魏延輝，劉施菲，許德新

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

可重構(gòu)機(jī)器人能夠以一套機(jī)器人模塊，產(chǎn)生多種工作構(gòu)形，克服傳統(tǒng)固定結(jié)構(gòu)形式的工業(yè)機(jī)器人改裝費(fèi)用高，不能一機(jī)多用等缺點(diǎn)，可滿足快速實(shí)時(shí)的生產(chǎn)生活需要，近年來成為國內(nèi)外機(jī)器人研究的熱點(diǎn)之一［1-2］.

運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題是可重構(gòu)機(jī)器人研究的關(guān)鍵問題之一.目前研究的方法大多采用旋量和指數(shù)積的方法進(jìn)行求解［3-4］，這種方法可以不依賴與機(jī)器人構(gòu)形形式，但是其求解過程較為復(fù)雜，目前僅能解決少自由度的工作構(gòu)形運(yùn)動(dòng)求解.由于可重構(gòu)機(jī)器人在實(shí)際的應(yīng)用中，找到一組滿足要求的運(yùn)動(dòng)學(xué)解即可，無需將所有的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解求出來.因此采用構(gòu)形平面匹配的方法，能夠在較為合理的工作位形下求解出可重構(gòu)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)解，這種方式更能夠滿足可重構(gòu)機(jī)器人在實(shí)際生產(chǎn)下的需要［5-6］.

構(gòu)形平面方法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)重要部分是劃分后的構(gòu)形平面的工作空間求解，它是構(gòu)形平面進(jìn)行匹配的前提.由于可重構(gòu)機(jī)器人的實(shí)時(shí)性需要，要求運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的計(jì)算量盡可能小，而構(gòu)形平面進(jìn)行位置和姿態(tài)匹配時(shí)，也不需要將整個(gè)構(gòu)形平面的工作空間完全表示出來，因此在工作空間的求解計(jì)算上，希望表達(dá)方式盡可能簡潔、計(jì)算量小，僅將構(gòu)形平面匹配需要的工作空間表示出來即可.可重構(gòu)機(jī)器人構(gòu)形復(fù)雜多變，劃分后的構(gòu)形平面的工作空間會(huì)形成多連域封閉形式區(qū)域，求解較為困難，本文力求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)快速求解構(gòu)形平面的工作空間的方法.

1 構(gòu)形平面定義

1.1 基本模塊的數(shù)學(xué)建模

可重構(gòu)機(jī)器人基本模塊可劃分為4種:移動(dòng)模塊、搖擺模塊、回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊.基于可重構(gòu)機(jī)器人模塊化思想，為每個(gè)基本模塊建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，運(yùn)動(dòng)模塊僅有一個(gè)變量，而連接模塊無變量，模塊間的連接定位用連接機(jī)構(gòu)保證.為了方便表達(dá)，建立可重構(gòu)機(jī)器人模塊的統(tǒng)一表達(dá)方式:

式中:θ為該模塊是回轉(zhuǎn)模塊時(shí)的回轉(zhuǎn)角度，若為其他模塊時(shí)為0;β為該模塊是搖擺模塊時(shí)的擺動(dòng)角度，若為其他模塊時(shí)為0;h為該模塊是搖擺模塊時(shí)的連接長度，若為其他模塊時(shí)為0;l為該模塊是回轉(zhuǎn)模塊或連接模塊時(shí)的連接長度，若為其他模塊時(shí)為0;w為該模塊是移動(dòng)模塊時(shí)的移動(dòng)量，若為其他模塊時(shí)為0.

1.2 構(gòu)形平面的定義

根據(jù)基本模塊的統(tǒng)一表達(dá)方式，通過位姿矩陣相乘表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)搖擺模塊、移動(dòng)模塊和連接模塊單獨(dú)或任意組合組成機(jī)器人構(gòu)形，無論運(yùn)動(dòng)模塊如何運(yùn)動(dòng)，所得到的機(jī)器人末端僅能在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng);而機(jī)器人構(gòu)形中含有搖擺模塊和回轉(zhuǎn)模塊，并同時(shí)有轉(zhuǎn)動(dòng)量時(shí)，機(jī)器人末端可在三維空間能運(yùn)動(dòng).可以認(rèn)為可重構(gòu)機(jī)器人在某一時(shí)刻的位形可由有限個(gè)平面依次連接組成.

定義1 構(gòu)形平面:若干個(gè)依次連接的可重構(gòu)機(jī)器人模塊的中心線所形成的平面稱為構(gòu)形平面.

構(gòu)形平面具有如下的特點(diǎn):機(jī)器人某時(shí)刻位形由1個(gè)或多個(gè)構(gòu)形平面組成，相鄰2個(gè)構(gòu)形平面的交線必是回轉(zhuǎn)模塊的中心線.

1.3 構(gòu)形平面的劃分

按照構(gòu)形平面的特點(diǎn)，以回轉(zhuǎn)模塊在機(jī)器人構(gòu)形中的位置作為劃分構(gòu)形平面依據(jù).可將機(jī)器人構(gòu)形用若干個(gè)構(gòu)形平面組成，其最大數(shù)量取決于構(gòu)形中回轉(zhuǎn)模塊的數(shù)量.

定義2 構(gòu)形平面中心:在構(gòu)形平面內(nèi)，在與該構(gòu)形平面相鄰的上一個(gè)構(gòu)形平面相交的回轉(zhuǎn)軸線上，與上一個(gè)相鄰構(gòu)形平面最近的搖擺中心定義為構(gòu)形平面中心.

由于第1個(gè)構(gòu)形平面沒有與之相鄰的上一個(gè)構(gòu)形平面，因此它的平面構(gòu)形中心就是基座標(biāo)原點(diǎn).

定義3 構(gòu)形平面末端:在構(gòu)形平面內(nèi)，在與該構(gòu)形平面相鄰的下一個(gè)構(gòu)形平面相交的回轉(zhuǎn)軸中心線上，與本構(gòu)形平面最近的搖擺中心定義為構(gòu)形平面末端.

由于最后一個(gè)構(gòu)形平面沒有與之相鄰的下一個(gè)構(gòu)形平面，因此它的平面構(gòu)形末端就是機(jī)器人的末端點(diǎn).

值得說明的是，在劃分的構(gòu)形平面內(nèi)除了構(gòu)形平面中心和構(gòu)形平面末端所占有的回轉(zhuǎn)模塊外，還會(huì)有其他的回轉(zhuǎn)模塊.由于構(gòu)形平面在匹配時(shí)是以平面方式匹配，因此構(gòu)形平面中的這種回轉(zhuǎn)模塊可近似看作是連接模塊，以保持構(gòu)形平面的平面性.

1.4 平面構(gòu)形的逆運(yùn)動(dòng)求解方法

構(gòu)形平面工作空間的區(qū)間計(jì)算需要對(duì)平面構(gòu)形進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，其方法也有別于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解.構(gòu)形平面在匹配時(shí)，構(gòu)形平面的末端及相應(yīng)連桿的姿態(tài)和位置相對(duì)其中心是已知的，這樣運(yùn)用平面構(gòu)形的逆運(yùn)動(dòng)進(jìn)行區(qū)間計(jì)算時(shí)，僅需要判斷機(jī)器人關(guān)節(jié)能否在其工作區(qū)間內(nèi)滿足要求.

圖1 平面構(gòu)形求解示意Fig.1 Sketch of solving configuration plane

如圖1所示圖中DnDn－1姿態(tài)和Dn點(diǎn)位置已知，則Dn－1位置也是已知的，則ODn－1線段距離也是已知的.以求解搖擺中心為 D1的關(guān)節(jié)為例，在△OD1Dn－1中，由余弦定理可求得∠OD1Dn－1的值，若所求的值在該關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，則其他關(guān)節(jié)不用計(jì)算，可認(rèn)為其沒有進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，關(guān)節(jié)角為零.否則使該關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角等于其極限角，進(jìn)行求解下一個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角，直到除了第1個(gè)關(guān)節(jié)和第n個(gè)關(guān)節(jié)以外，構(gòu)形平面內(nèi)所有的關(guān)節(jié)角都用采用這種方法求解出.這樣D1點(diǎn)的位置就已知了，這樣在構(gòu)形平面內(nèi)，ODn－1和OD1兩端的矢量也就已知了，從而可求得第1個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角，由于β1+β2+…+βn是已知的，這樣βn也就已知了.

值得說明的是，對(duì)于移動(dòng)模塊的移動(dòng)量求解，當(dāng)求解到含有移動(dòng)模塊關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角時(shí)，要進(jìn)行判斷一下，能否通過移動(dòng)模塊解決位置匹配.若能夠，則不用進(jìn)行剩余關(guān)節(jié)角的求解，將移動(dòng)模塊的置于相應(yīng)的移動(dòng)量處.否則將其移動(dòng)量放在最短處和最長處(由該關(guān)節(jié)中心到n－1關(guān)節(jié)中心距離決定)，進(jìn)行下一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的求解.

2 構(gòu)形平面工作空間計(jì)算方法的研究

2.1 典型構(gòu)形平面工作空間分析

在劃分后的構(gòu)形平面上，由于分布的模塊種類和數(shù)量的差異，所形成的工作空間也有很大差異.根據(jù)平面構(gòu)形末端相對(duì)于平面構(gòu)形中心的距離和姿態(tài)角的關(guān)系，有下面幾種典型情況:

1)距離不變、姿態(tài)角不變.平面內(nèi)可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊，其工作空間僅為一個(gè)點(diǎn).

2)距離變化、姿態(tài)角不變.平面內(nèi)不僅可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊，還必須有移動(dòng)模塊.其工作空間為一條直線.

3)距離不變、姿態(tài)角變化.平面內(nèi)不僅可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊，并且有且只有一個(gè)搖擺模塊.其工作空間為一段圓弧.

4)距離變化、姿態(tài)角變化.平面內(nèi)可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊，還有移動(dòng)模塊加搖擺模塊組合或者2個(gè)搖擺模塊的組合.其工作空間為不規(guī)則的平面.

2.2 構(gòu)形平面工作空間邊界的計(jì)算

前3種類型構(gòu)形平面的工作空間容易表示，其位置多在整個(gè)機(jī)器人構(gòu)形的最前端和最后端，在構(gòu)形平面匹配時(shí)一些參數(shù)容易確定，也容易匹配.由于設(shè)計(jì)的搖擺模塊是非偏置形式的，這種形式模塊的運(yùn)動(dòng)空間是有限制的，從而造成了最后一種類型構(gòu)形平面的工作空間是不規(guī)則的，在進(jìn)行匹配時(shí)既要考慮位置是否匹配，而且要考慮各關(guān)節(jié)角是否滿足要求.在構(gòu)形平面內(nèi)移動(dòng)模塊和搖擺模塊決定工作空間大小.

第4種類型構(gòu)形平面是研究的重點(diǎn)，采用極坐標(biāo)的形式表示平面構(gòu)形的工作空間，首先在給定任意極坐標(biāo)角下，采用構(gòu)形平面內(nèi)的機(jī)器人末端點(diǎn)到構(gòu)形中心最大值和最小值，以便進(jìn)行多連域工作空間區(qū)間的搜索.

1)極坐標(biāo)角下最大值的求解.當(dāng)目標(biāo)矢量的極坐標(biāo)角未超出第1個(gè)搖擺模塊運(yùn)動(dòng)范圍，則其最大值為

當(dāng)目標(biāo)矢量的極坐標(biāo)角超出第1個(gè)搖擺模塊運(yùn)動(dòng)范圍時(shí)，如圖2所示，D'B為其余關(guān)節(jié)最大長度和，首先將第1個(gè)關(guān)節(jié)置于距離極坐標(biāo)角最近的極限角，然后將第2個(gè)搖擺關(guān)節(jié)置于與第1個(gè)搖擺關(guān)節(jié)相同的極限角處，求解D'的位置坐標(biāo)，查看其極坐標(biāo)角與第1個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角是否分布在目標(biāo)極坐標(biāo)矢量的兩側(cè).若不在兩側(cè)則繼續(xù)以相同的方法進(jìn)行尋找，直到所有關(guān)節(jié)都找到，如果所有的搖擺關(guān)節(jié)都找完后，仍然不能夠使D'的極坐標(biāo)角與前一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角分布在目標(biāo)矢量角的兩側(cè)，則說明在這個(gè)矢量角下，構(gòu)形平面的構(gòu)形末端不能到達(dá)目標(biāo)點(diǎn).如果在某一搖擺關(guān)節(jié)處于極限角處，能夠使D'的極坐標(biāo)角與前一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角分布在目標(biāo)矢量極坐標(biāo)角的兩側(cè)，則在目標(biāo)矢量極坐標(biāo)角處，構(gòu)形平面內(nèi)的構(gòu)形能夠達(dá)到最大的距離值.

圖2 最大值求解示意Fig.2 Sketch of solving the maximum value

2)極坐標(biāo)角下最小值的求解.極坐標(biāo)角下最小值的求解較為復(fù)雜.如果最大值存在，則最小值也就存在.

思路 首先在構(gòu)形平面內(nèi)找到一個(gè)搖擺中心，要求搖擺中心分成的2個(gè)部分長度的差值最小，如圖3所示.然后將O2、O3為中心的搖擺模塊的中心都置于極限處，察看O2O4與O3O5是否發(fā)生干涉如圖4所示，對(duì)于非偏置搖擺模塊，其在構(gòu)形平面內(nèi)是不會(huì)產(chǎn)生交叉狀況.

圖3 構(gòu)形平面的搖擺中心確定示意Fig.3 Confirmation sketch of swing center of configuration plane

在△O1O2O3中，可直接求得O2O3，進(jìn)而可求出∠O1O2O3和∠O1O3O2.

此時(shí)有3種情況:

1)∠O1O2O3和∠O1O3O2都沒有超出搖擺關(guān)節(jié)的極限.此時(shí)O2O4與O3O5發(fā)生干涉，則最小值為0.

2)∠O1O2O3和∠O1O3O2有一個(gè)角超出了搖擺關(guān)節(jié)的極限.設(shè)∠O1O3O2超出，如圖 4所示，∠O1O3O5為極限角.如果在O3O5段還有搖擺關(guān)節(jié)，則以距離O3最近的搖擺模塊為中心，設(shè)為O3'.旋轉(zhuǎn)該模塊，使得O3'O5線段與O3'O2矢量重合.計(jì)算O2O5線段距離，判斷O2O5與O2O4的2個(gè)線段大小，如果O2O5≤O2O4，則極坐標(biāo)角下最小值為0;否則將O2O4旋轉(zhuǎn)到O2O5矢量線上，O4O5就為極坐標(biāo)角下最小值.

圖4 最小值求解示意Fig.4 Sketch of solving the minimus value

3)∠O1O2O3和∠O1O3O2都超出了搖擺關(guān)節(jié)的極限.將這2個(gè)關(guān)節(jié)都置于極限處.其求解過程與上一種情況相同，找到O4O5的最小值.

2.3 構(gòu)形平面工作空間區(qū)間的搜索

構(gòu)形平面工作空間的區(qū)間搜索實(shí)際上是對(duì)區(qū)間界限的搜索.由于要兼顧精度和速度，因此搜索時(shí)采用兩步搜索方法:粗搜索和精搜索結(jié)合的方法［7］.

1)粗搜索.粗搜索用于確定空間邊界的大致區(qū)域，采用等步距Δl進(jìn)行搜索.搜索的范圍為在已知極坐標(biāo)角下，通過上一節(jié)方法求的［lmin，lmax］區(qū)域.其工作流程如圖5所示.

圖5 粗搜索流程圖Fig.5 Soarse search flowchart

2)細(xì)搜索.細(xì)搜索為通過粗搜索確定的空間邊界，搜索滿足一定精度的邊界點(diǎn)，采用二分法進(jìn)行邊界搜索.其工作流程如圖6所示.

圖6 細(xì)搜索流程圖Fig.6 Fine search flowchart

3 8-DOF機(jī)器人的構(gòu)形平面工作空間計(jì)算

以一個(gè)8-DOF機(jī)器人構(gòu)形［8］進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其關(guān)節(jié)參數(shù)如表1所示，構(gòu)形如圖7所示.

表1 8-DOF機(jī)器人參數(shù)Table 1 8-DOF robot parameters

機(jī)器人初始點(diǎn)的位置姿態(tài)矩陣如下:

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)的位置姿態(tài)矩陣如下:

進(jìn)行構(gòu)形平面劃分后，以關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)7作為劃分點(diǎn)，分解成3個(gè)構(gòu)形平面:關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2組成構(gòu)形平面1;關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5、關(guān)節(jié)6組成構(gòu)形平面2;關(guān)節(jié)7和關(guān)節(jié)8組成構(gòu)形平面3.構(gòu)形平面工作空間形式固定，易于求解，也易于匹配.通過計(jì)算，構(gòu)形平面2的末端相對(duì)于構(gòu)形平面2的中心的位姿矩陣為

圖7 8-DOF工作構(gòu)形Fig.7 8-DOF configuration robot

圖8 極坐標(biāo)下構(gòu)形平面工作空間Fig.8 Configuration plane working space in polar coordinates

也就是說，在構(gòu)形平面2的極坐標(biāo)系中，其末端的極坐標(biāo)角為120.007°情況下，極半徑要滿足657.5.否則，要重新劃分構(gòu)形平面，進(jìn)行構(gòu)形平面匹配.按照前面的說明，構(gòu)形平面的工作空間僅是確定其在極坐標(biāo)角下的工作空間內(nèi)的區(qū)域.通過計(jì)算和搜索，極坐標(biāo)角120.007°下，其構(gòu)形平面2的工作空間為［527，815］，非多區(qū)域工作區(qū)間，如圖8所示.其能夠滿足構(gòu)形平面間的位姿匹配要求，可求出可重構(gòu)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解.

4 結(jié)論

1)通過對(duì)構(gòu)形平面的工作空間分析，總結(jié)出4種基本構(gòu)形平面的工作空間類型，為可重構(gòu)機(jī)器人在任意空間工作位形下的構(gòu)形平面劃分提供了依據(jù).

2)針對(duì)復(fù)雜的多連域構(gòu)形平面工作空間，提出了極坐標(biāo)下區(qū)間形式的工作空間表達(dá)方法，極大簡化了工作空間的計(jì)算量，為可重構(gòu)機(jī)器人構(gòu)形平間的位姿匹配節(jié)省了時(shí)間，進(jìn)而保證機(jī)器人的工作的實(shí)時(shí)性.

3)采用了先計(jì)算工作空間邊界，后通過粗搜索、細(xì)搜索結(jié)合確定工作區(qū)間的方法，極大加快工作空間的計(jì)算速度，提高計(jì)算方法的效率.

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