吳正飛

(江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 江蘇 南通 226400)

微元法是物理教學(xué)中的一種重要的思想方法，自2007年以來(lái)，微元法的考查在各地高考中年年出現(xiàn)，尤其是江蘇高考連續(xù)三年在壓軸題中涉及.我們發(fā)現(xiàn)微分的思想方法已被納入高中的教學(xué)范圍,例如，課本中就有兩個(gè)地方重點(diǎn)提出，一是分析勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)，根據(jù)v-t圖像，把時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的位移進(jìn)行微元分析，可以推導(dǎo)出勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移公式；二是分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度時(shí)，根據(jù)加速度的定義，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的速度的變化進(jìn)行微元分析，可以推導(dǎo)向心加速度的表達(dá)式.因此，該方法在高考試題中頻繁出現(xiàn)就不足為奇了，但是每年學(xué)生在這類(lèi)問(wèn)題中的得分率都很低，原因在于學(xué)生沒(méi)有真正深刻領(lǐng)悟到微元法的精髓，以及它的使用方法和使用技巧.

微元法是一種利用微分思想的分析方法.具體而言就是將研究對(duì)象或物理過(guò)程進(jìn)行無(wú)限細(xì)分(化變?yōu)楹?、化曲為直、化整為?，從其中抽取某一微小單元進(jìn)行討論，從而找出被研究對(duì)象或被研究過(guò)程變化規(guī)律的一種思想方法. 該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速加以解決，使所求問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

利用微元法解題一般分為三步.

第一步,選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃?如空間元、時(shí)間元)作為突破整體研究的對(duì)象.微元可以是一小段線(xiàn)段、圓弧、一小塊面積、一個(gè)小體積、小質(zhì)量、一小段時(shí)間……但應(yīng)具有整體對(duì)象的基本特征.第二步,將微元模型化(如視作點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)……)并運(yùn)用相關(guān)物理規(guī)律，求解這個(gè)微元.第三步,將一個(gè)微元的求解結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的關(guān)系(如對(duì)稱(chēng)關(guān)系、矢量方向關(guān)系、量值關(guān)系等)，對(duì)各微元的解出結(jié)果進(jìn)行疊加，以求出整體量的合理結(jié)果.下面就通過(guò)實(shí)例分析微元法在求解變加速運(yùn)動(dòng)中的各種物理量的使用方法.

1 利用微元法求解變加速運(yùn)動(dòng)中的速度

在電磁感應(yīng)與力學(xué)結(jié)合的問(wèn)題中，由于受安培力作用，導(dǎo)體棒的速度發(fā)生變化，而速度又會(huì)改變安培力，從而使得導(dǎo)體棒做變加速運(yùn)動(dòng).此時(shí)，力學(xué)的常規(guī)方法很難解決，若考慮到微元法，再結(jié)合力學(xué)知識(shí)則可迎刃而解.

【例1】如圖1所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)．場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，間距為d2．兩根質(zhì)量均為m,有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直(設(shè)重力加速度為g)．

圖1

(1)若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能ΔEk；

(2)若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．且a,b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等．求b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q；

(3)對(duì)于第2問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v．

解析： (1)ΔEk=mgd1sinθ;

(2)Q=mg(d1+d2)sinθ;

(3)設(shè)導(dǎo)體棒在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域和有磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都為t，在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域有

v2-v1=gtsinθ

(1)

且平均速度

(2)

在有磁場(chǎng)區(qū)域，對(duì)a棒

F=mgsinθ-BIl

且

解得

(3)

因?yàn)樗俣葀是變量，用微元法根據(jù)牛頓第二定律, 在一段很短的時(shí)間Δt內(nèi)

則有

因?yàn)閷?dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v2,剛離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v1, 所以

∑Δv=v1-v2∑vΔt=d1∑Δt=t

因此

(4)

聯(lián)立式(1)～(3),得

a,b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等, 所以，a穿出任一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v就等于v1．因此

2 利用微元法求解變加速運(yùn)動(dòng)中的位移

在力學(xué)中，常遇到物體受變力作用的情形，因?yàn)榕ｎD定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式無(wú)法使用，所以，大部分學(xué)生就束手無(wú)策.其實(shí)我們可以拓寬思維，在變化中找不變，即可以化整為零，此時(shí)可能就會(huì)豁然開(kāi)朗，發(fā)現(xiàn)其中的特殊規(guī)律，從而找到解題的突破口.

【例2】從地面上以初速度v0豎直向上拋出質(zhì)量為m的球，若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力與其速率成正比，球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖2所示，t1時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為v1，且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng).求：

(1)球從拋出到落地過(guò)程中克服空氣阻力所做的功;

(2)球拋出瞬間的加速度大小;

(3)球上升的最大高度.

圖2

解析：

(3)設(shè)上升至速度為v時(shí)加速度為a，則

取極短時(shí)間Δt，其速度變化為Δv，有

又因?yàn)?/p>

vΔt=Δh

對(duì)上升全過(guò)程有

即

解得

3 利用微元法求解變加速運(yùn)動(dòng)中的電量和能量

在中學(xué)物理解題中，求解電荷量和能量往往是學(xué)生的弱點(diǎn)，尤其在力、電結(jié)合的綜合類(lèi)問(wèn)題中，再遇到變加速運(yùn)動(dòng)時(shí)就會(huì)難上加難.這時(shí)對(duì)學(xué)生的綜合分析的能力要求就很高，但是如果能掌握合理的解題方法則會(huì)簡(jiǎn)單很多.微元法就是解決這類(lèi)問(wèn)題的理想方法.

【例3】如圖3所示，很長(zhǎng)的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側(cè)面有均勻向外的輻射狀的磁場(chǎng).磁棒外套有一個(gè)質(zhì)量均勻的圓形線(xiàn)圈，質(zhì)量為m，半徑為R，電阻為r，線(xiàn)圈所在磁場(chǎng)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.讓線(xiàn)圈從磁棒上端由靜止釋放沿磁棒下落，經(jīng)一段時(shí)間與水平面相碰并反彈，線(xiàn)圈反彈速度減小到零后又沿磁棒下落，這樣，線(xiàn)圈會(huì)不斷地與水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第一次碰后反彈上升的時(shí)間為t1，下落的時(shí)間為t2，重力加速度為g，不計(jì)碰撞過(guò)程中能量損失和線(xiàn)圈中電流磁場(chǎng)的影響.求：

(1)線(xiàn)圈第一次下落過(guò)程中的最大速度vm;

(2)第一次與水平面碰后上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中通過(guò)線(xiàn)圈某一截面的電荷量q;

(3)線(xiàn)圈從第一次到第二次與水平面相碰的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q.

圖3

解析：

(2)反彈后上升的過(guò)程中某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

mg+BI2πR=ma

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，通過(guò)線(xiàn)圈截面電荷量為Δq=IΔt,則

(3)反彈后上升的過(guò)程中某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，線(xiàn)圈上升高度為Δh=vΔt，則線(xiàn)圈可上升的最大高度h為

線(xiàn)圈到達(dá)最高點(diǎn)后，下落過(guò)程中的某一時(shí)刻，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

在一段微小時(shí)間Δt內(nèi)，速度增量為Δv=aΔt，線(xiàn)圈下降高度為Δh=vΔt，則線(xiàn)圈第二次下降到水平面時(shí)的速度為v

此過(guò)程的線(xiàn)圈中產(chǎn)生的熱量為線(xiàn)圈動(dòng)能的損失

化簡(jiǎn)得

從上述實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，在處理變加速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，常常遇到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求解時(shí)間、速度、位移、電荷量、能量等問(wèn)題，用常規(guī)方法很難解決，但靈活運(yùn)用微元的思想，這些問(wèn)題都可以迎刃而解.因此，微元法為高中物理的學(xué)習(xí)提供了更好的數(shù)學(xué)工具，使得高中物理不僅可以從研究方法上得到提升，也使得學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力得到提高.所以，教師在物理教學(xué)中，應(yīng)逐步滲透微元思想并加強(qiáng)訓(xùn)練.實(shí)踐證明，經(jīng)過(guò)悉心培養(yǎng)，大部分學(xué)生都能夠做到微元法思想的創(chuàng)新與拓展轉(zhuǎn)移.只有師生共同努力才能將微元法真正應(yīng)用到物理學(xué)中.