摘 要： 作者通過分析極限教學，使用“ε-N”“ε-δ”、“ε-M”語言來闡述如何運用數(shù)學語言來進行教學，并且在分析高等數(shù)學中極限概念的教學難點的基礎上，給出了克服教學難點的教學方法。
　　關鍵詞: 邊疆預科學生 極限概念教學 教學難點
　　
　　數(shù)列、函數(shù)極限的概念是高等數(shù)學中最基本、最重要的概念之一.導數(shù)、微分、不定積分等基本概念都建立在這一概念的基礎上.函數(shù)極限的概念是學習高等數(shù)學首先遇到的較難理解的概念，正確理解、掌握函數(shù)極限的一系列概念是學好高等數(shù)學的關鍵.新疆、西藏籍學生，受母語影響較大，因此對極限概念的理解難度也較大.認真研究、深入探討函數(shù)極限概念的教學良策是確保高等數(shù)學教學質量的前提.本文在分析教學難點的基礎上，從引導學生正確理解函數(shù)極限定義入手，給出突破難點的一些教學方法.
　　1.數(shù)列極限概念的教學難點
　?。?）給出一批有極限的數(shù)列，考察這些具體的數(shù)列的變化趨勢，分析歸納出它們的共同本質——通項無限接近某個常數(shù)A（盡管方式不同），再給出一些沒有極限的發(fā)散數(shù)列，它們不具有上述特性，即不能與任一實數(shù)無限接近，從中得出用普通語言敘述的收斂概念:給定數(shù)列{u}，如果當n充分大時，u無限接近某個常數(shù)A，則稱A為數(shù)列{u}的極限，稱{u}為收斂數(shù)列，否則，稱{u}為發(fā)散數(shù)列.
　?。?）啟發(fā)學生考慮如何用數(shù)學語言精確地描述“充分大”，“接近”，“無限接近”等變化過程，尤其是“無限接近”這一動態(tài)變化的數(shù)學描述，可充分利用數(shù)軸、絕對值，距離等工具，在此基礎上提出用“ε-N極限”語方來精確描述極限過程和收斂概念:對于任意給定的正數(shù)ε（不管它多么?。偞嬖谝粋€正整數(shù)N，當n＞N時，恒有|u-A|＜ε，則常數(shù)A叫做數(shù)列{u}當n趨向于無窮時的極限.或說數(shù)列收斂于A.記作：u=A，或u→A（n→∞）.此時，稱數(shù)列{u}為收斂數(shù)列，否則稱{u}為發(fā)散數(shù)列.
　　在這一階段中，主要是通過記憶和模仿以代償思維能力的不足，達到對極限概念的初步認識.
　　2.函數(shù)極限概念的教學難點
　?。?）基本概念.
　　定義1：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＞M時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數(shù)A為函數(shù)f（x）當x→+∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義2：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＜-M時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數(shù)A為函數(shù)f（x）當x→-∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義3：如果對于?坌ε＞0，總總?堝N＞0，當|x|＞N時，有|f（x）-A|＜ε，
　　則常數(shù)A為函數(shù)f（x）當x→∞的極限.記作：f（x）=A.
　　定義4：函數(shù)f（x）在x點附近（但可能除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數(shù)f（x）當x→x的極限，
　　記作：f（x）=A.
　　定義5：函數(shù)f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜x-x＜δ時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數(shù)f（x）當x→x的右極限，
　　記作：f（x）=A或f（x+0）=A（當x→x）或f（x）→A（當x→x）.
　　定義6：函數(shù)f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉點x本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當-δ＜x-x＜0時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數(shù)f（x）當x→x的左極限，
　　記作：f（x）=A或f（x-0）=A（當x→x）或f（x）→A（當x→x）.
　　f（x）=A的幾何意義如下:
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在x的一個δ鄰域（除x外），在此鄰域內函數(shù)y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下：
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A，y=A+ε，總存在x的一個δ鄰域（x，x+δ）（除x外），在此鄰域內函數(shù)y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下:
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A-ε，y=A，總存在x的一個δ鄰域（x-δ，x）（除x外），在此鄰域內函數(shù)y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　f（x）=A的幾何意義如下：
　　對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在一個區(qū)間［-M，M］，在此區(qū)間內函數(shù)y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.
　　（2）在極限概念教學過程中，應把握從具體到一般原則.
　　極限定義難以理解、掌握的原因在于:定義中涉及“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等比較抽象的術語.定義的敘述繁長、文字符號很多，如ε、δ、M等，且它們之間的數(shù)量關系錯綜復雜，學生難以掌握.對ε的作用和任意性、給定性，以及ε和N、M、δ間的依賴性，學生不易搞清，對“ε-δ”、“ε-M”極限語言容易混淆.
　　抽象性思維能力是分析問題和解決問題能力中最重要的部分，是數(shù)學本身“高度抽象性與應用廣泛性”辯證統(tǒng)一的必然結果.抽象思維能力的培養(yǎng)是發(fā)展創(chuàng)造性思維的前提.由具體到抽象是人們認識事物比較普遍的思維過程，而具體如何飛躍到抽象呢?一般步驟是，提出問題，誘發(fā)思考，讓學生逐步領會把實際問題抽象為數(shù)學問題的思路和方法，引導學生把問題的特征、本質抽象出來，加以綜合概括.
　　3.克服教學難點的方法
　　為了克服以上教學難點，我們可從以下幾點入手.
　?。?）正確運用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三種語言.對于這三種語言，有的同學提出什么時候應用哪種語言搞不清，其實搞明白以下兩個問題，這個難點就會迎刃而解.
　?、佟唉?N”語言用于數(shù)列極限，求解過程是對于任意給定的ε，通過不等式|μn-A|＜ε找到正整數(shù)N;而“ε-X”或“ε-δ”適用于函數(shù)極限，對于任意給定的ε＞0，通過不等式|f（x）-A|＜ε找到正數(shù)δ或X.
　?、凇唉?X”和“ε-δ”語言的區(qū)別在于自變量x的變化趨勢不同.前者適用于x→∞時的函數(shù)極限情形，后者適用于x→x時的函數(shù)極限情形.
　?。?）講清極限定義中“ε”的任意性、給定性及其對N、X、δ的依賴性，從而刻畫ε的作用，在極限定義中有“如果對于任意給定的正數(shù)ε”這一句話，很多學生不理解，為什么ε是任意的而同時又是給定的呢?因為只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻畫出函數(shù)f（x）與常數(shù)A無限接近的意思;而ε又是給定的，如果ε不是給定的就無法確定δ（或N或X）的存在性.其實，給定一個ε就存在一個δ（或N或X），它們是對應的關系.δ（或N或X）是依賴ε而存在的，它們之間具有依賴性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正數(shù)，即定義中的“無論ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正數(shù).
　　注重直觀教學、啟發(fā)式教學、漸進式教學及實踐教學有機結合的方式.如我們在高等數(shù)學中講授新內容時，一定要用直觀，易懂的實例進行解釋說明.每一個概念和結論，再從一個概念或結論得到啟發(fā)，引導學生思考更廣而深入的問題，從而對數(shù)學概念和結論有深刻的理解（我們稱這種教學為抓點）；講授新內容之前回憶復習上節(jié)的主要內容，課堂結束前，總結該節(jié)的內容，并預示下一節(jié)的內容；一段內容結束（如一章內容）之后，整體上再總結歸納這一大段中的主要內容，突出重點，加強影響，將前后內容連貫起來.這種往復式（循序漸進式）的有效總結和歸納對學生培養(yǎng)良好學習習慣是非常重要的（我們稱這一過程為提串），這一過程應貫穿教學整個過程.理論總結的同時針對每一個概念、結論和針對作業(yè)中存在的問題，做大量的具體題目的講解，及時解決問題和給予提醒.再加強學生的作業(yè)質量，要求學生獨立，足量完成.這部分工作主要在習題課上和作業(yè)中完成.一些主要概念和方法可以通過做實驗的方式進行：整個高等數(shù)學課結束之后，再進行一次總復習，這部分主要用課堂教學，完成綜合性比較好的數(shù)學實驗題目的結合進行（這兩部分是實踐教學）.這樣學生不僅能鞏固已學過的高等數(shù)學內容，提高高等數(shù)學水平，還能鍛煉科學思維方式，提高用數(shù)學和計算機解決實際問題的能力，養(yǎng)成良好的學習方法等，進行有益的實踐鍛煉。教學經驗顯示，以上談到的逐步、多層次重疊式（循序漸進式）教學和學習（我們稱抓點提串循序漸進再實踐的學習方法），對增強預科高等數(shù)學教學效果有很好的作用，成效顯著.
　　總之，函數(shù)極限概念是所有學習高等數(shù)學的學生接觸的第一個最基本的概念，也是高等數(shù)學中一個較難理解的概念.在極限概念的教學過程中，應注意由直觀到抽象，由特殊到一般，由舊引新，進而有效地分散難點，以便突破難點.
　　
　　參考文獻：
　?。?］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.
　?。?］李英.淺析數(shù)學教育中應培養(yǎng)的數(shù)學概念［J］.數(shù)學通報，1988，（1）.
　　［3］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學［M］.高等教育出版社，2003，264-278.
　　
　　本文為湖南省教改項目“少數(shù)民族本科預科課程教學定位的研究與實踐”（湘教通〔2009〕321號）的成果。