王 宇 ，賈志剛李 曉汪 燦余宏明

（1. 中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074；2. 中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所，北京 100029；3. 中國科學(xué)院研究生院，北京 100049）

1 引 言

邊坡工程中不可避免地涉及到大量的不確定性因素，這些不確定性因素當(dāng)中，既有隨機(jī)不確定性因素，也有模糊不確定性因素。隨機(jī)不確定性因素主要有荷載條件、地質(zhì)環(huán)境、不同的施工環(huán)境與條件等；模糊不確定性因素主要體現(xiàn)在巖土體分類具有模糊性、邊坡的變形破壞特征具有模糊性、巖土體的物理力學(xué)參數(shù)具有模糊性等。因此，對于邊坡這樣一個復(fù)雜的地質(zhì)系統(tǒng)，單純用可靠性理論來評價是不夠的，它要求既要考慮到因素的隨機(jī)性，同時更要考慮到因素的模糊性。

將模糊理論應(yīng)用于邊坡工程，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)作了一些相關(guān)性的研究工作，并取得了一定成就[1－7]，但其中存在著許多問題亟需解決。如文獻(xiàn)[1]用“梯形模糊數(shù)”計算穩(wěn)定系數(shù)區(qū)間，僅考慮了隨機(jī)變量的兩種簡單組合情況，然后進(jìn)行加權(quán)平均來計算可靠指標(biāo)，準(zhǔn)確性差；文獻(xiàn)[3]只是將隨機(jī)可靠性指標(biāo)與模糊可靠性指標(biāo)相加，從而得出模糊隨機(jī)可靠性指標(biāo)，這種方法存在較大的片面性；文獻(xiàn)[4]將模糊測度理論應(yīng)用于巖土邊坡穩(wěn)定問題，對分析模型進(jìn)行模糊化，但沒有考慮各個巖土力學(xué)參數(shù)的模糊性等。邊坡穩(wěn)定模糊隨機(jī)可靠度的研究已有了一定的發(fā)展，但模糊理論與可靠度結(jié)合在邊坡工程中的應(yīng)用仍然存在許多問題，主要體現(xiàn)在邊坡模糊評價標(biāo)準(zhǔn)的建立、隨機(jī)過程隸屬函數(shù)的確定等，其中比較突出的問題就是極限狀態(tài)變量模糊隨機(jī)可靠度的求解問題，因為它直接影響著邊坡穩(wěn)定可靠性評價尺度的正確與否，決定工程決策的效益和損失?；谝陨峡紤]，本文在前人的研究基礎(chǔ)之上，在統(tǒng)計矩點估計法（PEM）的基礎(chǔ)上，提出邊坡模糊隨機(jī)可靠性分析的模糊點估計法（Fuzzy-PEM），并考慮到巖土體物理力學(xué)參數(shù)的近似分布概型，采用區(qū)別于梯形模糊數(shù)的正態(tài)模糊數(shù)對巖土體力學(xué)參數(shù)進(jìn)行模糊化處理，由PEM 求得可靠性指標(biāo)。該方法不必知道狀態(tài)變量的概率分布，不需要求導(dǎo)，克服了傳統(tǒng)方法極限狀態(tài)方程概率密度函數(shù)構(gòu)造困難、計算復(fù)雜、效率低的缺點。對復(fù)雜邊坡工程的可靠性分析具有很大的發(fā)展前景，為邊坡工程可靠性分析的理論與實踐提供了一條新的途徑。

2 PEM 基本原理

PEM 是由Rosenblueth 于1975 年提出的一種矩估計近似方法，于20 世紀(jì)80 年代初被引入結(jié)構(gòu)工程的可靠性分析中。當(dāng)各種狀態(tài)變量的概率分布未知時，只要它們的均值和方差，有目的的選擇或設(shè)計一些特殊組成的點（通常取2 個隨機(jī)變量均值對稱的2 個點），就可以求得狀態(tài)函數(shù)（穩(wěn)定系數(shù)或安全儲備）的各階矩，且在狀態(tài)函數(shù)的假定概率分布條件下求得邊坡的可靠性指標(biāo)[8]。

對一般的邊坡穩(wěn)定性問題，取功能函數(shù)Z= g ( X ) = g ( x1， x2， … ， xn)，其 中 x1， x2， … ， xn為 重度、黏聚力、摩擦系數(shù)等影響邊坡穩(wěn)定性的隨機(jī)變量。k 階原點矩用PEM 表示為[9－10]

其中

式中：sxiC 為隨機(jī)變量 iX 的偏度系數(shù)。當(dāng)偏度系數(shù)未知時，可以假定sxiC =0，設(shè)n 個狀態(tài)變量互相關(guān)，則每一組合的概率jP 取決于變量間的相關(guān)系數(shù)ijρ ：

其中 ei（ i = 1， 2， … ， n）取值為：當(dāng) xi取 Xi+時，ei= 1；當(dāng) xi取 Xi-時， ei=-1 。

以功能函數(shù) Z = g （ x ， y）為例，包含2 個隨機(jī)變量，每個隨機(jī)變量取2 個計算點，則有

因此，功能函數(shù)Z 的期望和方差分別為

其中

由此可求得邊坡的可靠性指標(biāo)和破壞概率。

3 模糊隨機(jī)理論

3.1 模糊截集理論

傳統(tǒng)可靠性分析中計算量較大、方法單一、無法處理模糊變量等問題，應(yīng)用模糊截集法可以實現(xiàn)模糊變量與隨機(jī)變量的相互等價轉(zhuǎn)換，使這一問題得以解決。對于普通集合來說，只有當(dāng)隸屬度（ X0）=1時， X0才是屬于集合A 的。然而對于模糊集合，（ X0）=λ， λ ∈ ［ 0，1］，當(dāng)且僅當(dāng)（ X0）≥ λ時，才說 X0是中的元素。這樣，對 每個λ 都能從U 中確定一個普通子集，它是在λ這個信任程度上的反映，由此設(shè)∈F （ U），對?λ ∈ ［ 0，1］，稱

對于每個不確定變量，λ 截集能給出一個區(qū)間的2 個點，如對于每一λ 截集產(chǎn)生的上界值和下界值，這是進(jìn)行模糊點估計的基礎(chǔ)。

3.2 隸屬函數(shù)的選取

巖土體物理力學(xué)參數(shù)既包含隨機(jī)特性，也包含模糊特性，應(yīng)視為模糊隨機(jī)變量。為了研究物理力學(xué)參數(shù)的模糊性，可以通過模糊數(shù)來實現(xiàn)。模糊數(shù)大致可以分為線性和非線性2 種，由于當(dāng)前的研究水平很難判斷哪種模糊類型更適合實際情況，因 此，現(xiàn)有的工程應(yīng)用研究中大多采用線性模糊數(shù)形式，如梯形模糊數(shù)[1，12－13]。隸屬函數(shù)分布形式為

其曲線如圖1 所示。

圖1 梯形隸屬函數(shù) Fig.1 Trapezoidal membership function

然而，大量研究表明，巖土體物理力學(xué)參數(shù)如黏聚力、內(nèi)摩擦角、土體重度等都近似符合正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布，采用線性模糊數(shù)來描述力學(xué)參數(shù)可能會導(dǎo)致一些重要隨機(jī)信息的丟失，因此，本文認(rèn)為，采用正態(tài)模糊來描述物理力學(xué)參數(shù)應(yīng)該更為合理。正態(tài)隸屬函數(shù)分布形式為

由于巖土體物理力學(xué)參數(shù)都是正數(shù)，因此，描述其模糊隨機(jī)性的正態(tài)模糊數(shù)應(yīng)該都是有界正模糊數(shù)，可定義正態(tài)模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為

式中：Xm? 、Xσ? 分別為模糊數(shù)學(xué)期望值與方差?？捎脴颖镜钠骄岛蜆?biāo)準(zhǔn)差估計；ω、θ 為2 個待定系數(shù)。

取向量映射的核ker，令 mX= ker

由性質(zhì)有 ω + θ= 1；引入?yún)?shù)k，并使得

解式（14）得：

將式（15）代入式（13）得正態(tài)模糊數(shù)的隸屬函數(shù)表達(dá)式為

其函數(shù)圖形如圖2 所示。

圖2 正態(tài)隸屬函數(shù) Fig.2 Normal membership function

其中

當(dāng)x 近似服從對數(shù)分布時，由 lnY X= 服從正態(tài)分布，同樣可以推導(dǎo)出對數(shù)正態(tài)模糊數(shù)的隸屬函數(shù)表達(dá)式。

對應(yīng)不同的隸屬度iλ ，可分別得到對應(yīng)功能函數(shù)的點估計值，通過這樣的離散分析，可以更充分地考慮模糊變量的模糊性，從而得到更為合理的分析結(jié)果。

上式中參數(shù)k 控制著力學(xué)參數(shù)的最大取值空間，k 越大，則力學(xué)參數(shù)的區(qū)間越大，參數(shù)的置信度越低，選參越?jīng)]把握；反之亦然。一般認(rèn)為，當(dāng)參數(shù)為正態(tài)分布時，99.73%的數(shù)據(jù)落在( mX-3σX，mX+ 3σX)區(qū)間內(nèi)，當(dāng)邊坡巖土體的變異性較大，變異系數(shù)VX超過3 時，建議k 值取3。由力學(xué)參數(shù)非負(fù)性（即 mX- kσX≥ 0）可知， k ≤mX/σX= 1/ Vx。因此，k 的取值應(yīng)根據(jù)邊坡工程的實際情況而定，在0.5～3.0 范圍內(nèi)選取。

4 Fuzzy-PEM 原理

邊坡穩(wěn)定性影響因素的隨機(jī)性和模糊性是客觀存在的，傳統(tǒng)的可靠性分析方法難以反映邊坡的真實工作狀態(tài)。本文提出的模糊點估計法則是一個更為合理的解決方法，它在處理過種中不需要知道模糊變量的具體特征，對影響邊坡穩(wěn)定性的各個力學(xué)參數(shù)都進(jìn)行模糊隨機(jī)處理，并在[0，1]區(qū)間上取有限個λ 約束水平，從而使得分析結(jié)果更加符合工程實際。

功能函數(shù)為 Z = g ( x1， x2， … ， xn)，考慮到隨機(jī)變量 xi的隨機(jī)性與模糊性，本文對每個變量 xi均采用正態(tài)模糊數(shù)處理。對應(yīng)于不同的λ 水平，取不同的隸屬度，將分別得到對應(yīng)的功能函數(shù)的點估計上限值和下限值（即上文中所指和），如圖2 所示。

當(dāng)功能函數(shù)在[0，1]區(qū)間上取一個λ 約束水平時，得到λ 處r 階原點矩為

對比PEM 公式可以發(fā)現(xiàn)，式（20）中忽略了中間的(2n- 2)項，顯然是不準(zhǔn)確的。因為PEM 公式中不僅有參數(shù)純上下界的組合，還有上下界混合在一起形成的組合。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)用正確的PEM 公式代入式（20）時，將得不出功能函數(shù)合理的k 階矩，因此，必須對式（20）進(jìn)行修正。采用模糊理論中的加權(quán)平均思想，m 個λ 水平下考慮模糊隨機(jī)性的狀態(tài)函數(shù)的k 階原點矩為

對邊坡工程來說，極限狀態(tài)函數(shù) Fs的表達(dá)式為 Fs=g ( c， φ ， γ， H， …) ，當(dāng)有n 個變量時，每個變量取2 個點，則有2n種組合，可由狀態(tài)方程求解2n個狀態(tài)函數(shù)值。因此，r 個λ 水平下考慮模糊隨機(jī)性的狀態(tài)函數(shù)的期望值和方差值分別為

由此，可求得邊坡的模糊隨機(jī)可靠性指標(biāo)為

5 工程實例

5.1 研究區(qū)概況

岱家灣公路邊坡位于重慶市巫山縣兩坪鄉(xiāng)朝元村，順山坡展布。邊坡傾向南，邊坡高達(dá)112 m，長約200 m，上覆松散層厚一般10～20 m。坡體主要由碎石和充填其間的粉質(zhì)黏土組成，碎石含量為50～60%，成分為泥灰?guī)r，灰?guī)r，粒徑為2～8 cm，個別達(dá)12 cm，棱角～次棱角狀；粉質(zhì)黏土含量為40～50%，局部含量較高而成為含礫（碎石）粉質(zhì)黏土透鏡體。鉆孔揭露無地下水。與其下伏基巖相比，松散的殘坡積碎石土抗剪強(qiáng)度較低，在一定的地形地質(zhì)條件下可能成為潛在滑動面。在邊坡穩(wěn)定性評價中，由于巖土體重度γ 的變異系數(shù)較小，將其視為定值不會帶來較大誤差，因而一般選取抗剪強(qiáng)度參數(shù)作為模糊隨機(jī)變量進(jìn)行研究。邊坡巖土體物理力學(xué)參數(shù)服從正態(tài)分布，參數(shù)統(tǒng)計見表1。穩(wěn)定性計算采用簡化的Bishop 法計算，借助于slide邊坡極限平衡分析軟件，視土條為剛體，用參數(shù)均值計算出的邊坡臨界滑動面見圖3?，F(xiàn)擬對天然狀態(tài)下邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行可靠性評價。

本文對力學(xué)參數(shù)c 和φ 均采用正態(tài)模糊隸屬函數(shù)處理，考慮到實際邊坡力學(xué)參數(shù)的最大可能取值區(qū)間，取k = 1.5；為了盡可能地削除計算結(jié)果的離散性，取λ=0.1～0.9 9 個水平，按式（18）進(jìn)行計算。各水平下的不確定性參數(shù)見表2。

表1 邊坡碎石土力學(xué)參數(shù) Table 1 Gravel soil parameters of slope

圖3 邊坡穩(wěn)定性計算結(jié)果 Fig.3 Slope stability calculation result

表2 λi水平下力學(xué)參數(shù)取值 Table 2 Mechanical parameters under different values of λi

5.2 結(jié)果計算與分析

本文不考慮參數(shù)間的相關(guān)性（ ρc，φ= 0），分別將不同水平的參數(shù)組合輸入到極限平衡法計算軟件中計算得出不同λ 水平下的點估計值，見表3。

表3 iλ 水平各參數(shù)組合計算結(jié)果 Table 3 Results for different values of iλ

由表3 可知，模糊點估計法得出的不同λ 水平下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)在[1.233 3，1.239 1]間波動；隨著λ 水平的增大，可靠性指標(biāo)增大，不同λ 水平下邊坡可靠性指標(biāo)的波動區(qū)間為[0.967 2，3.523 2]。穩(wěn)定系數(shù)、可靠性指標(biāo)與λ 水平（隸屬度）的關(guān)系見圖4。由式（22）、（23）可以計算出穩(wěn)定系數(shù)均值為1.238 0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.140 3，因此，邊坡的模 糊隨機(jī)可靠性指標(biāo)β = 1.696 6，破壞概率為Pf= 0.044 9。

圖4 穩(wěn)定系數(shù)、可靠性指標(biāo)與隸屬度的關(guān)系 Fig.4 Relationships between FS and β vs. μ

為了便于說明計算結(jié)果的可靠性，同時用不考慮力學(xué)參數(shù)的統(tǒng)計矩點估計法、通過構(gòu)造概率密度函數(shù)的模糊概率方法對該邊坡進(jìn)行了可靠性分析，見表4。

表4 不同計算方法結(jié)果對比 Table 4 Comparison of reliability results obtained by different methods

由表4 可以看出，模糊點估計法計算結(jié)果和模糊概率法所得的結(jié)果基本是一致的，但比不考慮參數(shù)模糊隨機(jī)性的PEM 法計算結(jié)果稍小。由于它慮到了各個力學(xué)參數(shù)的模糊特性，并對每個力學(xué)參數(shù)都進(jìn)行了模糊處理，使參數(shù)的信息盡可能大地反映出來，這相對于不考慮其模糊性來說更為合理，也與人們的經(jīng)驗理解相符合。

5.3 參數(shù)k 取值對結(jié)果的影響分析

參數(shù)k 決定力學(xué)參數(shù)最大可能計算區(qū)間的確定，實質(zhì)是考慮參數(shù)變異性從點的試驗值到單元的計算值的局部平均化影響。可以根據(jù)試驗參數(shù)統(tǒng)計或人們的經(jīng)驗來確定。k 值大小受參數(shù)變異性、空間相關(guān)程度、樣本數(shù)大小等影響。不同情形下邊坡的可靠性分析結(jié)果見表5。

表5 不同k 值的分析結(jié)果 Table 5 Analysis results according to different values of k

由表可知，針對不同的k 值，可求得穩(wěn)定系數(shù)的變異系數(shù)取值范圍為[0.096～0.158]，邊坡破壞概率隨變異系數(shù)的增大而增大，k 值越小，參數(shù)的置信度越高，可靠度結(jié)果越大。因此，對穩(wěn)定系數(shù)變異性較小的邊坡工程來說，參數(shù)的變異性帶來的模糊隨機(jī)可靠度變化不明顯，但當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)變異性較大時，應(yīng)當(dāng)對加k 的取值進(jìn)行系統(tǒng)的研究，以免對邊坡的實際工作狀態(tài)作出錯誤的評價。

5.4 參數(shù)相關(guān)性對計算結(jié)果的影響分析

考慮力學(xué)參數(shù)c 和φ 的相關(guān)性對可靠性計算結(jié)果的影響，當(dāng)k = 1.5 時，取不同的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行模糊可靠性計算，計算結(jié)果見表6。

表6 參數(shù)相關(guān)性對計算結(jié)果的影響 Table 6 Effect of correlation on reliability results

表6 計算結(jié)果表明，巖土體力學(xué)參數(shù)的相關(guān)性對邊坡模糊隨機(jī)可靠性指標(biāo)的影響并不大。當(dāng)參數(shù)正相關(guān)時，隨相關(guān)系數(shù)的增大，可靠性指標(biāo)稍有減?。粎?shù)負(fù)相關(guān)時，隨相關(guān)系數(shù)的增大，可靠性指標(biāo)稍有增大。

6 結(jié)論與建議

本文在統(tǒng)計矩點估計法和模糊隨機(jī)理論的基礎(chǔ)上，提出邊坡工程模糊隨機(jī)可靠性分析的模糊點估計法；同時，根據(jù)邊坡巖土體力學(xué)參數(shù)的實際近似分布類型，采用正態(tài)模糊數(shù)對隨機(jī)變量進(jìn)行模糊化處理。該方法不需要構(gòu)造邊坡極限狀態(tài)方程概率密度函數(shù)，概念清楚、使用方便、計算效率高，不僅可以計算出穩(wěn)定系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而且可以給出穩(wěn)定系數(shù)和可靠性指標(biāo)的波動區(qū)間，尤其對復(fù)雜邊坡和隱式功能函數(shù)可靠性分析具有很大的潛力。參數(shù)k 的確定比較關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗和室內(nèi)試驗對其進(jìn)行更加全面系統(tǒng)的研究，以便對邊坡的實際狀態(tài)作出客觀合理的評價。計算結(jié)果表明，邊坡破壞概率為44.9%，處于欠穩(wěn)定狀態(tài)，應(yīng)對其采取及時有效的支護(hù)措施。

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