解決問題與傳統(tǒng)的應(yīng)用題究竟有何不同？在新課程背景下實施“解決問題”教學(xué)需要把握住哪些教學(xué)本質(zhì)？“解決問題”的教學(xué)一直困擾著廣大數(shù)學(xué)教師。我在一段時間思考和實踐的基礎(chǔ)上，逐漸明確了課程改革下“解決問題”更多的是從學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來展開實施，其中最基本的教育功能是通過“解決問題”教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。那么，教師在教學(xué)“解決問題”時該如何注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)呢？本文試圖以“對兩位學(xué)生的一次訪談交流” 為例，談?wù)勎覍Υ说囊恍┧伎己蛯嵺`，以期拋磚引玉。
　　一、背景
　　我隨機選擇了兩位不同班級的四年級學(xué)生，一位姓徐（簡稱生1），一位姓厲（簡稱生2），數(shù)學(xué)成績在各自班里都是中上水平。我先出示了以下一個數(shù)學(xué)問題，請兩位學(xué)生先安靜地獨立思考。
　　某商場促銷一批電視機，第一天賣出了總數(shù)的一半多10臺。還剩下95臺。原來電視機有多少臺？
　　兩分鐘后，生2寫好后直接給我看：95－10=85（臺），85×2=170（臺）。生1一直在嘀咕，說自己可能錯了，不太愿意給我看：95＋10=105（臺），105×2=210（臺）。
　　二、我的訪談
　?。ㄒ唬┙庹f思考過程
　　師：能說說你們是怎么想的嗎？
　　生2：我是倒過來想的。題目中說是多10臺，所以先95－10，倒過來想的時候多的就變成少的了；題目中又說是賣了一半，倒過來想原來應(yīng)該是2倍，所以是85×2=170。
　　生1：我也是倒過來思考的。多就是加，所以先95＋10；賣了一半原來是÷2，現(xiàn)在倒回去就是×2。
　　【診斷分析：從訪談中可以發(fā)現(xiàn)，生2并沒有準確梳理出題目中的數(shù)量關(guān)系，對于“多10臺”所代表的本質(zhì)意義沒有理解到位，只是按部就班地倒推計算，受簡單的倒推法解題的經(jīng)驗干擾。生1的解答雖然正確，但從訪談中發(fā)現(xiàn)，她確實沒有正確地運用逆向思維進行推算，還是停留在比較盲目、感性的經(jīng)驗層面，并沒有從認知上努力抽象出數(shù)量之間的關(guān)系?？梢?，把順向序列轉(zhuǎn)化為逆向序列對于小學(xué)中段學(xué)生來說有一定的困難，但這對于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力無疑是一個很好的抓手?！?br/>　?。ǘz驗思考結(jié)果
　　1.引導(dǎo)生1進行自我檢驗
　　 師：現(xiàn)在你們能肯定誰對誰錯了嗎？（不能）不確定對錯的時候，你們能不能想想辦法檢驗一下自己的答案？
　　生1：210÷2=105（臺），210－105＋10=115（臺），210－115=95（臺）。
　　師：你是怎么想的？
　　生1：共有210臺，賣了一半就是105臺，要減去。題目是多了10臺，所以要加10，算出的115臺表示賣出的臺數(shù)（猶豫片刻后），好像是剩下的臺數(shù)。
　　師：到底表示什么？
　　生1：是剩下的臺數(shù)，因為賣出的已經(jīng)從210里減過了，所以不會再是賣出的。
　　師：那“210－115”呢？
　　生1：不對了，還剩的已經(jīng)求出了。
　　【診斷分析：在生1的自我檢驗中可發(fā)現(xiàn)，她選擇把結(jié)果代入題目進行順向推算是完全自動化的，但她在推理、計算的過程中還是表現(xiàn)出有一定的抽象難度。雖然她的推算答案與題目相符合，但對于她自己的邏輯分析和抽象思考還存在著一定的困難，還不能完全過濾題目中的非數(shù)學(xué)因素，建立起正確的數(shù)量關(guān)系和意義理解。因此，她在題目的解讀和數(shù)量關(guān)系的把握上存在著障礙?！?br/>　　2.引導(dǎo)生2進行自我檢驗
　　生2：170÷2=85（臺），85＋10=95（臺），即賣出了總數(shù)的一半是85臺，還要再多10臺，所以是95臺。
　　師：那你這“95臺”是表示什么意思呢？
　　生2：剩下的臺數(shù)。
　　生1：應(yīng)該是賣出的臺數(shù)。
　　師：為什么你和生2的不同？你是怎么想的？
　　生1：因為85后面是加10，說明賣了一半還沒有完，還要再加上10臺等于95臺，這樣剩下的只有170－95=85（臺）。
　　生2：我也覺得這95應(yīng)表示賣出的臺數(shù)。
　　師：你又為什么改為是賣出的臺數(shù)呢？
　　生2：因為我這里只算了總數(shù)的一半多10臺，剩下的臺數(shù)還沒有算，即170－95=85。
　　【診斷分析：由上可見，這一學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)有了檢驗的方法，選擇順向思考對于他們來說會比較容易上手，但在獨立地進行較復(fù)雜的推算驗證時，都表現(xiàn)出有一定的困難。通過兩人之間相互的交流和補充，他們都逐漸清晰了題目的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。由此可見，這一學(xué)段的學(xué)生非常需要在合作交流中明晰自己對數(shù)學(xué)思考的理解，我們在教學(xué)和輔導(dǎo)時應(yīng)加強學(xué)生在獨立思考基礎(chǔ)上的互動對話，以便更好地促進他們完成對數(shù)學(xué)思考的意義建構(gòu)?！?
　　三、跟進輔導(dǎo)
　　（一）激活最近發(fā)展區(qū)
　　師：你們驗證的結(jié)果怎么都不對??？有什么辦法可以來解決這個問題？
　　生1：假設(shè)原來的臺數(shù)。
　　師：那你要假設(shè)原來有幾臺？
　　生1：隨便幾臺都可以。
　　生2：我覺得這樣不可以。原來有多少臺都不知道，隨便假設(shè)的話剩下的不一定剛剛好是95臺。
　　師：說得也有道理。那你（生1）怎么會想到用假設(shè)法呢？
　　生1：我覺得是可以的。要試很多次，總會試到還剩下95臺的。
　　師：哦。這個方法是可行的，就是有點費時。你們還有其他方法嗎？
　　生1：列方程。設(shè)原來有x臺電視機，列式為 x－（x÷2＋10）=95。
　　師：能解釋一下你是怎么想的嗎？
　　生1：賣了總數(shù)的一半多10就是x÷2＋10，求還剩的就是總數(shù)減去賣出的臺數(shù)，所以是x －（x÷2＋10）=95。
　　【診斷分析：從上面的對話中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在逆向思維上遇到障礙時，一般情況下會習(xí)慣于在順向思維上找突破口。可見，這一學(xué)段的學(xué)生正以順向思維為主逐步過渡到有逆向思維表征的發(fā)展期。生1在提出假設(shè)法遭到同伴的反對時，能夠有理有據(jù)地堅持自己的觀點，讓人由衷地贊賞她數(shù)學(xué)思維的敏捷性和獨創(chuàng)性。這樣敢于辯論的自信和靈活思辨的習(xí)慣不是一朝一夕之功，可見她在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定經(jīng)歷了一個比較好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)。因此，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的核心是加強數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)?！?br/>　?。ǘふ夷嫦蛩伎嫉闹吸c
　　師：說得很好。方程也是可以的。還有其他的方法嗎？
　　師：你們一開始想的那個倒過來思考的方法怎么不對了呢？問題到底出在哪？有什么辦法可以來幫助分析一下？（學(xué)生還是無從下手）
　　師：我們能不能用畫圖來幫助分析？（學(xué)生同意，分別獨立動手畫圖，不作任何交流和參考）
　　生2畫圖如下：
　　師：你（指生2）畫的圖是什么意思？
　　生2：原來賣出的是總數(shù)的一半，總數(shù)的一半就是“總數(shù)÷2”；賣出一半后還多賣了10臺，就是“總數(shù)÷2＋10”，表示賣出的臺數(shù)，最后還剩下95臺。
　　師：那現(xiàn)在你能不能根據(jù)自己畫的圖倒回來思考，解決這個問題？（生2還是感到困難）
　　【診斷分析：這一學(xué)段的學(xué)生進行逆向思維時確實感到有一定的困難，他們也很難自覺地選擇畫圖的方法來幫助推導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合的思想沒有深入他們的數(shù)學(xué)思維中。生2的畫圖，還是不能擺脫順向思維的束縛，不能把題目的數(shù)量關(guān)系抽象出來在線段圖中進行表示，因此還是不能幫助他進行很好的逆向思維。而生1在沒有任何提示下，自己能較好地用線段圖抽象出題目的數(shù)量關(guān)系。因此，我們在這一學(xué)段的教學(xué)時，要有意識地加強數(shù)形結(jié)合、抽象數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練和指導(dǎo)，這極其有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。】
　　師：想不出來沒關(guān)系，我們先來看一下生1畫的圖，能不能看得懂？
　　生2：看得懂。
　　師：能不能說說她的圖和你的圖相比，好在哪？
　　生2：她這樣畫起來比我的更清楚。
　　師：更清楚在哪里呢？什么東西比你的更清楚？
　　生2：前面一段是總數(shù)的一半， 賣出的是“總數(shù)的一半還多10臺”，所以這一大段都是賣出的臺數(shù)。（一邊說一邊動手比劃，如下圖）
　　
　　師：說得很好。那現(xiàn)在你們能不能根據(jù)這幅圖的理解，試著倒過來解決這個問題？（學(xué)生獨立列式）
　　【診斷分析：從上述這段對話中我們發(fā)現(xiàn)，當把已經(jīng)畫出來的線段圖呈現(xiàn)給生2看時，他還是能讀懂、解釋線段圖所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息和數(shù)量關(guān)系，能馬上在腦海里建立起相對比較抽象的數(shù)學(xué)表象。像這樣的學(xué)生在我們的實際教學(xué)中是占多數(shù)的，提供相互交流的對話平臺無疑是解決這一問題的好方法?！?br/>　?。ㄈ├谩皵?shù)形結(jié)合”求解
　?。ㄉ?已列對了，生2還是感到困難）
　　師：還是有點難是嗎？那能不能跟我們說說看，你的難處在哪？
　　生2：剩下95臺不是總數(shù)的一半，不知道怎么求。
　　師：你（指生1）聽出他不能倒回來想的原因在哪了嗎？
　　生1：剩下的95臺，加上多的10臺剛好是總數(shù)的一半。
　　師：她剛才說的你聽清楚了嗎？
　　生2：剩下的95臺加上10臺以后正好是總數(shù)的一半了。
　　師：為什么“95臺加上10臺”正好是總數(shù)的一半了呢？
　　生1：因為賣出一半還多了10臺，就是比一半超出了10臺。
　　師：你能不能用自己的話來再解釋一遍？
　　生2（指著圖）：賣了總數(shù)的一半還多出了10臺，剩下95臺，如果這95臺加上10臺以后，這里一半等于那邊的一半。
　　師：那現(xiàn)在你算式會列了嗎？（會）如果再讓你們來檢驗自己的結(jié)果，你會怎么檢驗？（兩人都能正確、流利地解釋思考過程）
　　【診斷分析：在這一過程中我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然生2已經(jīng)能讀懂線段圖，但在進行逆向思維時還是不能結(jié)合圖來進行推算，總會受到生活經(jīng)驗和非正確數(shù)量關(guān)系的干擾與影響，但一旦提醒結(jié)合圖來思考、倒推時，生2馬上能順利地進行正確的逆向思維?？梢?，這一學(xué)段的學(xué)生正處于以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象邏輯思維為主的關(guān)鍵時期。數(shù)形結(jié)合是很好激活學(xué)生形象思維與抽象思維相聯(lián)結(jié)的好方法，有了圖示的支撐，學(xué)生還是能根據(jù)自己的判斷和推理抽象出隱含著的數(shù)量關(guān)系進行逆向思維。另外，值得我們注意的是，學(xué)生能讀懂線段圖并不能說明他們已經(jīng)在腦海里正確地建構(gòu)起了正確的數(shù)量關(guān)系表象。學(xué)會運用圖示來幫助抽象思考，需要教師在平時的教學(xué)中有意識地加強指導(dǎo)。】
　　“解決問題”的教學(xué)價值在于幫助學(xué)生在已有的能力水平基礎(chǔ)上，進一步鞏固學(xué)會的知識技能，豐富活動經(jīng)驗，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、選擇策略等解題能力，培養(yǎng)觀察比較、抽象概括、分析推理、聯(lián)想反省等數(shù)學(xué)思維。我們只有在解決問題教學(xué)中真正落實對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，才不會讓解決問題在數(shù)學(xué)課堂中浮于表面，成為無水之源。
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