摘 要： 中學(xué)數(shù)學(xué)中最一般的思維模式有以下八種：逼近模式；疊加模式；變換模式；映射模式；方程（或函數(shù)）模式；交軌模式；退化模式；遞歸模式。實(shí)際解題時(shí)，需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)靈活地加以探索，才能使其成為解題者自己的經(jīng)驗(yàn)。
　　關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 思維模式 思維程序
　　
　　美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問(wèn)題中找出那些對(duì)處理將來(lái)的問(wèn)題可能有用的特征。如果一種解題方法是你通過(guò)自己的努力而掌握的，或者是你從別處學(xué)來(lái)或聽(tīng)來(lái)并真正理解了的，那么這種解法就可以成為你的一種模式，即在解類似問(wèn)題時(shí)可用作模仿的一種模式?！边@種一般的數(shù)學(xué)思維模式的通用性是數(shù)學(xué)思維的基本定勢(shì)，它們能夠統(tǒng)率通常解題教學(xué)中所使用的問(wèn)題分類法或具體的解題模式。
　　目前我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著兩種傾向，一種是偏向于題型的過(guò)細(xì)分類和具體解題方法的研究，另一種是過(guò)分地強(qiáng)調(diào)解題的發(fā)散思維而忽視定向思維的重要性。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中最一般的思維模式的研究就能對(duì)上述兩種做法起到互補(bǔ)作用，從而克服解題教學(xué)中的片面性。
　　一般來(lái)講，根據(jù)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可以提出八種重要的思維模式：逼近模式；疊加模式；變換模式；映射模式；方程（或函數(shù)）模式；交軌模式；退化模式；遞歸模式。
　　這些模式的基本思想并不一定以明顯的方式出現(xiàn)于數(shù)學(xué)教材中，多數(shù)情況下是隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)或解題過(guò)程中，需要教師對(duì)教材進(jìn)行鉆研、分析、概括、提煉。
　　一、逼近模式
　　逼近模式是朝著目標(biāo)推移前進(jìn)，逐步溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系而使問(wèn)題解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.把問(wèn)題歸結(jié)為條件與結(jié)論之間因果關(guān)系的演繹；
　　2.選擇適當(dāng)?shù)姆较蛑鸩奖平繕?biāo)。
　　這里指的適當(dāng)方向就是一些較具體的逼近模式，如正向逼近—順推演繹法；逆向逼近—逆求分析法；雙向逼近—分析綜合法；反面逼近—反證法；模糊逼近—嘗試探索法，等等。
　　二、疊加模式
　　疊加模式是運(yùn)用化整為零、以分求和的思想對(duì)問(wèn)題進(jìn)行橫向分解或縱向分解實(shí)施各個(gè)擊破而使問(wèn)題得到解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.把問(wèn)題歸結(jié)為若干種并列情況的總和或者插入有關(guān)的環(huán)節(jié)構(gòu)成一組問(wèn)題；
　　2.處理各種特殊情況或解決各個(gè)小問(wèn)題，將它們適當(dāng)組合（疊加）而得到的一般解。
　　三、變換模式
　　變換模式是通過(guò)適當(dāng)變更問(wèn)題的表達(dá)形式使其由難化易、由繁化簡(jiǎn)，從而最終達(dá)到解決問(wèn)題的思維形式。其思維程序是：
　　1.選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q，等價(jià)的或不等價(jià)的（加上約束條件），以改變問(wèn)題的表達(dá)形式；
　　2.連續(xù)進(jìn)行有關(guān)變換，注意整個(gè)過(guò)程的可控制性和變換的技巧，直至達(dá)到目標(biāo)。
　　所謂等價(jià)變換，是指把原問(wèn)題變更為新問(wèn)題，是兩者的形式互為充要條件。不等價(jià)變換則是指新問(wèn)題擴(kuò)大或縮小了原問(wèn)題的允許范圍。例如，由于實(shí)施了某種運(yùn)算（乘方、開(kāi)方、取對(duì)數(shù)等），形式地套用了某些法則，或者增加、減少了命題的條件，加強(qiáng)或減弱了命題的結(jié)論等都可能產(chǎn)生不等價(jià)的結(jié)果。
　　中學(xué)數(shù)學(xué)中的等價(jià)變換包括恒等變換和同解變換等。如數(shù)、式的恒等變形，方程與不等式的同解變形，幾何圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等都屬等價(jià)變換。不等價(jià)變換涉及的范圍很廣，需要具體問(wèn)題具體分析。主要的控制方法是對(duì)變換過(guò)程進(jìn)行充分性與必要性的分析，通過(guò)增加限制條件或補(bǔ)漏情況使其轉(zhuǎn)化為等價(jià)過(guò)程。
　　中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些具體變換模式有：恒等變形；代數(shù)換元法；同解變形；三角變換；三角換元法；萬(wàn)能替換；合同變換；相似變換；反演變換，等等。
　　四、映射模式
　　映射模式是把問(wèn)題從一個(gè)領(lǐng)域映射到另一個(gè)領(lǐng)域，在另一個(gè)領(lǐng)域中獲解后再反解回原領(lǐng)域使問(wèn)題解決的思維方式。在映射模式下具體的一些模式有：
　　1.幾何法——把數(shù)、式的問(wèn)題歸結(jié)為形的問(wèn)題加以解決；
　　2.解析法——把幾何問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題加以解決；
　　3.復(fù)數(shù)法與向量法——把數(shù)字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為物理問(wèn)題或其他學(xué)科問(wèn)題加以解決。
　　其他如極坐標(biāo)法、參數(shù)法等也屬于映射模式的范疇。
　　五、方程模式
　　方程模式又稱函數(shù)模式，是通過(guò)列方程（組）與解方程（組）來(lái)確定數(shù)學(xué)關(guān)系或解決問(wèn)題的思維方式。方程模式是反映客觀事物數(shù)量關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型。它是溝通已知元素與未知元素之間的辯證聯(lián)系的一種基本方法。其思維程序是：
　　1.把問(wèn)題歸結(jié)為確定一個(gè)或幾個(gè)未知量；
　　2.列出已知量與未知量之間按條件必須成立的所有關(guān)系式即方程（組）；
　　3.解所得的方程（組），得出結(jié)果。
　　六、交軌模式
　　交軌模式是通過(guò)分離問(wèn)題的條件以形成滿足每個(gè)條件的未知元素的軌跡（集合），再通過(guò)疊加來(lái)確定未知元素而使問(wèn)題解決的思維方式。交軌是一種特殊的疊加。通常的疊加是求集合的并集，而交軌的疊加是求集合的交集。
　　交軌模式的思維程序是：
　　1.把問(wèn)題歸結(jié)為去確定一個(gè)“點(diǎn)”——一個(gè)或幾個(gè)未知元素，或一個(gè)幾何點(diǎn)，或一個(gè)解析點(diǎn)，或某個(gè)式子的值，或某種量的關(guān)系等；
　　2.把問(wèn)題條件分離成幾個(gè)部分，使每一部分能確定所求點(diǎn)的一個(gè)軌跡（集合）；
　　3.用軌跡（或集合）的交集確定所求的“點(diǎn)”或未知元素，并由此得出問(wèn)題的解。
　　七、退化模式
　　退化模式是運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的思想，將問(wèn)題按適當(dāng)方向后退到能看清關(guān)系或得出解法思路的地步，再以退求進(jìn)來(lái)達(dá)到問(wèn)題解決的思維方式。其思維程序是：
　　1.將問(wèn)題從整體或局部上后退，化為較易解決的簡(jiǎn)化問(wèn)題、類比問(wèn)題或特殊問(wèn)題等，而保持轉(zhuǎn)化回原問(wèn)題的聯(lián)系通道；
　　2.用解決退化問(wèn)題的思想方法，經(jīng)適當(dāng)變換以解決原問(wèn)題。
　　八、遞歸模式
　　遞歸模式是通過(guò)確定序列的相鄰各項(xiàng)之間的一般關(guān)系，以及初始值來(lái)確定通項(xiàng)或整個(gè)序列的思維方式。它適用于解決定義在自然數(shù)集上的一類函數(shù)，是解決數(shù)字問(wèn)題的一種重要邏輯模式。其思維程序是：
　　1.得出序列的第一項(xiàng)或前幾項(xiàng)；
　　2.找到一個(gè)或幾個(gè)關(guān)系式，使序列的一般項(xiàng)和它相鄰的若干項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)；
　　3.利用上面提到的關(guān)系式或通過(guò)變換求出更為基本的關(guān)系式，遞推地求出序列的一般項(xiàng)或所有項(xiàng)。
　　遞歸關(guān)系通常指僅含有序列的后項(xiàng)與前若干項(xiàng)而無(wú)常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，如等差數(shù)列an=2an-1-an-2是遞歸關(guān)系，而an=an-1+a就不稱為遞歸關(guān)系，而稱之為遞推關(guān)系，即遞推關(guān)系可含常數(shù)項(xiàng)。
　　在遞歸模式范圍，根據(jù)遞推關(guān)系的典型模式是線性關(guān)系，分式關(guān)系或其他非線性關(guān)系，如根式關(guān)系、冪指關(guān)系等，又可分成一些具體的模式，這里不再一一介紹了。
　　以上所列的八種思維模式，它們之間是相容的并立，在每一思維模式下列舉了屬于其范圍的一些具體模式或方法，實(shí)際解題時(shí)，特別是對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，往往需要交錯(cuò)運(yùn)用幾種模式；或者對(duì)于同一問(wèn)題可從不同角度運(yùn)用不同的模式去解決；模式本身也有不同的適用范圍，這些方面都需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)靈活地加以探索，才能使其成為解題者自己的經(jīng)驗(yàn)。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文