摘 要：近年來，數(shù)列問題在高考卷中占有重要的地位，其中由數(shù)列的遞推關系式求通項公式往往出現(xiàn)在綜合題和探索問題中，本文將就如何由數(shù)列的遞推關系式求通項公式的一般類型和常見解法作一個簡單探討和歸納．
　　關鍵詞：數(shù)列；遞推關系式；通項公式；類型；思想方法
　　
　　近年來，全國高考卷及各省市高考卷中，數(shù)列在試卷中的比重大概占10%左右，其中主觀題年年有，有的甚至放在倒數(shù)第二題或者壓軸題的位置，比如2004年江蘇卷的第15、20題，2005年江蘇卷的第2、23題，2006年江蘇卷的第15、21題，2007年江蘇卷的第20題，2008江蘇卷的第19題，2010年的高考大綱中對《數(shù)列》這一章的要求中也有提到“能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題”． 無論是綜合題還是應用題、探索題，往往首先都要求由數(shù)列的遞推關系式求出通項公式，再去解決其他問題，所以求通項公式就變成了解決問題的先決條件和關鍵步驟．
　　本文將就由數(shù)列的遞推關系式求通項公式的幾種常見類型作一個簡單的探討和歸納．
　　
　　 類型一：形如a1=a，an+1=pan+q（p，q為常數(shù)，pq（p－1）≠0）的遞推數(shù)列
　　例1 已知數(shù)列｛an｝中，a1=，an+1=an+1，
　　（1）求證：數(shù)列｛an-2｝為等比數(shù)列；
　　（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式．
　　解：（1）因為an+1=an+1，所以an+1－2=（an－2）．
　　若an－2=0，則an=2為常函數(shù)，與a1=矛盾，所以an－2≠0，于是=．
　　所以，數(shù)列｛an-2｝為等比數(shù)列，且首項a1－2=－，公比q=．
　　（2）由（1）知，an－2=－?n-1，所以an=2－3n．
　　引申：若本題沒有第1問的鋪墊，則如何求數(shù)列｛an｝的通項公式？
　　方法一：待定系數(shù)法
　　由遞推關系式an+1=an+1，可以設an+1+k=（an+k），即an+1=an－k，所以－k=1?圯k=－2，所以an+1－2=（an－2），即=．
　　所以數(shù)列｛an-2｝為等比數(shù)列，且首項a1－2=－，公比q=．
　　可以求得an=2－3n．
　　推廣：對于形如a1=a，an+1=pan+q（p，q為常數(shù)，pq（p－1）≠0）的遞推數(shù)列，必有｛an+k｝為等比數(shù)列，再由an+k的通項公式求出an的通項公式． 對于常數(shù)k，可以用待定系數(shù)法來確定． 設an+1+k=p（an+k）=pan+pk，則an+1=pan+k（p－1）?圯k（p－1）=q，所以k=，即數(shù)列an+為等比數(shù)列．
　　由遞推關系式求數(shù)列的通項公式的方法較多、較靈活，常常可以由遞推關系式將其轉化為熟知的等差或等比數(shù)列來求解，這里的待定系數(shù)法正是將an+1=pan+q轉化為等比數(shù)列來解題的，這也體現(xiàn)了數(shù)學中一種重要的思想方法——化歸思想．
　　方法二：累加法
　　因為an+1=an+1，所以
　　an－an-1=1（n≥2），
　　an-1－an-2=1×，
　　an-2-an-3=1×，
　　……
　　a3－a2=1×，
　　a2－a1=1×，
　　將以上n-1個式子相加，得
　　an－a1=1+++…+，
　　所以an=1+++…++=+=2－2×n-1+=2－3n．?搖
　　當n=1時，a1=符合上式，所以an=2－3n（n∈N*）．?搖
　　本題的累加法在運用的時候難度相對比較大，為了能夠和下面的項消除，每個等式左右兩邊都要乘以相應的項，這樣特別要注意系數(shù)的冪指數(shù)，以免發(fā)生錯誤．
　　方法三：迭代法
　　an=an-1+1
　　=an-2+1+1=an-2++1
　　=an-3+1++1=an-3+++1
　　=…
　　=a1+++…+++1
　　=+=2－2×n-1+=2－3n.
　　累加法和迭代法是求數(shù)列通項公式的兩種基本方法，特別適用于二階等差（等比）數(shù)列，即an+1－an=f（n），其中f（n）為等差（等比）數(shù)列． 這種由不完全歸納找出前幾項的規(guī)律，再求出數(shù)列通項公式的方法，能夠培養(yǎng)學生的歸納和猜想能力．
　　
　　類型二：形如a1=a，an+1=pan+q（n）（p為常數(shù)）的遞推數(shù)列
　　例2 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=2an+n+1，求數(shù)列｛an｝的通項公式．
　　分析：本題中累加法和迭代法顯然是適用的，但是待定系數(shù)法是否還適用呢？在這里｛an+k｝顯然不可能再是等比數(shù)列了，因為例1中的常數(shù)“1”已經(jīng)變換成本題中的“n+1”． 進一步思考｛an+kn+b｝是否可能是等比數(shù)列，用待定系數(shù)法嘗試．
　　方法一：待定系數(shù)法
　　由原遞推式an+1=2an+n+1，可設an+1+k（n+1）+b=2（an+kn+b），即an+1=2an+kn+b－k．
　　比較系數(shù)可得k=1，b-k=1，于是解得k=1，b=2，即an+1+（n+1）+2=2（an+n+2），所以｛an+n+2｝是等比數(shù)列，且首項a1+1+2=5，公比q=2，所以an+n+2=5×2n-1，所以an=5×2n-1－n－2（n∈N*）．
　　方法二：累加法
　　因為an+1=2an+n+1，所以
　　an－2an-1=n（n≥2），
　　2an+1－22an-2=2（n－1），
　　22an-2－23an-3=22（n－2），
　　……
　　2n-3a3－2n-2a2=2n-3×3，
　　2n-2a2－2n-1a1=2n-2×2，
　　將以上n-1個式子相加，得
　　an－2n-1a1=n+2（n－1）+22（n－2）+…+2n-3×3+2n-2×2=3×2n-1－n－2，
　　所以an=5×2n-1－n－2（n≥2）．
　　當n=1時，a1=2符合上式，
　　an=5×2n-1－n－2（n∈N*）．
　　方法三：迭代法
　　an=2an-1+n
　　=2（2an-2+n－1）+n=22an-2+2（n－1）+n
　　=22（2an-3+n－2）+2（n－1）+n=23an-3+22（n－2）+2（n－1）+n
　　=…
　　=2n-1a1+2n-2×2+2n-3×3+…+22（n－2）+2（n－1）+n
　　=5×2n-1－n－2（n∈N*）.
　　本題在累加法和迭代法中遇到S=n+2（n－1）+22（n－2）+…+2n-3×3+2n-2×2這個式子的求和問題，可以用錯位相減法求得．
　　推廣：對于形如a1=a，an+1=pan+q（n）（p為常數(shù)）的遞推數(shù)列的一般情況可以做如下的歸納：
　　1． 若q（n）為等差數(shù)列，可以用三種方法求通項公式.
　　方法一：待定系數(shù)法
　　設an+1+k（n+1）+b=p（an+kn+b），則an+1=pan+k（p－1）n+（p－1）b，再由比較系數(shù)求出x，y，從而可得｛an+kn+b｝為等比數(shù)列，通過求an+kn+b的通項，進而求出an的通項．
　　方法二：累加法與方法三：迭代法，也都可以解決這類問題．
　　2． 若q（n）為等比數(shù)列，不妨設q（n）=qn（q>0，q≠1），即an+1=pan+qn．
　?。?）當p=1時，即an+1=an+qn，累加或者迭代即可以解決．
　?。?）當p≠1時，即an+1=p?an+qn，可以有三種方法求通項．
　　方法一：兩邊同除以pn+1，即==+?，令bn=，則bn+1－bn=?，這樣就轉化為上面第1種類型，可以用累加法求通項．
　　方法二：兩邊同除以qn+1，即=?+，令bn=，則可化為bn+1=?bn+，這樣就轉化為類型（一）來解決．
　　
　　方法三：待定系數(shù)法
　　設an+1+λ?qn+1=p（an+λ?qn），通過與已知的遞推關系式比較系數(shù)，求出λ，轉化為等比數(shù)列求通項．
　　
　　類型三：形如a1=a，an+1=p（n）an+q（q為常數(shù)）的遞推數(shù)列
　　例3 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=，Sn=n2?an，求數(shù)列｛an｝的通項公式．
　　分析：本題給出的是數(shù)列的前n項和Sn與通項an之間的關系，所以首先要轉化為相鄰項之間的遞推關系式，然后根據(jù)遞推關系式的特點選擇合適的方法求解通項公式．
　　解：當n=1時，a1=S1=；
　　當n≥2時，an=Sn－Sn-1=n2?an－（n－1）2?an-1，
　　所以（n2－1）an=（n－1）2?an-1，即=．
　　下面可以用累乘法或迭代法求通項，??…?=??…?
　　化簡可得，==，所以an=（n∈N*）．
　　
　　可化為一階遞推關系式的其他類型
　　例4 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=，求數(shù)列｛an｝的通項公式．
　　解：由an+1=，取倒數(shù)可得=?+1．
　　令bn=，則上式可化為bn+1=bn+1，且b1==，這樣就轉化為類型（一）中的例題1，從而可知bn=2－3n．
　　于是，an===．
　　遇到遞推數(shù)列an+1=（c≠0，d≠0，e≠0），取倒數(shù)變成=+的形式，即倒數(shù)變換法，從而轉換成類型（一）來解決． 倒數(shù)變換法有兩個要點需要注意：一是取倒數(shù)的過程，二是要注意新數(shù)列的首項、公差或公比變化了．
　　例5 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=，a=100an，求數(shù)列｛an｝的通項公式．
　　分析：本題的遞推關系式是二次的，可以通過兩邊同時取對數(shù)來達到降次的目的．
　　解：由a=100an，兩邊同時取常用對數(shù)，得
　　2lgan+1=2+lgan，即lgan+1=1+lgan．
　　設bn=lgan，則bn+1=1+bn，且b1=lga1=lg=，從而又轉化為類型（一）中的例1，易得bn=2－3n．
　　于是，an=10bn=102－3n．
　　總之，展望高考數(shù)學命題趨勢，由數(shù)列遞推關系式求通項公式仍是熱點之一，這類題型解題方法靈活多樣，技巧性較強． 在數(shù)學思想方法上考查了待定系數(shù)法、不完全歸納法、遞推思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等；在數(shù)學能力上考查了邏輯思維能力以及運算能力等． 學生只有掌握基本技能和基本方法，通過適當?shù)淖冃危D化為熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列，才能解決問題．