侯錦揚(yáng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括. 實(shí)踐證明，任何一種數(shù)學(xué)思想方法都不能很快地被學(xué)生所掌握，它與數(shù)學(xué)中的一些重要概念一樣，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積極實(shí)踐，反復(fù)體驗(yàn)，不斷積累，需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)較長的認(rèn)識(shí)過程，才能逐步地理解、掌握和應(yīng)用. 數(shù)學(xué)問題的解決，離不開數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)、運(yùn)用和創(chuàng)新. 數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問題的解決中，因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可以融入問題解決的教學(xué)過程中. 教材在呈現(xiàn)顯性的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，一般是采用逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則，但數(shù)學(xué)思想方法是隱性的，教材里看不出對其教學(xué)的遞進(jìn)性與上升性. 因此數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)與知識(shí)教學(xué)、學(xué)生認(rèn)識(shí)水平相適應(yīng)，也應(yīng)遵循螺旋式上升、階梯式層次結(jié)構(gòu)的原則，需要經(jīng)歷長期的層次化過程.

一、無痕滲透，讓學(xué)生在問題解決中感知數(shù)學(xué)思想方法

“滲透”一詞是比喻一種事物或勢力逐漸進(jìn)入到其他方面（多用于抽象事物）. 引用到教學(xué)上，“滲透”就是把某些抽象的數(shù)學(xué)思想、方法、原理等逐漸“融進(jìn)”具體的、實(shí)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對這些數(shù)學(xué)思想、方法、原理等有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認(rèn)識(shí)它們. 思維發(fā)展心理學(xué)研究表明，小學(xué)低年級(jí)兒童的思維以形象思維為主要形式，雖然他們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，已經(jīng)由學(xué)前期的具體形象思維開始向抽象邏輯思維過渡，發(fā)展自己的抽象邏輯思維，可仍然離不開具體形象的支持. 在這個(gè)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)相對簡單，他們還很難掌握比較抽象的數(shù)學(xué)概念，當(dāng)然也無法輕易理解數(shù)學(xué)思想方法. 但教師不能因此而放棄或削弱對低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的啟蒙教學(xué). 教師應(yīng)根據(jù)這一階段學(xué)生的思維特點(diǎn)與認(rèn)知水平，采用無形滲透的策略，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，感知數(shù)學(xué)思想方法. 在方法上注意有機(jī)結(jié)合、自然滲透，要有意識(shí)地、潛移默化地啟發(fā)學(xué)生感知蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實(shí)際等適得其反的做法.

如分類思想的教學(xué). 數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念都有其特有的本質(zhì)特征，小學(xué)數(shù)學(xué)中的分類思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，按某種標(biāo)準(zhǔn)，將研究的數(shù)學(xué)對象分成不同種類的若干部分進(jìn)行分析研究的一種數(shù)學(xué)思想. 分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化. 小學(xué)數(shù)學(xué)中的問題往往比較簡單，有時(shí)要解決一個(gè)比較復(fù)雜或者帶有不確定性的問題時(shí)，把這個(gè)問題按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分為若干類，然后逐類進(jìn)行分析討論，得出問題的答案，這就是問題解決中的分類討論法. 分類思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的內(nèi)容中. 教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富其內(nèi)涵.

例如“整理房間”（北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書一年級(jí)上冊）的教學(xué)，“類”和“分類”對一年級(jí)剛?cè)雽W(xué)不久的學(xué)生來說是比較抽象的，認(rèn)識(shí)它們不能靠定義、靠說理，應(yīng)該聯(lián)系生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn). 教學(xué)時(shí)，首先，從學(xué)生熟悉的“房間的場景”入手，師：（如圖1）這是小剛的房間，你想說什么？學(xué)生通過觀察，說出自己的感受，從而產(chǎn)生整理房間的需要. 接著，師：你想怎樣幫助小剛整理房間？說說為什么要這樣整理. 初步體會(huì)分類的含義和方法，體會(huì)分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同. 比如，根據(jù)物品的用途不同進(jìn)行分類，可以分為：① 學(xué)習(xí)用品；② 穿的衣物；③ 玩具；④ 體育用品等. 學(xué)生在這樣的活動(dòng)中，其思維過程首先是觀察，其次是比較. 經(jīng)過比較之后，進(jìn)行排列. 排列的過程就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程. 這樣一種劃分和組織的結(jié)果就形成了分類.

分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有著重要的應(yīng)用，在“空間與圖形”中有角的分類、三角形的分類、四邊形的分類等. 在“數(shù)與代數(shù)”中更多，有式的分類、數(shù)的分類等. 如自然數(shù)，依據(jù)“是否是２的倍數(shù)”，可分為奇數(shù)與偶數(shù)；依據(jù)“因數(shù)的個(gè)數(shù)”，可分為１、質(zhì)數(shù)和合數(shù)等. 通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生初步明白：分類是根據(jù)概念的某一屬性進(jìn)行的，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果可能不同，被分的概念不能重復(fù)分，即某概念不能既是這一類同時(shí)又是另一類，被分的概念還要全部分掉不能遺漏. 分類思想在問題解決中也有廣泛的應(yīng)用，如“小明和小紅在校門口分手，７分鐘后他們同時(shí)到家. 小明平均每分鐘走４５米，小紅平均每分鐘走３５米. 小明家與小紅家相距多少米？”這個(gè)問題要引導(dǎo)學(xué)生用分類的思想進(jìn)行解決. 第一，必須考慮小明家、學(xué)校、小紅家是否在一條直線上. 如果不在一條直線上，結(jié)果就無法確定. 第二，如果在一條直線上，還要分成兩種情況：① 小明家、小紅家在學(xué)校的兩側(cè)；② 小明家、小紅家在學(xué)校的同一側(cè). 這樣，學(xué)生在問題解決中加深了對分類思想的領(lǐng)悟.

數(shù)學(xué)中的分類有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特征、外部關(guān)系為根據(jù)的，后一種分類是按對象的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行分類的. 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透了分類思想，教學(xué)中，應(yīng)以知識(shí)為載體，教給學(xué)生分類的方法，發(fā)展邏輯思維力.

二、有意點(diǎn)明，讓學(xué)生在問題解決中理解數(shù)學(xué)思想方法

對數(shù)學(xué)思想方法的理解有一個(gè)過程，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，也不期望一次性完成，而應(yīng)在不同內(nèi)容、不同年級(jí)學(xué)生的教學(xué)活動(dòng)中，以不同的形式交替出現(xiàn)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有初步的理解. 進(jìn)入小學(xué)中、高年級(jí)，學(xué)生自身數(shù)學(xué)知識(shí)不斷增加，認(rèn)知水平進(jìn)一步提高，抽象邏輯思維能力得到發(fā)展. 隨著對數(shù)學(xué)思想方法滲透的不斷深入，隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想方法就會(huì)逐漸引起學(xué)生的注意和思索，以至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟. 當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度，這種事實(shí)上已被反復(fù)感知的思想方法就會(huì)凸現(xiàn)出來. 這時(shí)，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不再“猶抱琵琶半遮面”了，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的年齡特征、心理活動(dòng)水平，在問題解決的教學(xué)中擇機(jī)有意識(shí)地進(jìn)行點(diǎn)明，比較明確地引導(dǎo)學(xué)生理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法，最終使得學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有較為深刻的理解.

如化歸思想的教學(xué). 化歸是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法. “化歸”包含“轉(zhuǎn)化”和“歸結(jié)”兩種含義，即為了謀求一個(gè)問題的解決，把這個(gè)未知解法的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之歸結(jié)為一個(gè)熟知的或者較容易解決的或者已經(jīng)能夠解決的新問題，通過對新問題的解決，來求得原問題的解決. 值得注意的是，在小學(xué)階段，要保證被轉(zhuǎn)化后得到的結(jié)果仍是原問題的結(jié)果，就是要求轉(zhuǎn)化過程中的前后是充分必要的，即等價(jià)轉(zhuǎn)化. 化歸是基本而典型的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)含在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“綜合實(shí)踐活動(dòng)”四大知識(shí)領(lǐng)域中，在問題解決中有廣泛的運(yùn)用. 任何數(shù)學(xué)問題的解決過程，都是一個(gè)由未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程. 因此，在問題解決中教給學(xué)生“化歸思想”是非常重要的.

在計(jì)算教學(xué)中，化歸思想的應(yīng)用很廣泛. 如兩位數(shù)乘兩位數(shù)可分解、化歸為兩位數(shù)乘一位，小數(shù)除法通過“商不變性質(zhì)”可化歸為除數(shù)是整數(shù)的除法，異分母分?jǐn)?shù)加減法可化歸為同分母分?jǐn)?shù)加減法，異分母分?jǐn)?shù)比較大小通過“通分”可化歸為同分母分?jǐn)?shù)比較大小，分?jǐn)?shù)除法可化歸為分?jǐn)?shù)乘法等. 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)例，談?wù)勗趩栴}解決中如何教給學(xué)生化歸思想.

例如，“小數(shù)除法”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊）的教學(xué). 出示問題（如圖2），讓學(xué)生列出橫式７．６５ ÷ ０．８５和豎式０．８５■.

師：你們試著計(jì)算，看看會(huì)遇到什么困難.

學(xué)生嘗試后，對商要不要加小數(shù)點(diǎn)，該點(diǎn)在什么位上，產(chǎn)生了不同的看法. 有的認(rèn)為可以與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊，有的認(rèn)為應(yīng)該與被除數(shù)的末位對齊. 老師不要忙于下結(jié)論，可把題目稍作改動(dòng)，變?yōu)椋福怠?，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)算后馬上否定了上述兩種看法.

師：你們找一找原因，看問題出在什么地方？

引導(dǎo)學(xué)生與上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容進(jìn)行比較，學(xué)生經(jīng)過討論思考后，找出了問題癥結(jié)所在，即“除數(shù)也是小數(shù)”. 這可稱得上是學(xué)習(xí)上的新發(fā)現(xiàn).

師：怎么辦呢？若有困難，再進(jìn)一步點(diǎn)撥，只要把除數(shù)怎樣，就有辦法計(jì)算？

生：化小數(shù)除數(shù)為整數(shù)除數(shù).

此時(shí)，解決問題的難點(diǎn)已經(jīng)突破. 怎樣化小數(shù)除數(shù)為整數(shù)除數(shù)雖是重點(diǎn)，但并不難，根據(jù)商不變性質(zhì)，只要把除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來的１０倍、１００倍……就能把小數(shù)除數(shù)化成整數(shù)除數(shù)，問題得到徹底解決. 在問題解決的過程中，教師沒有硬生生地告訴學(xué)生要使用什么思想方法去解決問題，讓學(xué)生被動(dòng)地接受，而是引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行分析，查找問題產(chǎn)生的原因，確定問題癥結(jié)所在，再引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題的途徑. 學(xué)生自然想到了用轉(zhuǎn)化的方法解決問題，既圓滿解決了問題，又領(lǐng)悟了運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的功效.

在“空間與圖形”的教學(xué)中，化歸思想的應(yīng)用更為廣泛. 例如，“平行四邊形的面積”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊）的教學(xué)，就是通過割、移、拼使一種圖形轉(zhuǎn)化為和它等積的另一種圖形，運(yùn)用這種“轉(zhuǎn)化”的方法可以達(dá)到解決問題的目的. 在隨后學(xué)習(xí)的三角形、梯形、圓的面積計(jì)算中，都是通過剪拼的方法，把要研究的圖形轉(zhuǎn)化成前面已學(xué)過的圖形來推導(dǎo)出它的面積公式. 這樣，學(xué)生探索并體會(huì)了所學(xué)各種多邊圖形的特征、圖形之間的關(guān)系、圖形之間的轉(zhuǎn)化，掌握了平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式及公式之間的關(guān)系，還體驗(yàn)了圖形的平移、旋轉(zhuǎn)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法. 教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題、掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，學(xué)生在嘗試運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的過程中，體驗(yàn)了這種思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化了自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí).

三、引導(dǎo)應(yīng)用，讓學(xué)生在問題解決中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法存在于問題解決之中，數(shù)學(xué)問題的解決，實(shí)質(zhì)上是問題不斷轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)思想反復(fù)應(yīng)用的過程. 到了高年級(jí)，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐機(jī)會(huì)增多了，這時(shí)，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索和思考，以求得問題解決. 同時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生在解決問題之后進(jìn)行歸納、反思，因?yàn)樵谶@個(gè)過程中提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生來說才是易于體會(huì)、易于接受的. 也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)在使學(xué)生初步領(lǐng)悟了某些數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，還要積極引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)問題的解決過程，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能讓學(xué)生真正理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.

如函數(shù)思想的教學(xué).函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，函數(shù)思想的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng). 應(yīng)用函數(shù)思想能從運(yùn)動(dòng)變化的過程中尋找聯(lián)系，把握特點(diǎn)與規(guī)律，從而選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法得以解決問題. 在小學(xué)階段，雖然沒有出現(xiàn)“函數(shù)”這個(gè)概念，但安排了許多與函數(shù)有關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容.

在低年級(jí)，通過填圖（如圖3）等形式，將函數(shù)思想滲透在其中. 還可以設(shè)計(jì)一些能移動(dòng)的卡片，讓算式中的數(shù)“動(dòng)”起來. 學(xué)生解決問題后應(yīng)引導(dǎo)他們觀察什么沒變，什么變了. 又如，“平均分”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊）的教學(xué)，當(dāng)學(xué)生初步理解了“平均分”的含義后，教師讓學(xué)生解決一個(gè)“分禮物”的問題：１２個(gè)小禮物，平均分給一些小朋友，每人可以分到多少個(gè)？這是一個(gè)開放又具有挑戰(zhàn)性的問題.

師：這些禮物可以平均分給幾個(gè)小朋友呢？

生：２個(gè)，３個(gè)，４個(gè)，６個(gè)，１２個(gè).

師：每人又可以分到幾個(gè)呢？同桌合作，利用你們手中已有的工具分分看，并想辦法來填一填.

把１２個(gè)禮物平均分給（２）個(gè)人，每人可以分到（６）個(gè).

把１２個(gè)禮物平均分給（３）個(gè)人，每人可以分到（４）個(gè).

把１２個(gè)禮物平均分給（４）個(gè)人，每人可以分到（３）個(gè).

把１２個(gè)禮物平均分給（６）個(gè)人，每人可以分到（２）個(gè).

把１２個(gè)禮物平均分給 （１２）個(gè)人，每人可以分到（１）個(gè).

如果教學(xué)到此為止，老師讓學(xué)生計(jì)算完畢、答案正確就滿足了，那么學(xué)生僅僅是解決了一個(gè)問題. 如果以函數(shù)思想的高度來設(shè)計(jì)教學(xué)，教師一定不滿足，會(huì)繼續(xù)進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).

師：仔細(xì)觀察，什么沒變？什么變了？

師：對，分的禮物的個(gè)數(shù)沒變，平均分給的人數(shù)變了，每人分到的個(gè)數(shù)也變了. 也就是說，相同的數(shù)量平均分的份數(shù)越多，每份所得到的數(shù)量就越少.

學(xué)生借助已有的學(xué)具進(jìn)行平均分禮物，進(jìn)而完成分禮物的練習(xí)題組，觀察什么變了，什么沒變，然后發(fā)現(xiàn)：同樣的數(shù)量平均分的份數(shù)越多，每份得到的就越少. 這無形中滲透了“被除數(shù)不變，除數(shù)變大，商變小”這一函數(shù)思想.

進(jìn)入小學(xué)中、高年級(jí)，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握了許多的數(shù)量關(guān)系，如單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系，路程、時(shí)間和速度的關(guān)系，工作量、工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系……其實(shí)當(dāng)這些數(shù)量關(guān)系中的某一種量固定后，另外兩種量在變化時(shí)就構(gòu)成了函數(shù). 這些數(shù)量關(guān)系有的還可以用計(jì)算公式來表示，如，s ＝ ｖｔ，當(dāng)s一定時(shí)，ｖ越大，ｔ就越小. 這些公式實(shí)際上就是一些簡單的函數(shù)關(guān)系式，教師可以利用數(shù)學(xué)中的公式進(jìn)一步進(jìn)行函數(shù)思想的教學(xué). 到了六年級(jí)，正比例、反比例知識(shí)涉及兩種相關(guān)聯(lián)量之間的關(guān)系，實(shí)際上也是一種函數(shù)關(guān)系.

如把相同體積的水倒入底面積不同的杯子中，高度和底面積的變化有什么規(guī)律？通過觀察，得出：底面積越大，水的高度就越低. 因?yàn)樗捏w積是一定的，也就是說水的高度與底面積的乘積是一定的，這時(shí)，水的高度與底面積這兩個(gè)量實(shí)際上就是一種函數(shù)關(guān)系.

通過一些具體實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)量的變化過程，以及量變過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，探索其中的變化規(guī)律，嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測等，這樣，學(xué)生隨著知識(shí)的不斷發(fā)展，對函數(shù)思想的理解得到不斷地加深.

總之，數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)問題的解決是相輔相成的. 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，它支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，是數(shù)學(xué)問題解決的靈魂. 同時(shí)，在數(shù)學(xué)問題解決的過程中往往蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解和一般技能的掌握，它的教學(xué)應(yīng)與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平相適應(yīng)，在問題解決的活動(dòng)中，按照自然滲透、初步理解、應(yīng)用發(fā)展的順序逐步完成.