李兆軍，毛 濤，劉小蘇，梁光輝

(廣西大學機械工程學院，廣西 南 寧 530004)

回轉傳動機構和工作裝置，是液壓挖掘機的重要組成部分，它們在液壓挖掘機回轉和作業(yè)過程中，起著非常大的作用[1]。其動態(tài)性能的好壞，不僅直接影響整臺機器的正常工作，而且還直接關系到操作人員和設備的安全，因而其動態(tài)性能是整機設計水平的重要標志。深入研究回轉傳動機構和工作裝置的動態(tài)性能，對液壓挖掘機使用和整機的設計具有十分重要的意義。

近年來，人們不僅對液壓挖掘機回轉傳動機構動力學問題進行了大量的研究[2~3]，而且在液壓挖掘機工作裝置動力學問題的研究，也取得了許多令人欣慰的成果[4~6]。但是，液壓挖掘機回轉傳動機構和工作裝置，不是孤立存在的，而是一個相互作用、相互影響的耦合系統(tǒng)，因而有必要將液壓挖掘機的回轉傳動機構和工作裝置，作為一個系統(tǒng)對其動力學問題進行深入研究。然而，迄今未見有綜合研究液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)耦合動力學問題的文獻。

本文以液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)為研究對象，運用有限元法建立液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)動態(tài)方程，并通過實例對系統(tǒng)的動態(tài)響應進行分析。

1 回轉傳動機構動力學方程

在一般的分析中，通常把齒輪視為剛體，實際上齒輪是一個彈性體，在運轉過程中，齒輪的嚙合會產生振動。簡單而不失一般性，在液壓挖掘機回轉齒輪傳動機構動力分析中，進行如下簡化：在內齒輪與行星齒輪嚙合工作中，忽略因回轉軸承受到傾覆力時兩個齒輪回轉軸的變化；行星齒輪通過其回轉軸與挖掘機轉臺剛性連接，即忽略齒輪回轉軸和挖掘機轉臺的彈性變形。

由于液壓挖掘機工作過程中，回轉傳動機構的內齒輪固定在底架上，假設內齒輪為靜止不動，則只有行星齒輪繞回轉中心軸公轉。

如圖1所示，坐標系XOZ為液壓挖掘機回轉齒輪傳動機構單元坐標系(Y方向為垂直于紙面向內)。由于動力學分析中主要考慮輪齒的彈性變形，則回轉傳動機構在Y軸方向上的縱向位移為零。設u11為內齒輪輪齒繞Y軸的轉角位移；u12為行星齒輪繞其自轉軸的轉角位移；u13、u14分別為行星齒輪輪齒在XOZ平面內的橫向位移，將這兩個位移在1點出表示出來。于是，此液壓挖掘機回轉傳動機構的廣義坐標列陣可表示為u1={u11u12u13u14}T。

圖1 齒輪轉子的力學模型

1.1 回轉傳動機構的動能

根據動能定理，液壓挖掘機回轉傳動機構系統(tǒng)的動能可表示為

m1為行星齒輪的質量；

Jyy為工作裝置和轉臺上其他構件的轉動慣量，Jyy=J'+Jy，其中J'為轉臺上其他構件的轉動慣量。

對于液壓挖掘機回轉傳動機構，簡單而不失一般性，只考慮嚙合齒輪XOZ平面內的橫向位移，不考慮行星齒輪回轉驅動軸的彈性變形；在行星齒輪運動的絕對速度的計算中，由于齒輪驅動速度較低，彈性體的彈性位移比較小，故不考慮運動中的剛體運動與彈性運動的耦合項[7]。則行星齒輪運動的絕對速度可表示為

φ觶r為行星齒輪繞Y軸的角速度；

θ觶r為行星齒輪繞其自轉軸的角速度；

r2為內齒輪的基圓半徑。

將式（2）代入式（1）得

1.2 回轉傳動機構的勢能

回轉傳動機構是由行星齒輪和內齒輪組成，回轉傳動機構系統(tǒng)的勢能即為行星齒輪和內齒輪之間輪齒嚙合的彈性勢能，可表示為[8]

式中，

kf為行星齒輪與內齒輪間的嚙合剛度；

δ為行星齒輪與內齒輪的作用線上的彈性變形量，可表示為

其中，

準為齒輪嚙合的壓力角。

由于齒輪在嚙合過程中，齒輪的嚙合剛度kf具有明顯的周期性，因而嚙合剛度kf的傅立葉級數形式可表示為[9]

式中，

km為平均嚙合剛度，

kn為第n階諧波的幅值，

ωe為齒輪副的嚙合頻率，

準1n為相位角。

將式(5)代入式(4)，整理得

式中，回轉齒輪傳動機構系統(tǒng)的剛度矩陣可表示為

將式(6)代入式(8)，得

1.3 回轉傳動機構動力學方程

根據拉格朗日方程原理，液壓挖掘機回轉傳動機構動力學方程可寫為

式中，

f1為外加載荷的廣義力列陣。

將式（3）和式（7）代入式(10)中，經整理，得到液壓挖掘機回轉傳動機構系統(tǒng)在不考慮阻尼情況下的運動微分方程為

將式(9)代入式(11)，得

2 變截面梁單元動力學方程

為了更加全面分析液壓挖掘機工作裝置的動態(tài)特性，這里應用有限元法對工作裝置進行動態(tài)特性分析。由于液壓挖掘機工作裝置各構件的長徑比較大，可以用梁單元對工作裝置各構件進行模擬，而且工作裝置構件的橫截面的寬和高都是變化的，故采用變截面梁單元對其進行模擬計算。由于寬度的變化率較小，故忽略寬度的變化。為了簡便而不失一般性，在液壓挖掘機工作裝置機構動力分析中，進行如下簡化：

在研究工作裝置機構梁單元上任一點的絕對加速度時，忽略加速度和速度中的彈性變形運動與剛體運動的耦合項；忽略梁彎曲時梁的截面沿軸向的微小位移；在應變能計算中，忽略剪切變形的影響以及橫向位移對拉壓應變能的影響。此時，變截面梁單元動力學方程可表示為[10]

式中，

m02為變截面梁單元質量矩陣；

k02為變截面梁單元剛度矩陣；

f02為變截面梁單元外加載荷廣義力列陣。

3 系統(tǒng)動態(tài)方程

液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)，是由回轉機構單元和變截面梁單元組成，將回轉機構單元和變截面梁單元的運動微分方程組裝起來，即可得到回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)的運動微分方程。

為簡便而不失一般性，這里對系統(tǒng)進行做如下簡化：

回轉傳動機構與工作裝置通過轉臺剛性連接，即不考慮轉臺的彈性變形。

圖2 齒輪轉子有限元分析簡圖

圖3 工作裝置有限元分析簡圖

在對系統(tǒng)進行有限元分析時，將回轉傳動機構和斗桿各作為1個單元，將工作裝置分為3個單元，如圖2、圖3所示。

圖中 1、2、3、4、5 為節(jié)點編號，①、②、③、④為單元編號，共設置了 19 個廣義坐標，分別用 U1、U2、U3、…、U19表示，

其中 U3、U4、U6、U7、U8、U11、U12、U13、U16、U17、U18為彈性位移；

U1、U2、U5、U9、U10、U14、U15、U19為平面內的彈性轉角，則系統(tǒng)的廣義坐標列陣可表示為

設第i單元坐標與整體坐標間的轉換矩陣為Ri，第i單元局部編號與系統(tǒng)編號間的坐標協(xié)調矩陣為Bi，利用對應的轉換矩陣和協(xié)調矩陣，則可將回轉傳動機構動力學方程與變截面梁單元動力學方程組裝起來，得到計入阻尼影響的液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)動態(tài)方程為

C為采用粘滯阻尼理論近似估計得到的系統(tǒng)阻尼矩陣，且

其中，

mi為第i單元的質量矩陣；

ki（i=2,3,4）為第i單元的剛度矩陣；

fi為第i單元的廣義力列陣。

由于液壓挖掘機工作裝置與回轉傳動機構，通過剛性體連接在一起，回轉傳動機構對工作裝置的振動有著直接的影響，而工作裝置的振動也直接影響到回轉傳動機構的動態(tài)特性，也就是說，液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)內部存在著復雜的耦合關系，而這種復雜的耦合關系，能由式(14)中較好地反映出來。

4 實例分析

本節(jié)以由三一重工生產的SY65C-9小型液壓挖掘機為求解對象，其回轉傳動機構的齒輪參數如表1所示，其工作裝置各構件為箱型結構，其幾何尺寸如表2所示（表2中參數名見圖3），且回轉傳動機構副嚙合頻率ωe=86.67Hz。

由于液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)的動態(tài)特性，隨著系統(tǒng)的位姿不同而不同。這里討論兩種位姿下的動態(tài)性能。

位姿一：β1=60°，且 β2和 β3分別在極小值的位置；

位姿二：β1=30°，且 β2和 β3分別在極大值的位置。

β1、β2和 β3如圖3所示。

表1 回轉齒輪幾何參數

表2 工作裝置各構件的幾何尺寸

表3所示為系統(tǒng)在兩種位姿下的前三階固有頻率的值，顯然，位姿二時系統(tǒng)的固有頻率，比位姿一時系統(tǒng)相對應的固有頻率要大，這是因為位姿二時工作裝置的等效轉動慣量，小于位姿一時工作裝置的等效轉動慣量，從而導致的緣故位姿二時系統(tǒng)的固有頻率，要大于位姿一時系統(tǒng)相對應的固有頻率。

表3 系統(tǒng)前三階固有頻率

圖4、圖5分別為兩種位姿下的回轉齒輪嚙合點的動態(tài)響應仿真圖。顯然，圖4所示的時域響應曲線的幅值，要大于圖5所示的相應幅值，這是因為系統(tǒng)在位姿一時，其自激慣量力要比系統(tǒng)在位姿二時的自激慣量力大，從而導致系統(tǒng)的動態(tài)響應的幅值也較大的緣故。

圖4 Z方向時域響應仿真曲線圖(位姿一)

圖5 Z方向時域響應仿真曲線圖(位姿二)

5 結束語

液壓挖掘機回轉傳動機構和工作裝置，是一個相互作用、相互影響的耦合系統(tǒng)，因而有必要將液壓挖掘機的回轉傳動機構和工作裝置作為一個系統(tǒng)，對其動力學問題進行深入研究。

本文以液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)為研究對象，應用有限元法建立了液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)的耦合動力學模型。

所建方程較好地體現了該系統(tǒng)動態(tài)性能與其結構參數、運動參數之間的內在關系，表達了以往方程未能反映的動態(tài)性能，為進一步深入研究液壓挖掘機回轉傳動機構-工作裝置系統(tǒng)的動力學特性與系統(tǒng)的結構參數及運動參數之間的內在聯系奠定了基礎。

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