīng)用）為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題分為純粹性問(wèn)題和應(yīng)用性問(wèn)題.平時(shí)所見(jiàn)的例、習(xí)題大部分是純粹性問(wèn)題，而應(yīng)用性問(wèn)題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力都有著不可替代的作用.對(duì)于一些純粹性問(wèn)題，如果能夠結(jié)合具體的生活、生產(chǎn)實(shí)踐，賦予一定的實(shí)際情景，則可以將其改變?yōu)閼?yīng)用性問(wèn)題.

題9求函數(shù)y=x+9x（x>0）的最值.

此題可看做特殊二次函數(shù)y=x-3x2+6(x>0)為載體給予一定的實(shí)際背景，將此題改編為方案優(yōu)化型的應(yīng)用問(wèn)題.

題10制作一個(gè)容積為18 m3，深為2 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池.若池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，求水池最低造價(jià)？

題11已知函數(shù)y=kx1-xm(k>0)，定義域?yàn)椋?，m）.

(1)求函數(shù)的最值；

(2)當(dāng)0

以y=kx1-xm為載體設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶?shí)際背景的文字表述，可以將此題改編為應(yīng)用性較強(qiáng)的實(shí)際問(wèn)題.

題12漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，要保證魚群的生長(zhǎng)空間.已知魚群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空間率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k>0）.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；

(3)當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大時(shí)，求k的取值范圍.

總之，適當(dāng)改造傳統(tǒng)例、習(xí)題確實(shí)能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，但不恰當(dāng)?shù)母脑觳粌H沒(méi)有帶來(lái)益處，反而給學(xué)生帶來(lái)新的負(fù)擔(dān).因此，哪些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以改造，如何改造，改造后如何應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，這些問(wèn)題需要我們不斷地探索.

【參考文獻(xiàn)】

顧泠沅.改造我們的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（7）.