摘 要：江蘇的數(shù)學(xué)高考題中填空題分值重，且處于試卷的開始部分，解答是否順利與成功在很大程度上決定著考生能否迅速進(jìn)入最佳狀態(tài)，其重要性可見一斑. 鑒于此，本文結(jié)合實(shí)例分析討論了填空題的特點(diǎn)，并著重研究了習(xí)題教學(xué)中填空題的教學(xué)功能，以期引起教師對(duì)填空題教學(xué)的重視，實(shí)現(xiàn)填空題特有的教育意義.
　　關(guān)鍵詞：填空題；五大特點(diǎn)；教學(xué)功能
　　
　　隨著高考命題的不斷改革并逐漸趨于穩(wěn)定和完善，以及數(shù)學(xué)教師對(duì)填空題及其解法研究的深入，筆者越來(lái)越感到填空題是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中不可或缺的“一盤大餐”. 以江蘇高考為例，填空題的分值大概為70分，約占總分中的44%. 份額如此之重，且又處于試卷的開始部分，解答填空題是否順利與成功在很大程度上決定著考生能否迅速進(jìn)入最佳狀態(tài)，進(jìn)而取得理想的成績(jī). 因此，十分有必要進(jìn)一步探討填空題在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中不可小覷的教學(xué)功能.
　　
　　填空題的特點(diǎn)
　　填空題具有五大特點(diǎn)：“短、平、快、寬、靈”. “短”，一是指題目的文字篇幅不長(zhǎng)，容易做到首尾相顧，便于從整體上駕馭；二是指解題的“工程量”不大，且不需要規(guī)范地寫出全部推理過(guò)程. “平”，指的是難度不是很大，且從這部分的卷首題到把關(guān)題，具有平緩而合理的坡度.沿著順序走下去，漸漸地烘熱大腦，可逐步使考生進(jìn)入考場(chǎng)的“角色”之中，甚至達(dá)到“寵辱不驚”的“忘我”境界，水平得以超常發(fā)揮. “短”與“平”決定了其“快”的特點(diǎn)，讀題采擷信息快，領(lǐng)會(huì)理解題意快，檢索搜尋反應(yīng)快，書寫解答快，課堂教學(xué)節(jié)奏快，在不長(zhǎng)的時(shí)段內(nèi)可處理較多的題目，收效巨大.“寬”，是指知識(shí)覆蓋面寬與解法的多樣性，體現(xiàn)的是在知識(shí)交匯處命題的理念，可謂小中見大. 填空題結(jié)構(gòu)精巧，解法靈活，發(fā)人深省，啟迪智慧，可謂“靈”. 現(xiàn)特舉幾例讓我們領(lǐng)略填空題的風(fēng)采.
　　例1?搖 對(duì)a，b∈R，記max｛ａ，ｂ｝=a，a≥b，b，a>b. 函數(shù)f（x）=max｛x+1，x-2｝（x∈R）的最小值為________?搖.
　　這是一道情境全新的問(wèn)題，如何理解“max｛ａ，ｂ｝”、“max｛x+1，x-2｝”？
　　在數(shù)形結(jié)合的思想指導(dǎo)下迅速想到畫出圖象. 由函數(shù)y=x+1與y=x-2的圖象得交點(diǎn)，. 再揣摩題意“兩者取大”，得圖1中的粗線條；再來(lái)個(gè)“大中取小”，所求最小值不就是嗎？
　　
　　圖1
　　題目結(jié)構(gòu)之精巧，解法技能中的“生、熟”融會(huì)，令人感到賞心悅目.
　　例2?搖 對(duì)于一切x∈0，，不等式x2+ax+1≥0恒成立，則a的最小值是____.
　　函數(shù)、方程與不等式永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)內(nèi)容，通常的設(shè)問(wèn)是求某參數(shù)的取值范圍，而此題卻是求參數(shù)a的最小值，新穎獨(dú)特. 若考慮函數(shù)f（x）=x2+ax+1在0，上的最小值恒大于0，則將簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了，可靈活“轉(zhuǎn)換角色”，將x2+ax+1看成關(guān)于a的函數(shù)g（a）=x?a+x2+1，則得如下解法.
　　解法一：因?yàn)閤∈0，，所以g（a）=x?a+x2+1是關(guān)于a的一次函數(shù)，且為增函數(shù)，那么可得g（0）≥0，g≥0，
　　解得a≥－.
　　注意，求的是a的最小值，不能只用g（0）≥0，還應(yīng)有g(shù)≥0.
　　能否將參數(shù)a從整個(gè)式子中分離出來(lái)呢？于是得解法二.
　　解法二：由原式得a≥－x－=－x+. 因?yàn)閤+在0，上是減函數(shù)，所以－x+在0，上是增函數(shù)，且當(dāng)x=時(shí)，有最大值－. 因此，a≥－.
　　“轉(zhuǎn)換角色”與“分離參數(shù)”都是必須熟練掌握的重要技能. 小小的一道選擇題卻涵蓋了這么多重要內(nèi)容，“小中見大”的原則被演繹得淋漓盡致.
　　例3 設(shè)an＞0，a1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an+an-1=+2，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=__________.
　　遞推數(shù)列的試題近年來(lái)有升溫的趨勢(shì)，但又不會(huì)太難，此題即為典型的一例. 這里很難找到an與an-1之間的一個(gè)簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系式，將右邊分母中的an-an-1乘過(guò)去，不行！最難對(duì)付的是等號(hào)右邊的2，若能將它融入其他式子中就好辦了，于是有（an－1）+（an-1－1）=，從而（an－1）2－（an-1－1）2=n. 因此，（a2－1）2－（a1－1）2=2，（a3－1）2－（a2－1）2=3，…，（an－1）2－（an-1－1）2=n. 將這n-1個(gè)式子左右兩邊分別相加得（an－1）2=1+2+…+n=，開方得an－1=，于是an=1+.
　　遞推關(guān)系的處理、逐差累加法、等差數(shù)列求和等基本技能在很大程度上得到了強(qiáng)化.
　　例4 P是雙曲線－=1（a>0，b>0）右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，則M點(diǎn)的軌跡是________.
　　“雙曲線、異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)、角平分線、垂線、垂足”等關(guān)鍵字眼，結(jié)合圖2，組成一幅美妙的畫圖，精巧地構(gòu)成一道新穎獨(dú)特的軌跡問(wèn)題.
　　由角平分線想到圖形的對(duì)稱，設(shè)F1M，PF2的延長(zhǎng)線交于Q，則PF1=PQ.
　　由雙曲線的定義知，F(xiàn)2Q=PQ-PF2=PF1-PF2=2a. 又O，M分別是F1F2，F(xiàn)1Q的中點(diǎn)，所以O(shè)M=a，M點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，不含x軸上的兩點(diǎn).
　　平面幾何與解析幾何知識(shí)的聯(lián)袂化解了難以突破的難點(diǎn)，給解題注入了活力與信心.
　　
　　填空題的教學(xué)功能
　　填空題的特點(diǎn)決定了它們?cè)跀?shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的重要地位和巨大功能.
　　1. 節(jié)時(shí)高效
　　“內(nèi)容多、任務(wù)重、時(shí)間緊”是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中最突出的矛盾. 一節(jié)課40到45分鐘，若處理大題，且還要追求解題的規(guī)范完整，則很難解決幾道題. 筆者在這里決不是排斥大題的處理與價(jià)值，而是主張?jiān)谔幚泶箢}的同時(shí)一定要輔以填空題，以取得教學(xué)的“節(jié)時(shí)高效”.
　　例5 設(shè)a＞0，若曲線C：y=ax2+bx+c在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的傾斜角的取值范圍是0，，則點(diǎn)P到曲線C的對(duì)稱軸距離的取值范圍是________.
　　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用已成為數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)，一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合題，從分析到解答，再回顧，沒有20分鐘解決不了問(wèn)題.然而，填空題在這方面卻顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).
　　求導(dǎo)得y′=2ax+b，點(diǎn)P的切線斜率為2ax0+b. 又切線的傾斜角的取值范圍是0，，故切線斜率的取值范圍是［0，1］，于是2ax0+b∈［0，1］. 而曲線C的對(duì)稱軸為x=－，則點(diǎn)P到直線x=－的距離為x0+=∈0，.
　　僅用4、5分鐘，就復(fù)習(xí)了求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、傾斜角的概念、由傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、點(diǎn)到直線的距離、絕對(duì)值等重要“雙基”，片面單純地處理大題是很難取得這種效果的.
　　2. 克服“疲勞”
　　在面對(duì)大量的題目與頻繁的考試的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)“智力疲勞”而產(chǎn)生“厭戰(zhàn)”的情緒. 此時(shí)，若仍然一味地向他們灌輸工程浩大的解答題，則收效甚微.然而適當(dāng)配以一些“短、平、快、寬、靈”的填空題，卻可以調(diào)節(jié)學(xué)生的精神和心理，緩解智力疲勞.
　　例6 橢圓的離心率為，A是其左頂點(diǎn)，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，B是其短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，則∠ABF的大小是______.
　　文字精練簡(jiǎn)潔，信息量少，學(xué)生心理壓力不大，即使在心力疲憊的狀態(tài)下，學(xué)生也愿意再投入精力去戰(zhàn)勝它.
　　由=，得=，則可設(shè)a2=2，c2=3－，那么b2=－1. 因?yàn)?（a，b），=（－c，b），所以?=（a，b）?（－c，b）=－ac+b2=－+－1=0，故∠ABF=.
　　
　　離心率是一個(gè)十分活躍的角色，它與向量的數(shù)量積的結(jié)合在這里演繹了一出引人入勝、精彩絕倫的好戲，對(duì)于智力疲勞的消除產(chǎn)生了良好的作用.
　　3. 挖掘潛能
　　挖掘?qū)W生潛藏的智能是數(shù)學(xué)教學(xué)，也是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo)，而處理填空題在這方面有著奇特的作用. 填空題之“小”使學(xué)生認(rèn)識(shí)到必須在短時(shí)間內(nèi)用巧妙的方法獲解，而不必去大動(dòng)干戈. 學(xué)生在緊急關(guān)頭往往會(huì)爆發(fā)出超常的智能，“急中生智”也就成了現(xiàn)實(shí).
　　例7 設(shè)集合A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝，若從集合A到集合B的映射f 滿足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），則這樣的映射有_______個(gè).
　　在課堂上，教師問(wèn)：大家見過(guò)此題嗎？學(xué)生答：沒有！教師說(shuō)：從未見過(guò)而能當(dāng)場(chǎng)解出，我們追求的就是這種即時(shí)效果.
　　在這種良性的刺激下，經(jīng)過(guò)一番緊張而亢奮的思考，不少學(xué)生取得了突破：將集合A的5個(gè)元素“分配”給集合B的3個(gè)元素，也就好比將1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)裝到標(biāo)號(hào)分別為“6，7，8”的三個(gè)筐中，每個(gè)筐可裝0到5個(gè)數(shù)，那么也就相當(dāng)于將數(shù)5分成三個(gè)非負(fù)整數(shù)的和，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程x+y+z=5非負(fù)整數(shù)解的組數(shù).再將方程變Web5kB3jLVlGm0WNljcPo6DbGcaLOlWdp2l8L8bu45Q=為（x+1）+（y+1）+（z+1）=8，則又轉(zhuǎn)化為求方程s+t+r=8的正整數(shù)解的組數(shù). 那么在一排8個(gè)1形成的7個(gè)空擋中任意插入兩快隔板，則有C=21種插法，故這樣的映射有21個(gè).
　　沒有用到高深的知識(shí)和高難度的技巧，卻飽含智慧的營(yíng)養(yǎng)，留下的是深深的啟迪和無(wú)窮的回味.
　　4. 查漏補(bǔ)缺
　　經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，學(xué)生的“雙基”應(yīng)該說(shuō)比較牢固了，但百密一疏，總會(huì)有些薄弱或遺漏之處. 通曉學(xué)生的學(xué)情，選用恰當(dāng)?shù)奶羁疹}來(lái)查漏補(bǔ)缺是良策.
　　例8?搖 等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若=a1+a200，且A，B，C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O），則S200=______.
　　一般學(xué)生給出如下解答：設(shè)=λ，則－=λ（－），得=（1－λ）+λ，所以a1+a200=1，因此S200=100.
　　不能說(shuō)這種方法不好，但囿于嚴(yán)密的推理，對(duì)于填空題來(lái)說(shuō)不是上策，果然有學(xué)生用到如下的“絕招”：作出圖3，在平行四邊形AOCD中，=+，則=+，完全符合題意，那么a1=a200=，故S200=100.
　　
　　圖3
　　“特殊化”的思想方法是解答某些填空題的妙法，應(yīng)該為此鼓掌叫好！
　　再如，“求取值范圍”的問(wèn)題往往是數(shù)學(xué)試卷的“制高點(diǎn)”，學(xué)生的能力不可能一步到位，更需要不斷地強(qiáng)化.
　　例9 若函數(shù)y=log2x的定義域?yàn)椋踑，b］，值域?yàn)椋?，2］，則區(qū)間［a，b］的長(zhǎng)度b-a的取值范圍是________.
　　圖4是函數(shù)y=log2x的圖象，直線l：y=2與圖象的交點(diǎn)分別為，2與（4，2），則當(dāng)定義域?yàn)椋?時(shí)能保證值域?yàn)椋?，2］；當(dāng)≤x≤4時(shí)，也能保證值域?yàn)椋?，2］，所以a-b的最小值為1－=，a-b的最大值為4－=，故所求范圍是，. 沒有什么復(fù)雜的計(jì)算，憑借的是利用圖形展開靈活的思維活動(dòng).
　　
　　圖4
　　5. “小題大做”
　　解答填空題最忌諱的就是“小題大做”.但利用適當(dāng)契機(jī)，將小題提升為大題，既用靈活機(jī)智的方法解決了小題，又順勢(shì)用嚴(yán)謹(jǐn)周密的推理過(guò)程解答了大題.當(dāng)然這就不是普通意義上的“小題大做”了，而是一舉多得的大好事！
　　例10 對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)拋物線y2=2（2n+1）x，過(guò)點(diǎn)P（2n，0）任作直線l交拋物線于An，Bn兩點(diǎn)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為________.
　　教師提醒說(shuō)：這是一道填空題，大家切勿“小題大做”哦！學(xué)生果然得到十分簡(jiǎn)捷的解法.
　　設(shè)直線l：x=2n，代入拋物線方程，易得A，B坐標(biāo)分別為（2n，），（2n，－），則?=4n2－4n（2n+1）= －4n（n+1），=－2n，則前n項(xiàng)和為－n（n+1）.
　　正當(dāng)學(xué)生為自然流暢地征服這道貌似繁難的問(wèn)題而興奮不已時(shí)，教師出其不意地說(shuō)：現(xiàn)在將此題“提拔”為大題：
　　求數(shù)列的前n項(xiàng)和，如何解答呢？
　　小題的成功解答增強(qiáng)了信心，已獲得的結(jié)果指明了方向，上述過(guò)程又是解答大題不可缺少的一步，基于此，學(xué)生很快給出如下的解答：
　?。?）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)， l：x=2n，…；
　　（2）當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x-2n）（k≠0），代入拋物線方程得k2x2-2（2nk2+2n+1）x+4n2k2=0.
　　設(shè)An（x1，y1），Bn（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=4n2.
　　又y1y2=k2（x1-2n）（x2-2n），所以?=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2-2nk2（x1+x2）+4n2k2=（1+k2）4n2－2nk2?+4n2k2=－4n（n+1），下略.
　　雖然這里的計(jì)算稍繁一些，但在（1）的結(jié)果的鼓舞下，學(xué)生信心倍增，化得與（1）相同的結(jié)果當(dāng)不屬難事.
　　將小題提升為大題，還可取得以下的教學(xué)效益：
　　其一，避免學(xué)生將全部的注意力集中于填空題，兼顧了解答題這個(gè)“重拳”，通過(guò)征服解答題取得理想的成績(jī).
　　其二，填空題的成功解答為攻克大題奠定了基礎(chǔ)，降低解答難度.
　　其三，通過(guò)大題的解答培養(yǎng)學(xué)生完整規(guī)范、一絲不茍的表述.
　　其四，在解小題、解大題中訓(xùn)練學(xué)生的智慧和勇氣，培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì).
　　其五，訓(xùn)練“雙基”，為解答數(shù)學(xué)題打下扎實(shí)的根基.
　　夯實(shí)基礎(chǔ)，不迷航向；大小兼顧，當(dāng)仁不讓；智商情商，相得益彰；登頂遠(yuǎn)眺，無(wú)限風(fēng)光.