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曲面的主曲率中心曲面的相關(guān)性質(zhì)

2012-02-15 20:34樊麗麗
關(guān)鍵詞:球面微分唐山

樊麗麗

(唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河北 唐山 063000)

曲面的主曲率中心曲面的相關(guān)性質(zhì)

樊麗麗

(唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河北 唐山 063000)

闡述了曲面的主曲率中心曲面及其性質(zhì),通過(guò)計(jì)算得到曲面與其主曲率中心曲面的關(guān)系。

主曲率;測(cè)地線;曲面

1 引言及預(yù)備知識(shí)

對(duì)于曲線及曲面的討論始終是幾何學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題。文獻(xiàn)[1-4]中給出了曲線與曲面的一些重要性質(zhì)以及決定空間曲線和曲面形狀的條件。文獻(xiàn)[5]]給出了一個(gè)負(fù)曲率空間型中體現(xiàn)曲線彎曲性質(zhì)的具體的例子:“魚鰾線”,而且探討了空間型中“超平面”的性質(zhì),這對(duì)構(gòu)造體現(xiàn)空間型中閉曲面整體彎曲程度的例子是有幫助的。本文主要闡述了曲面的主曲率中心曲面及其性質(zhì),通過(guò)計(jì)算得到曲面與其主曲率中心曲面的關(guān)系。

定義1[1]對(duì)于高斯曲率K≠0的曲面∑,曲面

稱為∑的主曲率中心曲面,其中iκ為∑的主曲率。

2 主要結(jié)論

定理1曲面∑的法線與其主曲率中心曲面∑i相切。

定理2曲面∑上的曲率線對(duì)應(yīng)于主曲率中心曲面∑i上的測(cè)地線。

定理3球面的主曲率中心曲面∑i退化為一點(diǎn)(球心),圓環(huán)面的主曲率中心曲面∑i退化為一條曲線(圓)。

3 主要結(jié)論的證明

簡(jiǎn)便起見,取曲面的曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。

定理1的證明。

因?yàn)?/p>

同理可證與∑2相切。

定理2的證明。

不妨取∑上曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng),曲率線為κ1的曲線對(duì)應(yīng)u-線Γ,在∑1上它對(duì)應(yīng)于曲線

其切方向

于是∑1的法向量

定理3的證明。

半徑為R球面的主曲率為常數(shù)1/R,故球面的主曲率中心曲面∑i退化為一點(diǎn)(球心)。

若設(shè)球面參數(shù)方程為

其中

則球面的第一、二基本形式分別為

所以主曲率中心曲面

即為一點(diǎn)。

圓環(huán)面的參數(shù)方程為

其中r, a是常數(shù),且0<r<a,同樣經(jīng)過(guò)計(jì)算可得圓環(huán)面的主曲率中心曲面即為它的中心線(圓)。

[1] 陳維桓.微分幾何初步[M].北京:北京大學(xué)出版社, 1995.

[2] 梅向明,黃敬之.微分幾何(第三版)[M].高等教育出版社,2005.

[3] 吳大任.微分幾何講義.[M].北京:人民出版社,1990.

[4] 黃宣國(guó).空間解析幾何與微分幾何[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

[5] 王雨生.空間型中的曲線和曲面.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào), 40(5):569-573.

(責(zé)任編輯、校對(duì):趙光峰)

Properties of the Center of Principal Curvature Surface

FAN Li-li

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

Properties of the center of principal curvature surface were elaborated, and the relations between the surface and center of principal curvature surface were obtained by calculating.

principle curvature; geodesic; curvature surface

O186.1

A

1009-9115(2012)02-0034-02

唐山師范學(xué)院科學(xué)研究與發(fā)展基金項(xiàng)目(07C21)

2011-10-01

樊麗麗(1981-),女,河北保定人,碩士,講師,研究方向?yàn)槲⒎謳缀巍?/p>

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