林輝慶

(杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 浙江 杭州 311100)

1 一道傳統(tǒng)的力學(xué)題

圖1所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長(zhǎng)L=20 m，高h(yuǎn)=2 m，斜坡上緊排著一排滾筒．長(zhǎng)l=8 m，質(zhì)量m=1×103kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3．工作時(shí)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)所有滾筒順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使鋼錠沿斜坡向上移動(dòng)，滾筒邊緣的線速度均為v0=4 m/s．假設(shè)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)．取當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=10 m/s2．試求鋼錠從坡底(如圖1所示位置)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)至少需要工作的時(shí)間．

圖1

2 常見(jiàn)解析

斜坡與水平面夾角θ的正弦

代入數(shù)據(jù)得

sinθ=0.1

初始階段鋼錠做加速運(yùn)動(dòng)，加速度為

代入數(shù)據(jù)得

a1=2 m/s2

經(jīng)過(guò)時(shí)間t1，鋼錠的速度與滾筒邊緣的線速度相等

代入數(shù)據(jù)得

t1=2 s

t1時(shí)間鋼錠的位移為

代入數(shù)據(jù)得

x1=4 m

接著鋼錠做勻速運(yùn)動(dòng)．為使電動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間最小，在鋼錠的b端還沒(méi)有到達(dá)坡頂時(shí)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，鋼錠由于慣性向上沖到坡頂，整個(gè)過(guò)程的v-t圖線如圖2所示．

圖2 鋼錠做勻速運(yùn)動(dòng)的v-t圖線

鋼錠上沖的加速度大小為

代入數(shù)據(jù)得

a2=4 m/s2

鋼錠上沖的距離為

代入數(shù)據(jù)得

x2=2 m

鋼錠勻速運(yùn)動(dòng)的位移為

x0=L-l-x1-x2

代入數(shù)據(jù)得

x0=6 m

鋼錠勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

代入數(shù)據(jù)得

t0=1.5 s

電動(dòng)機(jī)最小工作時(shí)間為

t小=t1+t0

代入數(shù)據(jù)得

t小=3.5 s

3 來(lái)自學(xué)生的新探討

上題是中學(xué)物理常見(jiàn)的傳送帶問(wèn)題的變式，就解題思路來(lái)說(shuō)，它是個(gè)老問(wèn)題．上述解答一直被中學(xué)師生所認(rèn)同，各種教學(xué)參考資料和中學(xué)物理教學(xué)雜志，也都沒(méi)有對(duì)此提出過(guò)異議．在2011學(xué)年的高三復(fù)習(xí)中，筆者的一名學(xué)生提出了不同的觀點(diǎn)．

這個(gè)學(xué)生指出，把圖2中t1～t1+t0時(shí)間內(nèi)的勻速運(yùn)動(dòng)，改為電動(dòng)機(jī)關(guān)閉、啟動(dòng)、關(guān)閉、啟動(dòng)……的變速運(yùn)動(dòng)，讓鋼錠在慣性的作用下運(yùn)動(dòng)更多的路程，電動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)時(shí)間會(huì)更小．

設(shè)“關(guān)閉、啟動(dòng)”n次，電動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，鋼錠速度減小到vn，立即重新啟動(dòng)，鋼錠的v-t圖線如圖3所示．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

得到

圖3 重新啟動(dòng)鋼錠的v-t圖線

在不斷減速、加速的階段，電動(dòng)機(jī)開(kāi)動(dòng)的總時(shí)間為

(1)

取n=3，得到

取n=4，得到

取n=5，得到

可見(jiàn)，只要電動(dòng)機(jī)關(guān)閉、開(kāi)動(dòng)的次數(shù)n≥4，則t0n

把式(1)化為

(2)

從式(2)看出，n越大，t0n越?。頽→∞，得到t0n的最小值

代入數(shù)據(jù)得

t0小=1 s

(3)

圖4 鋼錠的平均速度圖線

到此，另有學(xué)生提出，在鋼錠的加速階段，即在圖2中的0～t1時(shí)間，通過(guò)電動(dòng)機(jī)關(guān)閉、啟動(dòng)的運(yùn)行方式，利用慣性滑行，是否也能減小電動(dòng)機(jī)總的啟動(dòng)時(shí)間？如圖5，在速度還沒(méi)有達(dá)到v0時(shí)，電動(dòng)機(jī)的一個(gè)關(guān)閉、啟動(dòng)“動(dòng)作”，使速度減小Δv后，再加速到原來(lái)的值，與速度達(dá)到v0后，電動(dòng)機(jī)的一個(gè)關(guān)閉、啟動(dòng)“動(dòng)作”，速度減小Δv后，再加速到與原來(lái)的值相比，兩者所用的時(shí)間Δt相同，但鋼錠的位移(v-t圖線下的面積)是后者大．反之，要使速度還沒(méi)有達(dá)到v0時(shí)電動(dòng)機(jī)的一個(gè)關(guān)閉、啟動(dòng)的“動(dòng)作”，與速度達(dá)到v0后電動(dòng)機(jī)的一個(gè)關(guān)閉、啟動(dòng)“動(dòng)作”，鋼錠的位移相同，所用的時(shí)間一定是后者小．所以，要使電動(dòng)機(jī)總的啟動(dòng)時(shí)間最小，應(yīng)該讓鋼錠從靜止開(kāi)始一直加速到v0，然后，讓電動(dòng)機(jī)不斷地關(guān)閉、啟動(dòng)，再在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，使鋼錠減速運(yùn)動(dòng)到坡頂時(shí)速度剛好為零．

圖5

這樣，要把鋼錠從坡底運(yùn)送到坡頂，電動(dòng)機(jī)的最小工作時(shí)間應(yīng)為t小=t1+t0小=3 s，而不是3.5 s．

隨之，又有學(xué)生提出了這樣一個(gè)問(wèn)題，采用不斷關(guān)閉、開(kāi)動(dòng)的方式，能減小電動(dòng)機(jī)總的啟動(dòng)時(shí)間，那么，能否減小電動(dòng)機(jī)做的總功呢？

設(shè)在一個(gè)關(guān)閉、啟動(dòng)“動(dòng)作”中，鋼錠加速的時(shí)間為Δt，鋼錠的位移為Δx，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

v0-vn=a1Δt

(4)

(5)

鋼錠對(duì)滾筒的滑動(dòng)摩擦力為μmg，滾筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)對(duì)鋼錠做的功

ΔW′=μmgv0Δt

(6)

由式(4)～(6)及a1和a2的表達(dá)式得到

(7)

在不斷的減速、加速階段，電動(dòng)機(jī)做的總功

(8)

如果鋼錠速度達(dá)到v0后做勻速運(yùn)動(dòng)，鋼錠作用于滾筒的是靜摩擦力，大小為mgsinθ，電動(dòng)機(jī)做的功為

W=mgsinθx0

(9)

聯(lián)立式(8)、(9)得

(10)

由于

所以有

可見(jiàn)，采用不斷關(guān)閉、啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)的方式，電動(dòng)機(jī)做的總功不但不會(huì)減小，反而增加了．這是容易理解的，鋼錠勻速運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)做的功等于鋼錠重力勢(shì)能的增加；電動(dòng)機(jī)不斷地關(guān)閉和啟動(dòng)，鋼錠與滾筒之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)做的總功等于鋼錠重力勢(shì)能的增加與鋼錠與滾筒之間摩擦產(chǎn)生的熱量之和．

需要說(shuō)明的是，讓電動(dòng)機(jī)不斷地關(guān)閉、啟動(dòng)很多次，在實(shí)際操作上是不可取的，但上述探討仍是有意義的．在理論上，它使我們認(rèn)識(shí)到，要使物體從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方，盡量利用慣性滑行，能減小外力的作用時(shí)間．在教學(xué)上，這樣的探討，能培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和探究能力．

4 教學(xué)啟示

這個(gè)事例對(duì)教學(xué)的啟示是，教師由于反復(fù)地接觸學(xué)科知識(shí)和學(xué)科問(wèn)題，容易形成思維定勢(shì)，容易局限于常規(guī)的理解，從而失去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的敏銳眼光，相反，初學(xué)的學(xué)生，思維和認(rèn)知往往更加敏銳，他們會(huì)基于自己的知識(shí)背景，從更一般的角度思考和分析學(xué)科問(wèn)題．教師的觀點(diǎn)與學(xué)生的觀點(diǎn)相比，有時(shí)教師的觀點(diǎn)較為片面甚至是錯(cuò)誤的，而學(xué)生的觀點(diǎn)則更具有創(chuàng)造性．所以,在教學(xué)中教師應(yīng)該充分發(fā)揚(yáng)民主，為學(xué)生發(fā)表各種觀點(diǎn)創(chuàng)造條件，并把學(xué)生的觀點(diǎn)當(dāng)做最重要的教學(xué)資源，鼓勵(lì)不同觀點(diǎn)交鋒、碰撞，使課堂不斷閃爍智慧的火花，使教學(xué)充滿生命的活力．