凌志超， 張?zhí)焖?/p>

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

恒化器是一種用來連續(xù)培養(yǎng)微生物的實(shí)驗(yàn)室儀器，其營養(yǎng)物的輸入和流出近似地模擬了自然界的連續(xù)代謝過程，主要用于模擬湖泊和海洋中單細(xì)胞藻類浮游生物的生長，在廢水處理或者基因產(chǎn)品生產(chǎn)等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用，很多學(xué)者對此進(jìn)行了大量的研究［1－7］.如文獻(xiàn)［5］討論了微生物連續(xù)培養(yǎng)三維競爭模型系統(tǒng)解的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［6］對消耗率參數(shù)為一次函數(shù)的單食物鏈模型進(jìn)行了定性研究.而文獻(xiàn)［7］則研究了具有正比增長率且消耗率參數(shù)分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)的二維微生物培養(yǎng)模型系統(tǒng)的極限環(huán)和Hopf分支存在性.

本文主要考慮三維單食物鏈種群競爭模型，假設(shè)被捕食種群對營養(yǎng)基和捕食種群對被捕食種群具有形為δ（s）＝A＋Bs＋Cs2的二次函數(shù)消耗率參數(shù)，并通過定性分析證明系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)正向不變集的存在性.

1 變消耗率模型及定性分析

考查恒化器中只有兩種微生物，即捕食和被捕食種群的三維單食物鏈模型

式中，s（t），x（t），y（t）分別表示t時(shí)刻恒化器中營養(yǎng)基、被捕食種群和捕食種群的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；s0為輸入營養(yǎng)基的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；D為輸入輸出率；δ－11（s），δ－12（s）分別為被捕食種群x對營養(yǎng)基s的消耗率和捕食種群y對被捕食種群x的消耗率，δ－11（s）＝分別為被捕食種群x和捕食種群y的生長函數(shù)，ki為系數(shù)，均為正常數(shù)，i＝1，2.

s（t）不會比初始流入的質(zhì)量分?jǐn)?shù)s0更大，從而0＜s≤1.

證明 由系統(tǒng)（2）的第2和第3個(gè)方程知，若mi≤1（i＝1，2），則若mi＞1且λi≥1時(shí)（i＝1，2），也有所以，當(dāng)t→∞時(shí)，x（t）→0，y（t）→0.

命題說明，當(dāng)微生物種群x，y本身的參數(shù)，即最大增長率mi≤1較小時(shí)或mi＞1較大但半飽和常數(shù)ki≥（mi－1）也較大時(shí)，微生物種群都不能存活，就失去了研究的價(jià)值，因此，在下面的討論中，均假設(shè)mi＞1，λi＜1，i＝1，2.

考慮系統(tǒng)（2）的平衡解，其必滿足方程組

解方程組得平衡點(diǎn)E0（1，0，0），E1（λ1，（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21），0），Ec（sc，xc，yc）.其中，xc＝λ2＞0，sc，yc滿足方程

記

定理1 系統(tǒng)（2）存在E0（1，0，0），E1（λ1，（1－ λ1）（A＋Bλ1＋λ12），0），Ec（sc，xc，yc）這3個(gè)有限遠(yuǎn)的平衡點(diǎn)，其中，E0為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.

當(dāng)（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＞λ2或（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＜λ2，且

時(shí)，E1為不穩(wěn)定平衡點(diǎn).

當(dāng)（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＜λ2，且

時(shí)，E1為穩(wěn)定平衡點(diǎn).

證明 系統(tǒng)（2）在E0處的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征方程的特征根為γ1，2＝－1＜0，由于上面假設(shè)λi＜1，i＝1，2.可推知

所以，E0為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.

在E1處，特征方程為

特征根

當(dāng)

時(shí)，b＞0，所以，r2，r3均有負(fù)實(shí)部或均為負(fù)實(shí)根，從而E1是穩(wěn)定的.

而當(dāng)

時(shí)，b＜0，此時(shí)，r2，r3均有正實(shí)部或均為正實(shí)根，從而E1為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

在Ec處，其對應(yīng)的特征方程為r3＋a1r2＋a2r＋a3＝0，其中

定理2 系統(tǒng)（2）存在正向不變集

其中，0＜N＜∞，θ0∈R＋.

證明 系統(tǒng)（2）存在解平面x＝0，y＝0，考察平面s＝0，由于所以，系統(tǒng)（2）軌線當(dāng)t增加時(shí)是由區(qū)域Ω1＝｛（s，x，y）｜s＜0，x＞0，y＞0｝穿過平面s＝0而進(jìn)入?yún)^(qū)域Ω，即從任意（s，x，y）出發(fā)的軌線，當(dāng)t→∞時(shí)穿過平面s＝0而進(jìn)入Ω.再考慮平面

因?yàn)閤，y有界，A，B，C，R，P，Q，mi，ki均為常數(shù)，i＝1，2.所以，對充分大的N，有則系統(tǒng)（2）的軌線穿過平面F＝0時(shí)，是由外向內(nèi)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ω的，即任意從（s，x，y）出發(fā)的軌線，當(dāng)t→∞時(shí)，不會穿過F＝0跑出區(qū)域Ω.

綜上所述，Ω為系統(tǒng)（2）的不變區(qū)域.

2 結(jié)束語

研究了一類變消耗率食物鏈模型，分析了其平衡點(diǎn)的類型，證明了各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并證明出系統(tǒng)存在正向不變集，由此可見，對于此類模型，當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，同時(shí)培養(yǎng)兩種微生物且使微生物種群共存這一目的是可以實(shí)現(xiàn)的.

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