摘 要：局部換元是換元法中的一種最常用的方法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式多次出現(xiàn)，而用一個(gè)變量來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)． 在高中數(shù)學(xué)關(guān)于求解某些函數(shù)的解析式、最值、值域等問(wèn)題時(shí)，也經(jīng)常用到局部換元法．
　　關(guān)鍵詞：函數(shù)；換元法；轉(zhuǎn)化；局部換元法
　　
　　局部換元法又稱整體換元法，是換元法中的一種最常用方法，解題時(shí)把已知或者未知中某個(gè)多次出現(xiàn)的式子看做一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．
　　既然局部換元是一種換元方法，那么它的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化． 比如，當(dāng)朋友弄不明白你的說(shuō)話意思時(shí)，你會(huì)來(lái)一個(gè)“換句話說(shuō)”，就是保留原意而改變表述形式的意思．在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往需要若干次的“換句話說(shuō)”才能把原來(lái)的問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)或化生為熟．
　　那么在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題中，有哪些題型可以用局部換元法呢？筆者簡(jiǎn)單歸納如下：
　　1． 函數(shù)F（f（x））=g（x）
　　形如F（f（x））=g（x），我們通常是令t=f（x），再用t來(lái)表示x，得到x=h（t），最后將t=f（x）和x=h（t）代入F（f（x））=g（x）中就達(dá)到了換元的目的，得到F（x）的解析式．
　　例1 已知函數(shù)f（x3）=lgx（x>0），求f（x）．
　　解：令t=x3（t>0），則x=，則f（t）=lg=lgt=lgt，故f（x）=lgx（x>0）．
　　再如已知f（3x+1）=4x+3，求f（4）的值． 我們只需令t=3x+1（t∈R），則x=，則f（t）=4+3=+，故f（4）=+=7．
　　2． 三角函數(shù)f（sinx±cosx，sinxcosx）
　　形如f（sinx±cosx，sinxcosx）的三角函數(shù)，求三角式的最大值和最小值時(shí)，我們往往是令題中的sinx+cosx=t，然后兩邊平方，找出sinx?cosx與t的關(guān)系，最后將題中的sinx和cosx轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)或一次函數(shù)來(lái)研究．其中最常用的公式是平方關(guān)系式sin2x+cos2x=1．
　　例2 設(shè)a>0，求f（x）=2a（sinx＋cosx）－sinxcosx－2a2的最大值和最小值．
　　分析：抓住sinx＋cosx與sinxcosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的取值范圍（t∈［-，］）與sinx＋cosx的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
　　解：設(shè)sinx＋cosx=t，則t∈［-，］．
　　由（sinx＋cosx）2=1＋2sinxcosx，得sinxcosx=，所以f（x）=g（t）=－（t－2a）2＋（a>0），t∈［-，］．
　　當(dāng)t=-時(shí)，g（t）min=－2a2－2a－；當(dāng)2a≥時(shí)，t=，g（t）max= －2a2＋2a－；當(dāng)0<2a<時(shí)，t=2a，g（t）max=．
　　所以f（x）min=－2a2－2a－， f（x）max=0　　3． 根式函數(shù)y=f（x）+g（x）（f（x）或g（x）為根式）
　　對(duì)于根式函數(shù)y=f（x）+g（x），如f（x）與g（x）中存在某種聯(lián)系，則令t=f（x）（或t=g（x））． 若需要去掉根號(hào)，則將t=f（x）（或t=g（x））兩邊平方，化為關(guān)于t的二次函數(shù)．
　　例3 求函數(shù)y=+的值域．
　　分析：本題中的f（x）=與g（x）=是互為倒數(shù)關(guān)系，用局部換元法．
　　解：設(shè)t=，則t∈［2，+∞）且y=f（t）=t+．
　　在［2，+∞）上任取t1　　故函數(shù)的值域?yàn)閥∈，+∞．
　　例4 求函數(shù)y=x+的值域．
　　分析：此題用局部換元法須將t=兩邊平方，去根號(hào)，化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)．
　　解：設(shè)t= （x≤2），所以x=2-t2（t≥0），于是y=2-t2+t=-t-2+（t≥0）．
　　顯然，當(dāng)t=∈［0，+∞）時(shí)，y有最大值，故函數(shù)的值域y∈-∞，.
　　4． 復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））
　　對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f（g（x）），令t=g（x），則將原函數(shù)化為y=f（t），不過(guò)需要特別注意t的取值范圍．
　　例5 函數(shù)y=（1－x2）的值域．
　　分析：本題是一道簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求值域問(wèn)題．
　　解：令t=1－x2，則y=． 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是｛x-1≤x≤1｝，所以0≤t≤1，所以0≤y≤1，故原函數(shù)值域?yàn)椋鹹0≤y≤1｝．
　　本題通過(guò)局部換元法引入了一個(gè)新的變量t，t扮演了一個(gè)“傳遞者”的角色，根據(jù)這一點(diǎn)，由內(nèi)向外，層層分析，達(dá)到求原函數(shù)值域的目的．
　　我們使用局部換元法時(shí)，須按照化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化隱為顯的思路，換元后要注意新變量取值范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大． 如例1中t>0、例2中t∈［-，］、例3中t∈（2，+∞）、例4中t≥0和例5中0≤t≤1.