嚴(yán)鵬 李峰
圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,這部分內(nèi)容的特點(diǎn)是:(1) 曲線與方程的基礎(chǔ)知識要求很高,要求熟練掌握并能靈活應(yīng)用;(2) 綜合性強(qiáng),在解題中幾乎處處涉及函數(shù)與方程、不等式、三角及直線等內(nèi)容,體現(xiàn)了對各種能力的綜合要求;(3) 計(jì)算量大,要求同學(xué)們有較高的計(jì)算水平和較強(qiáng)的計(jì)算能力。
【例1】(選修21,P32,第5題改編)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,如果橢圓上存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=90°,求離心率e的取值范圍.
分析本題考慮的角度有很多種?;镜乃枷脒€是尋找a,b,c之間的關(guān)系。
解解法1:利用曲線范圍
設(shè)P(x,y),又知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
則F1P=(x+c,y),F(xiàn)2P=(x-c,y).
由∠F1PF2=90°,知F1P⊥F2P,
則F1P?F2P=0,
即(x+c)(x-c)+y2=0,
得x2+y2=c2.
將這個方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,可解得
x2=a2c2-a2b2a2-b2,
但由橢圓范圍及∠F1PF2=90°,
知0≤x2 即0≤a2c2-a2b2a2-b2 可得c2≥b2,即c2≥a2-c2,且c2 從而得e=ca≥22,且e=ca<1, 所以e∈22,1. 解法2:利用二次方程有實(shí)根 由橢圓定義知 |PF1|+|PF2|=2a輡PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2. 又由∠F1PF2=90°,知 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 則可得|PF1||PF2|=2(a2-c2). 這樣|PF1|與|PF2|是方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的兩個實(shí)根, 因此Δ=4a2-8(a2-c2)≥0輊2=c2a2≥12 輊≥22, 因此e∈22,1. 解法3:利用三角函數(shù)有界性 記∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,由正弦定理有 |PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin90° 輡PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,則有 e=ca=1sinα+sinβ=1sinα+cosα=12sinα+π4, 而π4<α+π4<3π4, 知22 1<2sinα+π4≤2, 從而可得22≤e<1. 解法4:利用焦半徑 由焦半徑公式得 |PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex, 又由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以有 a2+2cx+e2x2+a2-2cx+e2x2=4c2, 即a2+e2x2=2c2,x2=2c2-a2e2, 又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,且x≠±a, 則知0≤x2 得e∈22,1. 解法5:利用基本不等式 由橢圓定義,有2a=|PF1|+|PF2|平方后得4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2| ≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2, 得c2a2≥12,所以有e∈22,1. 解法6:巧用圖形的幾何特性 由∠F1PF2=90°,知點(diǎn)P在以|F1F2|=2c為直徑的圓上. 又點(diǎn)P在橢圓上,因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P, 故有c≥b輈2≥b2=a2-c2, 由此可得e∈22,1. 解法7:利用∠F1PF2的范圍 設(shè)點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn),則∠F1BF2的范圍為π2,π, 所以∠OBF2的范圍為π4,π2, e=sin∠OBF2∈22,1. 點(diǎn)撥1. 直接求出a,c或求出a與b的比值,以求解e; 2. 構(gòu)造a,c的齊次式,解出e; 3. 尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。 牛刀小試 1. (選修21,P33,第6題改編)設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是. 2. 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓上一點(diǎn),且F1M?F2M=0,求離心率e的取值范圍. 3. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為. 【參考答案】 1. 先求出P的坐標(biāo),然后由△F1PF2為等腰直角三角形,求出離心率為2-1. 2. 其實(shí)就是例1的另外一種問法.答案還是22,1. 3. 先求出直線A1B2和B1F的直線方程,進(jìn)一步求出T的坐標(biāo),求出M的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上,求出e=27-5. (作者:嚴(yán)鵬、李峰,鎮(zhèn)江市第二中學(xué))