李惠峰 孫國慶 何睿智

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191）

1 引言

近年來由于可重復(fù)使用運(yùn)載器（Reusable Launch Vehicle，RLV）擁有大的縱程和橫程機(jī)動(dòng)能力，受到各國科研人員廣泛的關(guān)注，各個(gè)國家均已投入大量人力、物力進(jìn)行研究。當(dāng)飛行器再入時(shí)，飛行器需要較長一段時(shí)間在大氣層中飛行，將受到熱流密度、動(dòng)壓、過載的嚴(yán)格約束，又由于飛行器需要進(jìn)行主動(dòng)姿態(tài)控制，給飛行器材料和內(nèi)部設(shè)施熱絕緣帶來巨大的挑戰(zhàn)，所以飛行器安全、可靠的再入成為非常重要的問題。

再入飛行器覆蓋區(qū)是指飛行器以某一初始條件再入在地球表面能夠獲得著陸的范圍，是評(píng)估再入飛行器航程覆蓋能力的重要性能指標(biāo)。當(dāng)再入飛行器返回時(shí)，通過覆蓋區(qū)的信息和飛行器的狀態(tài)來確定飛行器的著陸點(diǎn)。

國內(nèi)外的研究工作中主要有四種覆蓋區(qū)求解方法：通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)將覆蓋區(qū)求解轉(zhuǎn)化為在自由縱程下最大橫程的參數(shù)搜索問題［1］；利用直接法轉(zhuǎn)換為軌跡優(yōu)化問題［2－3］；通過最大和最小阻力包線近似判定覆蓋區(qū)外邊界和內(nèi)邊界［4］；文獻(xiàn)［5－6］中論述在規(guī)定的縱程下，最近軌跡和最大橫程問題，兩個(gè)問題解決方法相同，將覆蓋區(qū)問題轉(zhuǎn)化為最近軌跡下的單一參數(shù)搜索問題。大部分方法在求解覆蓋區(qū)問題時(shí)都需要進(jìn)行參數(shù)搜索，而且往往是多參數(shù)搜索，傳統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化主要有基于極大值原理的間接法和基于非線性規(guī)劃理論的直接法［7］。但無論是直接法還是間接法，都需要根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)設(shè)置參數(shù)初值，然后通過試錯(cuò)法對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，而目標(biāo)函數(shù)對(duì)待優(yōu)化參數(shù)的微小變化十分敏感，給全局尋優(yōu)帶來很大困難，很難找到全局最優(yōu)解，并要花費(fèi)大量的時(shí)間。所以優(yōu)化結(jié)果的好壞在很大程度上取決于某些優(yōu)化變量的初始猜測值以及優(yōu)化算法的性能。

本文針對(duì)覆蓋區(qū)求解過程中優(yōu)化參數(shù)的初值選取和優(yōu)化算法性能與效率問題，利用多學(xué)科優(yōu)化軟件，找到參數(shù)優(yōu)化的初值點(diǎn)，基于參數(shù)的響應(yīng)面特性，在分析全局優(yōu)化算法和局部優(yōu)化算法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了混合優(yōu)化算法，將具有較好全局優(yōu)化性能的遺傳算法和局部優(yōu)化性能突出的模式搜索法相結(jié)合，仿真結(jié)果表明混合優(yōu)化算法具有精度高、收斂快等特點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確且高效地獲得再入覆蓋區(qū)，有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

圖1 覆蓋區(qū)示意Fig.1 Illustration of footprint

2 覆蓋區(qū)問題建模

（1）覆蓋區(qū)問題描述

本文在求解覆蓋區(qū)時(shí)，采用定縱程下的最大橫程方法來求解。如圖1所示，E為再入點(diǎn)，ED 是最大的縱程，AD 和CD 是給定的縱程（EB1，EB2，…，EBK）下最大橫程的集合，AC 是最小縱程的集合，覆蓋區(qū)定義為被AD、CD 和AC 連接包圍的范圍。這里不考慮最小縱程的集合AC，主要考慮外邊界AD 和CD 的求解。

（2）無動(dòng)力再入運(yùn)動(dòng)方程

考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)圓球旋轉(zhuǎn)時(shí)，引起的科里奧利力（Coriolis Force）和牽引力引起的影響，RLV 無動(dòng)力再入飛行器，在極坐標(biāo)系下的量綱一運(yùn)動(dòng)方程為

為了提高數(shù)值計(jì)算精度，對(duì)各變量進(jìn)行歸一化處理，即用原變量除以對(duì)應(yīng)的歸一化系數(shù)，其中r為地心矢徑長度，歸一化系數(shù)為地球半徑R0；V 是速度，歸一化系數(shù)為L，D 是氣動(dòng)升力和阻力，歸一化系數(shù)為mgn，相應(yīng)的升力系數(shù)為CL，阻力系數(shù)為CD，m 是飛行器質(zhì)量；γ是航跡傾角；σ是滾轉(zhuǎn)角；θ，φ是經(jīng)度和緯度；ψ 是方位角；Ω 是地球自轉(zhuǎn)角速度。時(shí)間t采用進(jìn)行歸一化，控制變量為滾轉(zhuǎn)角σ和攻角α。如無特別說明，下文中變量均為歸一化變量。

采用以下假設(shè)條件：重力加速度為常值gn；滿足準(zhǔn)平衡滑翔條件；高度為常值且r＝1；不考慮地球自轉(zhuǎn)，忽略哥氏加速度與牽連加速度。經(jīng)簡化處理得到三自由度運(yùn)動(dòng)方程：

（3）平衡滑翔約束條件

對(duì)于再入飛行器而言，再入過程受到動(dòng)力學(xué)和物理學(xué)約束，比如氣動(dòng)加熱，過載及動(dòng)壓約束［6］，再入飛行器以高超聲速在大氣層中飛行時(shí)，空氣受到強(qiáng)烈的壓縮和摩擦作用，大部分能量轉(zhuǎn)化成熱能，導(dǎo)致周圍空氣溫度急劇升高，而且熱能迅速向飛行器表面?zhèn)鬟f，引起嚴(yán)重的氣動(dòng)加熱問題。如果氣動(dòng)加熱過度，會(huì)損壞飛行器和內(nèi)部設(shè)備，所以對(duì)溫度的限制十分有必要；而機(jī)體結(jié)構(gòu)和運(yùn)載器表面放熱材料的強(qiáng)度決定了飛行器的動(dòng)壓約束；飛行器在飛行時(shí)受到載荷作用，當(dāng)載荷超過承受極限，飛行器結(jié)構(gòu)和內(nèi)部儀表可能會(huì)遭到破壞，因此也需要對(duì)飛行器所受的總過載進(jìn)行限制。這些常規(guī)約束對(duì)再入過程影響很大，此外為保證平滑再入飛行，還要考慮準(zhǔn)平衡滑翔約束。

對(duì)具有高升阻比的再入飛行器，在進(jìn)行滑翔飛行時(shí)，其法向加速度較小，從而導(dǎo)致航跡傾角以及航跡傾角變化率很小。由此，高聲速飛行器三自由度再入運(yùn)動(dòng)方程組中，表示航跡傾角變化的微分方程，就可以通過將航跡傾角變化率近似為零進(jìn)行簡化，這個(gè)代數(shù)式就是平衡滑翔條件。平衡滑翔條件給出了飛行器滑翔軌跡上速度與高度很重要的關(guān)系式，通過將其應(yīng)用到升力體飛行器再入相關(guān)問題的研究中，能夠顯著降低問題的維數(shù)與難度。但是，在對(duì)平衡滑翔的實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，飛行器的航跡傾角變化率不會(huì)理想地保持為零，它隨時(shí)間在很小的范圍內(nèi)緩慢變化，很多情況下航跡傾角出現(xiàn)小幅值的長周期震蕩動(dòng)態(tài)。在這種情況下，平衡滑翔條件在實(shí)際應(yīng)用中改稱為準(zhǔn)平衡滑翔條件（Quasi－Equilibrium Glide Condition，QEGC）：

利用QEGC中給出的速度－高度關(guān)系可以將飛行器再入中的過程約束轉(zhuǎn)化為對(duì)滾轉(zhuǎn)角控制量σ最大值的約束，熱流率約束、動(dòng)壓約束以及過載約束對(duì)應(yīng)的滾轉(zhuǎn)角最大值分別用σmax＿Q（V）、σmax＿q（V）和σmax＿n（V）表示，具體值計(jì)算：

式中 Qmax、qmax和nmax為飛行器所允許的最大熱流率值、最大動(dòng)壓值以及最大過載值；KQ為與飛行器自身有關(guān)的常數(shù)；KL＝R0SrefCL／2m，Sref為飛行器參考面積，m為飛行器質(zhì)量。綜上所述，滾轉(zhuǎn)角的最大取值為

3 最優(yōu)控制問題

（1）給定縱程下的最大橫程問題

對(duì)定縱程下最大橫程問題，通過軌跡最優(yōu)控制，使得飛行器從再入點(diǎn)E（由經(jīng)緯度θE和φE表示），在給定縱程SP（對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，由經(jīng)緯度θP和φP表示）下，達(dá)到最大橫程SF（對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，由經(jīng)緯度θF和φF表示）。優(yōu)化目標(biāo)是使得橫程SF最大，性能泛函

終點(diǎn)約束條件主要有兩個(gè)：達(dá)到預(yù)設(shè)的末端能量；EP 與PF 的夾角為直角：

式中 rf和Vf是終端高度和速度。

哈密頓函數(shù)可寫為

由于時(shí)間t并不顯含于哈密頓函數(shù)中，所以有：

式中 P為伴隨變量矢量；x為狀態(tài)變量矢量；c0為常數(shù)。則可得：

同時(shí)由H2和H3的表達(dá)式可以得到：

經(jīng)過一系列推導(dǎo)（具體過程參見文獻(xiàn) ［8］），最終可得到滾轉(zhuǎn)角最優(yōu)控制律為

在滾轉(zhuǎn)角表達(dá)式中，分子分母都是積分常數(shù)c1，c2以及c3的線性表達(dá)式，由此可見，滾轉(zhuǎn)角表達(dá)式的值只與其中兩個(gè)獨(dú)立變量有關(guān)，最終的優(yōu)化目標(biāo)也就是要找到這兩個(gè)獨(dú)立變量的具體值。結(jié)合最大滾轉(zhuǎn)角約束條件可得：

式中 σ＊為設(shè)計(jì)的滾轉(zhuǎn)角控制律，且｜σ｜＜π／2。由于末端航跡偏角不固定，可以是任意值，由最優(yōu)化理論易知：

參數(shù)c1，c2和c3中只有兩個(gè)獨(dú)立變量，假設(shè)：c2＝sink，c3＝cosk，上式整理可得：

至此定縱程下最大橫程優(yōu)化問題表述為：在滿足終點(diǎn)約束條件的前提下，利用一系列的尋優(yōu)算法求解最優(yōu)控制參數(shù)c1和k的值。

（2）最大縱程問題

對(duì)于最大縱程問題，性能泛函為

終點(diǎn)約束條件為末端能量約束，如式（1）所示，對(duì)于第2節(jié)中的再入動(dòng)力學(xué)方程，從初始再入點(diǎn)開始，采用零度滾轉(zhuǎn)角控制律對(duì)軌跡進(jìn)行積分，當(dāng)再入軌跡的能量變量滿足終端能量停機(jī)條件時(shí)，軌跡積分停止，得到的軌跡終點(diǎn)即為最大縱程點(diǎn)D，計(jì)算得到該軌跡對(duì)應(yīng)的縱程即為最大縱程ED。

4 參數(shù)優(yōu)化分析

在第3節(jié)的問題求解中把能量條件設(shè)置為停機(jī)條件，當(dāng)飛行器能量因子達(dá)到預(yù)設(shè)值，那一時(shí)刻的飛行器所處點(diǎn)就作為再入軌跡飛行的終端點(diǎn)，需要求解兩個(gè)參數(shù)（c1，k）以使其滿足非線性終端約束方程：

對(duì)于該雙參數(shù)尋優(yōu)問題，基于這兩個(gè)非線性函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)性能泛函J（c1，k）：

令ω1＝ω2＝1，得到性能泛函J（c1，k）在區(qū)間c1∈［－1.5，1.5］，k∈［－π，π］的掃描圖（圖2）。這是一個(gè)很不規(guī)則的參數(shù)響應(yīng)面，具有很多局部凹槽，并且對(duì)參數(shù)的微小變化十分敏感?？梢钥闯鰧⒎蔷€性函數(shù)J1（c1，k）與J2（c1，k）取平方和會(huì)造成新的性能泛函J（c1，k）出現(xiàn)很多凹凸面，使得在基于梯度方法進(jìn)行搜索時(shí)很容易陷入局部最優(yōu)的情況，很難找到全局最優(yōu)解。

圖2 性能泛函J 掃描Fig.2 Performance index J

通過對(duì)整個(gè)可行域內(nèi)的參數(shù)響應(yīng)分析，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于該具體的飛行器尋優(yōu)問題，在整個(gè)可行域內(nèi)有4個(gè)最優(yōu)點(diǎn)，通過編程求解方程必定可以得到初始的一個(gè)解，對(duì)于其他的解，則可以通過一定的波動(dòng)或者改變搜索范圍進(jìn)行查找。但由于滾轉(zhuǎn)角控制律中，分子分母均為參數(shù)的線性表達(dá)式，所以導(dǎo)致了這4個(gè)最優(yōu)解實(shí)際的物理意義有所不同，實(shí)際上只有兩個(gè)解是最優(yōu)解，一個(gè)是左邊最優(yōu)點(diǎn)，一個(gè)是右邊最優(yōu)點(diǎn)。另外兩個(gè)“最優(yōu)點(diǎn)”雖然對(duì)于該飛行器再入階段的滾轉(zhuǎn)角控制量是一樣的，但在二階特性中，是不滿足條件的，應(yīng)該舍棄。

優(yōu)化算法可以分為兩大類：全局優(yōu)化算法、局部優(yōu)化算法。相比較而言，全局優(yōu)化算法收斂速度較慢，而局部優(yōu)化算法收斂速度快。但局部優(yōu)化算法存在一個(gè)初始點(diǎn)的選取問題，如果初始點(diǎn)選取不夠準(zhǔn)確，將有可能使搜索進(jìn)入局部極值，結(jié)果不準(zhǔn)確。

基于多學(xué)科優(yōu)化軟件OPTIMUS所集成的優(yōu)化算法對(duì)典型的優(yōu)化算法進(jìn)行測試。全局優(yōu)化算法包括：差分進(jìn)化、自適應(yīng)進(jìn)化、模擬退火。局部優(yōu)化算法包括：序列二次規(guī)劃、非線性二次規(guī)劃、廣義簡約梯度。六種優(yōu)化算法所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果精度分別為：0.000 26，0.000 22，0.000 38，2.556 13×10－5，0.000 56，3.391 79×10－5。通過對(duì)比分析優(yōu)化結(jié)果，得出如下結(jié)論：1）全局優(yōu)化算法不需要給定初始點(diǎn)，在整個(gè)參數(shù)可行域內(nèi)進(jìn)行概率搜索，得到的優(yōu)化結(jié)果往往較接近于全局最優(yōu)點(diǎn)，但精度不高；2）如果給出的初始點(diǎn)位置較好，局部算法要明顯短于全局優(yōu)化算法，而且局部算法可以設(shè)置非常短的迭代步長，精度較高；3）局部算法出錯(cuò)的可能性較高，這是由局部算法本身的特性所導(dǎo)致的，局部搜索算法依賴于給定的初始點(diǎn)，敏感性非常強(qiáng)，如果給定的初始點(diǎn)離全局最優(yōu)點(diǎn)較遠(yuǎn)的話，往往容易陷入局部極值點(diǎn)，得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

從平臺(tái)全局算法的優(yōu)化結(jié)果，可以看出當(dāng)?shù)玫阶顑?yōu)結(jié)果的同時(shí)，也得到了全局最優(yōu)點(diǎn)，可以將其作為初值點(diǎn)寫入局部優(yōu)化算法中，以縮短局部尋優(yōu)時(shí)間。

5 混合優(yōu)化方法

根據(jù)第4節(jié)分析，提出一種結(jié)合不同方式的優(yōu)缺點(diǎn)的混合優(yōu)化方法，將全局優(yōu)化得到的優(yōu)化結(jié)果點(diǎn)作為局部優(yōu)化的初始點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步精確搜索，得到更加精確解，滿足全局最優(yōu)性，而且可以極大地降低錯(cuò)誤率。

5.1 遺傳算法

遺傳算法的特點(diǎn)在于其直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作，不需要導(dǎo)數(shù)信息或者要求函數(shù)連續(xù)，具有很好的全局搜索能力，不需要給出初始點(diǎn)，采用概率化的尋優(yōu)方式能自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向。其算法分為以下步驟：

1）第一步：編碼。將可行域中的優(yōu)化設(shè)計(jì)向量進(jìn)行編碼。在規(guī)定的搜索區(qū)間內(nèi)（c1可行域［－1，1］，k可行域 ［－π，π］），對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行編碼，編碼形式為碼長100的二進(jìn)制碼，前50個(gè)表示參數(shù)c1，后50個(gè)表示參數(shù)k。

2）第二步：形成初始群體。隨機(jī)選擇若干個(gè)體形成初始群體，初始種群個(gè)數(shù)設(shè)置為1 000個(gè)。

3）第三步：計(jì)算適應(yīng)值。與目標(biāo)函數(shù)直接相關(guān)，有相同的極值點(diǎn)。

4）第四步：選擇。將適應(yīng)值累加，利用賭輪盤法進(jìn)行選擇。

5）第五步：交叉。選擇交叉概率為0.6，從交配池中隨機(jī)取出幾個(gè)個(gè)體配對(duì)，確定交叉點(diǎn)，將選中的個(gè)體在交叉點(diǎn)以后的編碼數(shù)字進(jìn)行交換。

6）第六步：變異。選定變異概率為0.01，對(duì)應(yīng)編碼的每一位也用隨機(jī)小數(shù)表示，小于變異概率就求補(bǔ)運(yùn)算，進(jìn)行變異。

對(duì)于初始種群中的所有樣本點(diǎn)，計(jì)算其適應(yīng)值，利用賭輪盤的方法進(jìn)行選擇交叉，同時(shí)以之前設(shè)定好的變異概率對(duì)種群中的“基因”進(jìn)行變異。不斷迭代循環(huán)，每一步記錄下該步迭代的最優(yōu)點(diǎn)，直至最終的遺傳代數(shù)達(dá)到設(shè)定值20。搜索結(jié)束，記錄下迭代最后的“最優(yōu)點(diǎn)”。

5.2 模式搜索法

模式搜索法是一種從幾何意義上提出的參數(shù)直接尋優(yōu)局部搜索算法。該算法不需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，可以解決不可導(dǎo)函數(shù)以及求導(dǎo)復(fù)雜函數(shù)的參數(shù)尋優(yōu)?；痉椒椋簭某跏键c(diǎn)開始，依次向四周進(jìn)行搜索，一旦發(fā)現(xiàn)比當(dāng)前點(diǎn)的函數(shù)值更優(yōu)的點(diǎn)，就將該點(diǎn)作為下一個(gè)搜索周期的起始點(diǎn)進(jìn)行下一步迭代，直至最后的點(diǎn)的四周均沒有比當(dāng)前點(diǎn)更優(yōu)的點(diǎn)時(shí)，尋優(yōu)結(jié)束。模式搜索法受初始搜索點(diǎn)的選取影響很大，具有較快的收斂速度，但并不具有全局最優(yōu)特性，容易進(jìn)入局部最優(yōu)“凹槽”，搜索步長也需要根據(jù)具體問題進(jìn)行選取。具體步驟為：

1）確定初始搜索點(diǎn)。將遺傳算法得到的“最優(yōu)點(diǎn)”作為模式搜索法局部搜索的初始點(diǎn)。

2）求周圍點(diǎn)函數(shù)值。以初始搜索點(diǎn)為中心，建立一個(gè)立方體，將該立方體的八個(gè)頂點(diǎn)作為第一次迭代的樣本點(diǎn)，分別計(jì)算其函數(shù)值。

3）判斷是否搜索到更優(yōu)點(diǎn)。將上一步得到的八個(gè)樣本點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果其中有一點(diǎn)的函數(shù)值比中心初始搜索點(diǎn)的函數(shù)值更優(yōu)，則記為找到下一個(gè)搜索初始點(diǎn)，重新回到步驟2）進(jìn)行下一步搜索。否則，進(jìn)行下一步。

4）改變搜索步長。增大搜索步長，在更大的搜索范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，如果找到更優(yōu)點(diǎn)，回到步驟2）。如果還沒有找到更優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步增大搜索步長，直至搜索步長超過一定值，停止搜索。

通過這樣一種全局與局部優(yōu)化算法組合的方法，結(jié)合了兩種優(yōu)化方式的共同優(yōu)點(diǎn)，兼顧了全局性和精確性，其精度能達(dá)到10－5。

5.3 覆蓋區(qū)求解策略

在解決給定縱程下的最大橫程問題后，為了求出完整的覆蓋區(qū)，需要首先找到最大縱程，然后在最大縱程軌跡上選取不同的縱程點(diǎn)，分別應(yīng)用給定縱程下的最大橫程求解方法，結(jié)合混合優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化搜索，從而求得最大橫程以及所對(duì)應(yīng)的終端點(diǎn)，將所有的終端點(diǎn)連起來，就獲得了再入覆蓋區(qū)。由于混合優(yōu)化算法在快速性和準(zhǔn)確性上的優(yōu)勢，即使選取較多的縱程點(diǎn)，也不會(huì)影響覆蓋區(qū)的求解效率，從而可以快速地獲得飛行器的精確覆蓋區(qū)。

6 仿真結(jié)果

飛行器基本參數(shù)：質(zhì)量37 362.9kg，參考面積149.388m2，最大允許熱流率為794 425W／m2，最大允許動(dòng)壓為14 364Pa，最大允許過載為6 gn，攻角α變化范圍為 ［0°，45°］；馬赫數(shù)Ma 變化范圍為 ［3，25］；高度變化范圍為 ［0km，120km］。最大升阻比在1～1.4之間，隨馬赫數(shù)的增加，升阻比減??；在正攻角情況下，升阻比隨攻角增大先增大后減??；最大升阻比出現(xiàn)在8°～10°攻角附近。仿真初始條件和終端條件如表1所示。

表1 仿真初始條件與終端條件Tab.1 Initial and terminal conditions of simulation

先給出在給定縱程為9 871.1km 時(shí)的最大橫程問題的仿真結(jié)果，給定縱程下的對(duì)應(yīng)左右兩邊各有一個(gè)最大橫程，且由于受地球自轉(zhuǎn)的影響，右邊橫程大于左邊橫程，圖3是左右兩條軌跡的最優(yōu)滾轉(zhuǎn)角控制曲線。由于存在滾轉(zhuǎn)角約束，在超過最大約束值時(shí)，取最大約束值；在速度5 000～8 000m／s左右，約束起作用，如圖4所示。圖5是再入軌跡，很好地滿足了熱流、動(dòng)壓和過載的約束，圖6是航跡傾角。

圖3 滾轉(zhuǎn)角控制曲線Fig.3 Bank angle profile

圖4 存在過程約束時(shí)的滾轉(zhuǎn)角曲線Fig.4 Bank angle profile with path constraint

圖5 速度－高度軌跡曲線Fig.5 Velocity－altitude trajectory

圖6 航跡傾角變化曲線Fig.6 Flight path angle profile

圖7 覆蓋區(qū)Fig.7 Footprint

在最大縱程上取多個(gè)點(diǎn)（這里取6 個(gè)點(diǎn)，如果要進(jìn)一步提高覆蓋區(qū)的精度，可以選取更多的點(diǎn)），然后對(duì)每一個(gè)縱程求最大橫程，把每個(gè)橫程的終點(diǎn)連起來，就得到了飛行器的覆蓋區(qū)，如圖7 所示?？梢钥吹?，右半部分要比左半部分大，這是由地球自轉(zhuǎn)所導(dǎo)致的。

［1］VINH N X.Optimal trajectories in atmospheric flight［M］.New York：Elsevier Scientific Publishing Company，1981.

［2］AMITABH SARAF，JAMES A LEAVITT，KENNETH D MEASE.Landing footprint computation for entry vehicles［C］.AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，Providence，Rhode Island，2004.

［3］雍恩米，唐國金，陳磊.高超聲速無動(dòng)力遠(yuǎn)程滑翔飛行器多約束條件下的軌跡快速生成 ［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29（1）：46－52.YONG ENMI，TANG GUOJIN，CHEN LEI.Rapid trajectory planning for hypersonic unpowered long－range reentry vehicles with multi－constraints［J］.Journal of Astronautics，2008，29（1）：46－52.

［4］HALE JR N W，LAMOTTE N O，GARNER T W.Operational experience with hypersonic flight of the space shuttle：Proceedings of 2002 AIAA Guidance，Navigation，and Control（GN＆C）Conference，AIAA，Orlando，F(xiàn)L，2002 ［C］.

［5］SHEN Z J.On－board three－dimensional constrained entry flight trajectory generation ［D］.Ames：Iowa State University，2002.

［6］LU P，XUE S B.Rapid generation of accurate entry landing footprints［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2010，33（3）：756－767.

［7］T B JOHN.Survey of numerical methods for trajectory optimization ［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1998，21（3）：193－207.

［8］LU P.Entry trajectory optimization with analytical feedback bank angle law ［C］.AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Honolulu，2008.