徐天群，陳躍鵬，劉煥彬

(1.武漢理工大學(xué)a.理學(xué)院；b.自動化學(xué)院，武漢430070；2.黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，湖北黃州438000）

0 引言

在可靠性試驗(yàn)中，獲得的數(shù)據(jù)一般是定數(shù)或定時截尾數(shù)據(jù)。在定時截尾試驗(yàn)中，有時會遇到無失效數(shù)據(jù)，即在規(guī)定的時間內(nèi)沒有樣品失效（r=0）。當(dāng)產(chǎn)品可靠性不很高時，定時截尾數(shù)據(jù)中的失效數(shù)通常有r≥1，此時已有較成熟的統(tǒng)計(jì)方法來處理該類數(shù)據(jù)。但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品的質(zhì)量越來越高。在可靠性試驗(yàn)中，“無失效數(shù)據(jù)”的現(xiàn)象越來越多。因此，對無失效數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性研究具有很重要的應(yīng)用價(jià)值。

自Martz和Waller[1]用無失效數(shù)據(jù)作驗(yàn)證試驗(yàn)以來，對無失效數(shù)據(jù)的研究已有二十多年的歷史了。在無失效數(shù)據(jù)的處理中，為了充分利用產(chǎn)品的各種先驗(yàn)信息以提高估計(jì)的精度，常常采用Bayes方法。韓明[2給出了無失效數(shù)據(jù)情形超參數(shù)取某種先驗(yàn)分布下失效概率的多層Bayes估計(jì)和E-Bayes估計(jì)。張曉冉[3]研究了無失效數(shù)據(jù)失效概率的單層Bayes迭代估計(jì)和多層Bayes迭代估計(jì)。傅惠民，張勇波[4]提出了一種正態(tài)分布定時無失效數(shù)據(jù)可靠性分析方法。張志華，姜禮平[5]利用分布函數(shù)的凹凸性，給出了正態(tài)分布場合下失效概率的Bayes估計(jì)，進(jìn)而得到了產(chǎn)品可靠性指標(biāo)的估計(jì)。李億民[6]給出了失效概率的多層Bayes估計(jì)，進(jìn)而給出了正態(tài)分布參數(shù)及可靠度的估計(jì)。寧江凡[7]利用Bayes法和最小二乘法，給出了液體火箭發(fā)動機(jī)無失效條件下失效概率和可靠度的估計(jì)。

本文將給出正態(tài)分布參數(shù)及可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)。

1 失效概率pi的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)

假設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布，即T～N(μ, σ2)，其密度函數(shù)為：

其中，t＞0，σ＞0。

對某產(chǎn)品進(jìn)行m次定時截尾試驗(yàn)，截尾時間為ti(t1＜t2＜…＜tm)，ni為相應(yīng)的試驗(yàn)樣品數(shù)，若整個試驗(yàn)過程沒有一個樣品失效，則稱（ti，ni）（i=1，2，…，m）為無失效數(shù)據(jù)。這組無失效數(shù)據(jù)也可寫為（ti，si)（i=1，2，…,m）。其中， ；i=1，2，…,m。

文獻(xiàn)[8]提出了處理無失效數(shù)據(jù)的一種方法—加權(quán)最小二乘法。利用該方法對產(chǎn)品壽命分布的參數(shù)和可靠度進(jìn)行估計(jì)時，首先是要給出時刻ti處失效概率pi=P(T＜ti)的估計(jì)p?i，其中T是產(chǎn)品的壽命；然后用加權(quán)最小二乘法估計(jì)壽命分布中的各個參數(shù)；最后給出可靠度的估計(jì)。其中關(guān)鍵是要給出失效概率pi的估計(jì)。

1.1 pi的E-Bayes估計(jì)的定義

若 pi的先驗(yàn)分布為共軛分布—Beta分布，其密度函數(shù)為：

其中，a和b為兩個超參數(shù)，0＜pi＜1, a＞0, b＞0，為Beta函數(shù)。

在無失效數(shù)據(jù)中，認(rèn)為產(chǎn)品的失效概率大的可能性小，小的可能性大，因此應(yīng)取 pi的減函數(shù)作為 pi的先驗(yàn)分布。通過求導(dǎo)知，當(dāng)0＜a≤1, b＞1時，π(pi|a,b)為pi的減函數(shù)。

當(dāng)a=1, b＞1時，π(pi|a,b)仍為 pi的減函數(shù)。由于在貝葉斯估計(jì)中，要考慮估計(jì)的穩(wěn)健性，當(dāng)先驗(yàn)分布的尾部越細(xì)時，Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性越差，所以b不宜太大，假定b的一個上界為c，這樣可以確定b的范圍為1＜b＜c。當(dāng)a=1時，pi的先驗(yàn)分布為：

其中，0＜pi＜1, 1＜b＜c。

從定義可以看出，pi的E-Bayes估計(jì)是將的Bayes估計(jì)）對超參數(shù)b求數(shù)學(xué)期望（expectation）。

1.2 pi的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)

定理1[2]對某產(chǎn)品做m次定時截尾試驗(yàn)，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗(yàn)分布由式（2）給出，超參數(shù)b的先驗(yàn)分布為（c＞1），則在平方損失函數(shù)下

（1）pi的E-Bayes估計(jì)為：

（2）pi的多層Bayes估計(jì)為：

定理2對某產(chǎn)品做m次定時截尾試驗(yàn)，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗(yàn)分布由式（2）給出，超參數(shù)b的先驗(yàn)分布為（1＜b＜c），則在平方損失函數(shù)下

（1）pi的E-Bayes估計(jì)為：

（2）pi的多層Bayes估計(jì)為：

證明：（1）在無失效數(shù)據(jù)情形下，pi的似然函數(shù)為[8]：

若pi的先驗(yàn)分布由式（2）給出，則根據(jù)Bayes定理，pi的后驗(yàn)分布為：

在平方損失函數(shù)下，pi的Bayes估計(jì)為后驗(yàn)均值，即

若超參數(shù)b的先驗(yàn)分布為

則pi的E-Bayes估計(jì)為:

（2）pi的多層先驗(yàn)分布為:

pi的多層后驗(yàn)分布為:

在平方損失函數(shù)下，pi的多層Bayes估計(jì)為后驗(yàn)均值，即：

定理3對某產(chǎn)品做m次定時截尾試驗(yàn)，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記 si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗(yàn)分布由式（2）給出，超參數(shù)b的先驗(yàn)分布為（1＜b＜c），則在平方損失函數(shù)下

（1）pi的E-Bayes估計(jì)為：

（2）pi的多層Bayes估計(jì)為：

該定理的證明同定理2，證明略。

2 正態(tài)分布參數(shù)及可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)

假設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為式（1），則時刻t處可靠度的估計(jì)為，其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

利用加權(quán)最小二乘法，得到參數(shù)μ和σ的估計(jì)分別為[8]：

由定理1、2、3可以得到失效概率pi在超參數(shù)b分別取3種先驗(yàn)分布時的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)：，用這些估計(jì)分別代替上面的，得出μ?和；再由分布函數(shù)即可求得時刻t正態(tài)分布可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)分別為：(j=1,2，3)。

3 實(shí)例分析

3.1 軸承壽命分布的參數(shù)及可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的計(jì)算結(jié)果

某軸承的無失效數(shù)據(jù)[9]（單位時間：小時）如表1，假定軸承的壽命服從正態(tài)分布。

表1 軸承的無失效數(shù)據(jù)

表2 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

表2 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

?

3.2 經(jīng)典方法可靠度的估計(jì)結(jié)果

經(jīng)典方法[8]是指先利用次序統(tǒng)計(jì)量給出諸 pi的估計(jì)；然后利用加權(quán)最小二乘法來擬合正態(tài)分布曲線。用經(jīng)典方法計(jì)算出該軸承壽命分布的參數(shù)和77小時處、277小時處可靠度的估計(jì)分別為：

3.3 結(jié)果分析

表3 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

表3 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

c 2 3 4 μ?EB2 σ?EB2 R?EB2（77）R?EB2（277）μ?HB2 σ?HB2 R?HB2（77）R?HB2（277）5 1560.9 590.7058 0.9940 0.9851 1564.9 592.8436 0.9940 0.9851 1603.6 614.5296 0.9935 0.9846 1615.4 620.6766 0.9934 0.9845 1644.5 637.0049 0.9931 0.9841 1665.1 647.5390 0.9929 0.9840 6 1683.8 658.3337 0.9927 0.9837 1713.3 673.1612 0.9925 0.9836 1721.7 678.6706 0.9923 0.9834 1760.0 697.5339 0.9921 0.9832

表4 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

表4 參數(shù)和可靠度的計(jì)算結(jié)果

c 2 5 6 3 4 μ?EB3 σ?EB3 R?EB3（77）R?EB3（277）μ?HB3 σ?HB3 R?HB3（77）R?HB3（277）1601.2 613.3799 0.9935 0.9846 1605.5 615.7039 0.9935 0.9845 1696.8 666.2236 0.9925 0.9835 1706.8 671.4286 0.9924 0.9834 1794.9 719.4664 0.9915 0.9826 1809.8 726.9790 0.9914 0.9825 1894.1 772.4207 0.9907 0.9819 1913.1 781.7173 0.9906 0.9818 1994.1 824.9484 0.9899 0.9813 2016.4 835.6001 0.9899 0.9813

對表2～4分析如下：

（1）對不同的c，可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)都是穩(wěn)健的。在應(yīng)用中，c可以取區(qū)間（2，6）的中點(diǎn)，即c=4。

（2）對相同的c和相同的時間t，在超參數(shù)取同一種先驗(yàn)分布下，可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)非常接近；可靠度的三種E-Bayes估計(jì)有：，三種多層Bayes估計(jì)有：；由經(jīng)典方法得出的可靠度的估計(jì)比E-Bayes估計(jì)法和多層Bayes估計(jì)法要大（取c=4）。

（3）當(dāng)c增大時，可靠度的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)都減小。

4 結(jié)論

從定理1、2、3可看出，失效概率的E-Bayes估計(jì)表達(dá)式比多層Bayes估計(jì)簡單些。

從計(jì)算結(jié)果可看出，對超參數(shù)的同一種先驗(yàn)分布，可靠度的E-Bayes估計(jì)(t)(j=1，2，3)和多層Bayes估計(jì)(j=1，2，3)結(jié)果非常接近。

[1]Martz H F，Waller R A.Zero-Failure（BAZE）Reliability Demonstra?tion Testing Procedure[J].Journal of Quality Technology,1979，11（3）.

[2]韓明.失效概率的E-Bayes估計(jì)及其性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2007， 27A（3）.

[3]張曉冉，張海娟，高作峰.無失效數(shù)據(jù)的一類迭代Bayes分析[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2009，55（4）.

[4]傅惠民，張勇波.正態(tài)分布定時無失效數(shù)據(jù)可靠性分析方法[J].航空動力學(xué)報(bào)，2010，25（2）.

[5]張志華，姜禮平.正態(tài)分布場合下無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（4）.

[6]李億民.正態(tài)分布無失效數(shù)據(jù)的多重Bayes方法[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，24（2）.

[7]寧江凡，鄢小清，張士峰.液體火箭發(fā)動機(jī)無失效條件下的可靠性分析方法[J].國防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（5）.

[8]茆詩松，羅朝斌.無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1989，4（4）.

[9]茆詩松，夏劍鋒，管文琪.軸承壽命試驗(yàn)中無失效數(shù)據(jù)的處理[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1993，9（3）.