數(shù)學應用Shu Xue Ying Yong數(shù)學應用Shu Xue Ying Yong解析幾何是從宏觀上利用代數(shù)方法研究幾何問題，但這些幾何對象有自身的基本性質，所以微觀上利用幾何方法也常常有效。下面我想通過幾道實例對平面幾何知識在解析幾何中的應用進行簡單的歸納,使學生能夠靈活運用平面幾何知識找到簡捷的解題途徑，簡化解題過程，減少運算量。

一、 三角形全等和相似的妙用

【命題分析】三角形全等與相似的證明是初中平面幾何的教學中的重點內(nèi)容，不少學生這部分知識掌握的相當不錯。在處理解析幾何中一些證明或求線段長的問題時，如果能巧妙利用三角形的全等與相似往往比直接利用代數(shù)法運算更簡捷明快，同時又有助于學生的綜合能力的培養(yǎng)。

【試題設計】

如圖，設橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=22，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且F1M?F2N=0.若|F1M|=|F2N|=25,求橢圓的方程.

解析延長NF2交F1M于R點，設右準線交x軸于點Q，焦距為2c.

因為e=22，所以a=2c，得|F2Q|=a2c－c=2c－c=c,

因為F1M?F2N=0，

所以∠F2NQ+∠F1MQ=90°,

又因為∠MF1Q+∠F1MQ=90°,

所以∠F2NQ=∠MF1Q,

又由|F1M|=|F2N|，∠F2QN=∠F1QM=90°，

可得△MF1Q≌△F2NQ,

則|QM|=|F2Q|=c，

又因為|F1M|=25，所以c2+9c2=20，

即c2=2，

所以橢圓的方程為x24+y22=1.

點撥本題如果利用e=22,將b,c都用a來表示,設M(2a,y1)、N(2a,y2),再利用F1M?F2N=0,|F1M|=|F2N|=25,得到關于y1,y2,a的三個方程,然后消去y1,y2求出a,此解法運算量較大，很多同學不能算出最后結果，而如果我們能抓住|F1M|與|F2N|相等，聯(lián)想到通過證明△MF1Q與△F2NQ全等，得出|MQ|=|F2Q|，然后將已知量放到同一個直角三角形內(nèi)，利用勾股定理求出c，過程就簡捷多了。

二、 相交弦定理的妙用

【命題分析】高考大綱明確提出“以能力立意，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題”，因此高三的復習一定要重視各部分知識之間的橫向、縱向聯(lián)系。近幾年四點共圓在解析幾何中的應用成為高考命題的熱點，圓內(nèi)接四邊形的有關知識是同學們在初中所學，遺忘太多，不少同學在解此類問題時往往無從下手。這個問題應當引起我們的高度重視。

【試題設計】

已知過點A(－1,0)的動直線l與圓C：x2+(y－3)2=4相交于P、Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N.

(１) 求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；

（2） 探索AM?AN是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值；若有關，請說明理由.

解析（１） 因為l與m垂直，且km=－13，

所以kl=3，

故直線l的方程為y=3(x+1)，即3x－y+3=0，又因為圓心坐標（0，3）滿足直線l的方程，

所以當l與m垂直時，l必過圓心C.

（2） 設AC交直線m于點D,當l過圓心C時,由點到直線的距離公式，得

|AD|=|－1+6|10=102,又AC=10，

則AM?AN=－|AC|×|AD|=－102×10=－5.

當l不過圓心C時，因為CM⊥MN,AD⊥m,

所以C,M,D,N四點共圓,由相交弦定理得AM?AN=－|AC|×|AD|=－5.

點撥本題若先設出直線l的方程，再將直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出M點的坐標，然后再求出N點的坐標，如這樣處理對運算要求較高。而如果巧妙利用第一問的結論，先探究出AM?AN的值，再利用相交弦定理證出無論直線l的傾斜角如何變化，AM?AN都為定值，問題就變得更為簡單。解析幾何中的定值問題，是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內(nèi)容。這類問題以直線與圓或直線與圓錐曲線位置關系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學知識以及數(shù)形結合、分類討論等多種數(shù)學思想方法進行求解，對考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

三、 切割線定理的妙用

【命題分析】初中平面幾何中有切割線定理,該定理在高中數(shù)學中有許多巧妙應用、許多高考、高中數(shù)學聯(lián)賽、模擬試題如果能夠使用該定理,可以大大改進常規(guī)解法,減小思維量和運算量,為考試贏得寶貴的答題時間。

【試題設計】如圖，過點P(5,4)作直線l與圓O：x2+y2=25交于A、B兩點，若PA=2，則直線l的方程為．

解析設圓O：x2+y2=25與x軸的正半軸交于點T,

由切割線定理可得PT2=PA?PB,

又因為PA=2,PT=4，

所以PB=8,進而求得|AB|=6.

設O到AB的距離為d，

則d=25－AB22=4.

設直線l的斜率為k，則直線l的方程為

y－4=k(x－5)，

即kx－y+4－5k=0，由|4－5k|1+k2=4，

解得k=0或k=409，所以直線l的方程為

y=4或40x－9y－164=0.

點撥本題傳統(tǒng)解題思路是求出A點坐標，利用點A、P的坐標求l。而如果我們能發(fā)現(xiàn)點P橫坐標為5就很容易求出切線PT的長，再利用切割線定理求出PB的長，進而求出弦AB的長，問題迎刃而解。

四、 角平分線性質定理的妙用

【命題分析】當今高考很注重對數(shù)學能力的考察，很多數(shù)學試題注重包裝效果，目的是為了迷惑同學們的眼球，讓你們分不清楚試題的難易，“不識廬山真面目，只緣身在此山中”這才是出題人真正的目的。在圓錐曲線中涉及到角平分線的問題處理時，如果能聯(lián)想到應用角平分線性質定理結合圓錐曲線性質往往會簡化某些問題的求解，同時也讓學生領悟到數(shù)學美的所在。

【試題設計】如圖，橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線l與橢圓交于A,B兩點，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長為82．

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 設點Q的坐標為(1,0)，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF1,PF2都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

解析（1） 由題意知12×2c×b=4，bc=4,4a=82,a=22,

解得b=c=2，

所以橢圓的方程為x28+y24=1.

（2） 假設存在橢圓上的一點P(x0,y0)，使得直線PF1,PF2與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線PF1,PF2的距離相等,即點Q在∠F1PF2的平分線上，

由角平分線性質定理|PF1||PF2|=|QF1||QF2|,

F1(－2,0),F2(2,0),Q(1,0),

得|QF1|=3,|QF2|=1,所以|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=3,

又|PF1|+|PF2|=42,則|PF2|=2,

由焦半徑公式|PF2|=22－22x0，可得22－22x0=2，即x0=2,

所以橢圓上存在點P，其坐標為(2,2)或(2,-2)，使得直線PF1,PF2與以Q為圓心的圓(x-1)2+y2=1相切．

點撥本題一般解法是設出點P的坐標，由圓與直線PF1,PF2都相切，以及點P在橢圓上聯(lián)立方程組，求出點P的坐標。此解法運算較為繁瑣，而如果我們利用角平分線性質定理很快就可以求出|PF2|，再利用焦半徑公式求出點P的坐標就簡單多了。

牛刀小試

1. 已知點M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上非長軸端點的點，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點，△MF1F2的內(nèi)心為I，連接MI并延長交F1F2于點N,則MIIN=.

2. 直線y=kx與圓C:(x－2)2+(y－3)2=1相交于P,Q兩點，則|OP|?|OQ|=.

3. 函數(shù)y=x2－2x－8的圖象與坐標軸有三個交點，則過這三點的圓與坐標軸另一個交點的坐標為.

4. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點．若AF=3FB，則k=.

【參考答案】

1. 因為I為△MF1F2的內(nèi)心，所以由角平分線性質定理可得MIIN=F1MF1N=F2MF2N,

再利用合比性質可得

MIIN=F1M+F2MF1N+F2N=2a2c=aa2－b2.

2. 設OT為圓C的切線，T為切點，

則OT2=OC2－CT2=13－1=12,

由切割線定理OT2=OP?OQ=12.

3. 設點A(－2,0),B(4,0)，C(0,－8)分別為圓的圖象與坐標軸的三個交點，D為另一個交點，由相交弦定理，OA?OB=OC?OD,即2×4=8×OD,則OD=1,故D(0,1).

4. 設直線l為橢圓的右準線，e為離心率，過A、B分別作AA1、BB1垂直于l，

A1、B1為垂足，過B作BE垂直于AA1于E，

由第二定義得，|AA1|=|AF|e，|BB1|=|BF|e，

由AF=3FB，得|AA1|=3|BF|e，

cos∠BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33，

所以sin∠BAE=63,tan∠BAE=2，

即k=2.

（作者：周強,江蘇海安曲塘中學）