摘 要： 本文首先介紹在教學中如何導入微分中值定理的內(nèi)容，從幾何意義及分析語言來描述中值定理，進一步闡述中值定理的意義及給出它的一些應用.
　　關鍵詞： 微分中值定理 局部 整體 羅爾定理
　　
　　首先，我們回顧一下學習的差商及導數(shù)的概念.差商是隨自變量x變化的一個函數(shù)，而函數(shù)在某一點處的導數(shù)是表示差商的極限即
　　f′（x）=.
　　從這里我們看得出來，某一點處的導數(shù)并不反映其它任何一點的函數(shù)的性質而僅僅反映函數(shù)的局部性質或“小范圍”的性質；差商卻放映了函數(shù)“大范圍”的性質或整體性質.我們常常需要從函數(shù)的導數(shù)所給出的局部性質來推出其整體性質，為此，我們要討論差商與導數(shù)之間的關系，就是我們在文章中要學習的“微分中值定理”.
　　微分中值定理是微分學中的重要的定理之一，在今后的學習中我們正常會用到它.因此，我們一定要正確地理解、掌握微分中值定理的條件、結論及幾何意義.
　　我們作函數(shù)f（x）的差商，并且假設此函數(shù)的導數(shù)在閉區(qū)間a≤x≤b上處處存在，而使得其曲線圖形處處具有切線.如下圖，這個差商是割線AB的斜率.
　　可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧AB上至少有一個位置C處，此處的切線與割線AB平行.也就是說，在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在ξ，使得
　　=f′（ξ）.
　　這個命題稱為微分中值定理，也就是我們通常說的拉格朗日中值定理.現(xiàn)在用分析的語言來描述幾何直觀如下：
　?。ɡ窭嗜罩兄刀ɡ恚┤绻瘮?shù)f（x）滿足:
　?。╥）閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的，（ii）開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，則至少存在一個值ξ∈（a，b），使得
　?。?）=f′（ξ）.
　　通常公式（1）稱為拉格朗日中值公式.為了證明拉格朗日中值定理，我們首先討論一種特殊的情況.
　?。_爾定理）如果函數(shù)φ（x）滿足:
　　（i）閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的；
　?。╥i）開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導;
　　（iii）φ（a）=φ（b），則至少存在一個值ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0.
　　證明：因為φ（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，由最值定理知，在［a，b］上存在φ（x）的最大值M和最小值m.我們分以下兩種情況考慮：
　　1）若M＞m，則φ≡M，?坌x∈［a，b］.所以我們有φ′（x）≡0，?坌x∈［a，b］.
　　因此，任取ξ∈（a，b），有φ′（ξ）=0.
　　2）若M=m，則M和m這兩個數(shù)中至少有一個不在端點處取到.事實上，如果M和m同時在兩端點處取到，由φ（a）=φ（b）知M=m，這是個矛盾.不妨設φ（x）在ξ∈（a，b）內(nèi)取到最大值，即存在ξ∈（a，b），使得
　　φ（ξ）=M.下證明φ′（ξ）=0.事實上，由φ（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，有
　　φ′（ξ）=φ′（ξ）=φ′（ξ）.由極限的保號性知
　　φ′（ξ）=≥0和φ′（ξ）=≤0，
　　所以φ′（ξ）=0.
　　關于羅爾定理我們給幾點注解：
　　1）定理條件不全具備，結論不一定成立.例如，
　　 缺少條件（i） 缺少條件（ii） 缺少條件（iii）
　　2）定理條件只是充分的，而不是必要的.
　　拉格朗日中值定理的證明:我們現(xiàn)在應用羅爾定理來證明中值定理.等價于證明-f′（ξ）=0.因此，我們需要構造一個輔助函數(shù)φ（x）使得φ′（ξ）=-f′（ξ）=0.從這個表達式中我們?nèi)菀讟嬙燧o助函數(shù)φ（x）=x-f（x），下說明函數(shù)φ（x）滿足羅爾定理的條件，顯然，φ（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的，而在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導.因為
　　φ（a）=a-f（a）=和φ（b）=b-f（b）=，
　　所以φ（a）=φ（b）.由羅爾定理知，存在ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0，即=f′（ξ）.于是定理得證.
　　拉格朗日中值定理的意義：函數(shù)的導數(shù)定義為某區(qū)間上的差商當區(qū)間的端點相互趨近時的極限.而中值定理建立了可微函數(shù)的差商同導數(shù)之間的聯(lián)系，這里并不要求收縮為一點.每一個差商都等于一個適當?shù)闹虚g點ξ處的導數(shù).例如，設y=f（x）是火車從某車站出發(fā)沿著某一鐵路行駛的路程函數(shù)，這里x表示時間.那么f′（x）表示火車在時刻x處的速度.如果知道前3個小時（△x=3）火車行駛了路程△f=450公里，那么由中值定理我們可以得到，在這3個小時內(nèi)至少有一瞬間火車行駛的速度正好是每小時150公里.但我們并不明確到達此速度的具體時刻ξ.也就是前面我們所說的，某時刻ξ瞬時速度（局部性質）可以反映整個路程的平均速度（整體性質）.
　　拉格朗日中值定理的一些應用.
　　1.作為中值定理的應用之一，我們來導出今后我們學習積分學時很有用的定理.如果f（x）在某一區(qū)間上是一常數(shù)，那么f′（x）≡0.它的逆命題也是成立的，即
　　推論1:如果函數(shù)f（x）在某一區(qū)間上的導數(shù)恒為零，則f（x）在某一區(qū)間上是一常數(shù).
　　2.我們可以利用中值定理得出如果函數(shù)f（x）的導數(shù)不變號，則f（x）是單調(diào)函數(shù).具體地說我們有以下結論：
　　推論2:如果函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導.
　　（1） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上單調(diào)增.
　?。?） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上單調(diào)減.
　　
　　參考文獻：
　?。?］同濟大學數(shù)學系主編.高等數(shù)學（第六版）.高等教育出版社.
　　［2］R.柯朗，F(xiàn).約翰著.張鴻林，周民強譯.微積分與數(shù)學分析引論.科學教育出版社，1979.