張順浩，鄭鐵生

（1.朝鮮理科大學 數(shù)學及力學系，朝鮮平壤恩情區(qū)；2.復旦大學 力學與工程科學系，上海 200433）

在具有滑動軸承的轉子系統(tǒng)中，油膜力是轉子失穩(wěn)的主要因素之一。當系統(tǒng)某些參數(shù)（旋轉速度，間隙等）改變時，系統(tǒng)會發(fā)生倍周期或概周期分岔直至進入混沌運動。因此研究該類系統(tǒng)的振動特性，穩(wěn)定性及其控制一直是轉子動力學的重要課題。國內外許多文獻對該類系統(tǒng)進行了研究。Shen等［1］用基于變分不等方程的油膜力計算方法分析了轉子-軸承系統(tǒng)的非線性動力學特性；平衡轉子的Hopf分叉，不平衡轉子的周期振動，概周期振動和混沌振動。徐小峰和張文［2］指出對于不平衡轉子-軸承系統(tǒng)，隨著質量偏心的增大，運動變得復雜，隨著轉速的增大，周期渦動，倍周期分叉，混沌運動交替出現(xiàn)。近年來，應用電磁力作為控制力源的電磁主動控制引起許多學者的重視。Das［3］和 Chen-Chao Fan 等［4］在轉軸上設置了電磁激勵機，研究了轉子-軸承系統(tǒng)振動控制方法。利用轉子-軸承系統(tǒng)的周期振動反饋信號和預知的反饋控制強度，實現(xiàn)激勵機極線圈電流的PD控制，使轉子和極表面之間的電磁力抑制轉子周期振動的振幅，但未涉及系統(tǒng)混沌運動的控制。

神經網絡已被廣泛應用模式識別和圖像處理，控制和優(yōu)化，預報和智能信息管理以及通信空間科學等領域［5-6］。Ramesh 等［7］把神經網絡跟 OGY 控制方法和Pyragas的反饋控制方法分別結合，研究了VDP振動子的控制問題。譚文和王耀［8］用人工神經網絡，實現(xiàn)了Henon映射混沌運動的控制。Qin等［9］提出了一個用BP神經網絡控制混沌舉動的方法。這些方法所針對的非線性方程具有解析式簡單，目的狀態(tài)明確的特點，因此其混沌運動也易于控制。

本文將Pyragas的反饋控制方法［10-11］和神經網絡結合，在反饋控制強度的計算上采用間接誤差計算的BP算法和自適應學習率的BP算法結合而形成的改進型BP神經網絡方法，不需要較多的系統(tǒng)先驗知識，比如，油膜力的解析表達式，不穩(wěn)定周期軌道等，因而更能適應工程轉子-軸承系統(tǒng)混沌振動控制的實際要求。用此改進型BP神經網絡方法研究了一個具有兩個自由度的非線性轉子-軸承系統(tǒng)的混沌振動控制問題，以神經網絡控制代替反饋控制強度的復雜計算過程。即當嵌入在混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道未知的情況下，以系統(tǒng)輸出的混沌信號為網絡輸入，通過神經網絡學習追尋滯延反饋控制強度，把反饋控制信號施加到轉子上以消除混沌運動，使嵌入在混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道回到穩(wěn)定周期軌道上。

1 轉子－軸承系統(tǒng)的數(shù)學模型

Jeffcott剛性轉子-軸承系統(tǒng)動力學模型如圖1所示。圖中，O為軸瓦幾何中心，O-x1x2靜止坐標系；Oj為軸頸幾何中心；Oc為轉子質心；G=1/（σm）為無量綱載荷；fx1和fx2分別為無量綱非線性油膜力的水平，垂直分量；ω為轉子角速度。

圖1 Jeffcott剛性轉子-軸承系統(tǒng)動力學模型Fig.1 Configuration of Jeffcott rotor-bearing system

無量綱形式的Jeffcott剛性轉子-軸承系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

其中：

非線性油膜力和，由文獻［12-13］確定為：

其中：

2 控制系統(tǒng)和神經網絡學習

根據(jù)非線性方程（1），變量x1，x2相互耦合。因此只針對一個變量實施反饋控制，就能達到控制系統(tǒng)振動的目的，這樣在實踐中也更易于實行。反饋控制采用文獻［3-4］方案，如圖2所示。設x0（τ）是方程（1）的不穩(wěn)定周期軌道，并且系統(tǒng)已進入混沌運動x（τ）。我們的目的是通過實施反饋控制，使混沌運動重新回歸穩(wěn)定周期運動。

系統(tǒng)的反饋控制方程可寫為：

其中Dxf（x0（τ），τ）為非線性函數(shù)f（x，τ）的雅可比矩陣，顯然它是T周期函數(shù)。根據(jù)Floquet理論，上述方程（3）有正規(guī)解 δx=exp（s，τ）y（τ），其中s為 Floquet指數(shù)，函數(shù)y（τ）為T周期函數(shù)。于是方程（2）中的反饋項為：

從而得到方程（2）的周期變系數(shù)線性微分方程：

該方程的Floquet乘子λ=exp（sT）和反饋強度k之間滿足如下關系：

式（5）的Φ，Ψ分別為方程（3）和方程（4）的基本解矩陣，分別由下面的矩陣線性微分方程確定：

采用神經網絡的控制系統(tǒng)的框圖和實現(xiàn)方案如圖2所示。

圖2 用神經網絡的控制系統(tǒng)框圖與反饋控制方案Fig.2 Diagram of chaos control system using neural net and feedback control scheme

上式中E為輸出層的學習誤差；0＜μ＜1為慣性系數(shù)，可提高收斂速度，抑制寄生振蕩，改善動態(tài)性能；0＜γ＜1為學習率，為加快算法的收斂速度，令：

圖3 具有2層的BP神經網絡的結構和學習Fig.3 Back propagation neural net course

3 數(shù)值仿真

取m=70，σ =0.1，由文獻［13］可知：當 0.05 ＜ ρ＜0.1時，系統(tǒng)（1）處于周期運動狀態(tài)；當 0.1＜ρ＜0.245時，處于倍周期分叉狀態(tài)；當0.245 ＜ρ＜0.26 時，處于概周期運動狀態(tài)；當0.26＜ρ＜0.37時，處于混沌運動狀態(tài)；當0.37＜ρ＜0.5時，為周期運動狀態(tài)。當ρ=0.31 時，x1（τ），x2（τ），的時域波形，功率譜，軸心軌跡分別如圖4所示。

圖4 控制前的系統(tǒng)的響應（ρ=0.31）Fig.4 The system response without control（ρ=0.31）

圖5 控制x1的過渡期和結束后的系統(tǒng)的響應Fig.5 The system response with control of x1

4 結論

本文采用改進型BP神經網絡方法，實現(xiàn)了剛性Jeffcott轉子-軸承系統(tǒng)的混沌振動控制。當無量綱偏心為ρ=0.31時，系統(tǒng)進入混沌運動。引入滯延反饋控制，通過間接誤差計算的BP神經網絡學習方法和自適應學習率BP算法，獲得恰當?shù)姆答伩刂茝姸?，使嵌入在混沌吸引子中的周期?π的不穩(wěn)定周期軌道回到穩(wěn)定周期軌道上。在網絡訓練過程中，根據(jù)轉子-軸承系統(tǒng)的輸出，自動追尋滯延反饋控制強度。從數(shù)值仿真曲線可知，該方法具有控制反應快，所施控制小的特點，控制效果跟控制變量的選擇無關。特別是，對工程實際轉子-軸承系統(tǒng)，采用電磁激勵器控制，對于油膜力無解析表達式，而且不穩(wěn)定周期軌道未知的場合，該方法尤為有效。

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