摘 要：幾何概型是新課程改革以后在我們的高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的新內(nèi)容． 實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在處理幾何概型問題時(shí)，時(shí)常發(fā)生無從下筆的現(xiàn)象． 筆者認(rèn)為學(xué)生之所以這樣，關(guān)鍵還是對(duì)概念的理解不夠深入，對(duì)幾何概型的本質(zhì)以及處理方法把握不夠準(zhǔn)確，以致沒有形成正確的數(shù)學(xué)思想方法，這就對(duì)我們教師在教學(xué)幾何概型時(shí)提出了更高的要求．
　　關(guān)鍵詞：幾何概型；概念；例題；巧妙；深入；細(xì)致
　　
　　新課程改革以后，我們的高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了幾何概型，這不但能體現(xiàn)新教材對(duì)知識(shí)模塊的完整性的考慮，還在比較中提高了學(xué)生對(duì)古典概型的理解． 幾何概型是對(duì)古典概型內(nèi)容的進(jìn)一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，等可能的情況不僅在有限個(gè)事件時(shí)可以說明，也能拓展到無限個(gè)事件的情形，教材之所以這樣安排，一是體現(xiàn)了古典概型和幾何概型的區(qū)別，在類比中鞏固這兩種概型；二是為解決實(shí)際問題提供了一種新的概率模型，在教材中起到了承上啟下的作用． 但幾何概型的教學(xué)對(duì)教師更具挑戰(zhàn)性，它是將抽象的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成形象的幾何圖形，用數(shù)形結(jié)合的思想解決的概率問題．實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往掌握得并不是太好，在處理幾何概型問題時(shí)，他們有時(shí)會(huì)無從下筆，尤其是面對(duì)一些較難的轉(zhuǎn)化問題． 筆者認(rèn)為學(xué)生之所以這樣，關(guān)鍵還是對(duì)概念的理解不夠深入，對(duì)幾何概型的本質(zhì)以及處理方法把握不夠準(zhǔn)確，以致沒有形成正確的思想方法，這就對(duì)我們教師在教學(xué)幾何概型時(shí)提出了更高的要求，如何才能幫助學(xué)生達(dá)到學(xué)習(xí)效果，提高我們的教學(xué)質(zhì)量？為此筆者對(duì)幾何概型的教學(xué)作了以下幾點(diǎn)思考和建議．
　　 對(duì)概念的引入要巧妙，能讓學(xué)生在思考和好奇中主動(dòng)探討新知識(shí)
　　布魯納的問題教學(xué)法認(rèn)為，“學(xué)習(xí)者在一定的問題情境中，經(jīng)歷對(duì)學(xué)習(xí)材料的親身體驗(yàn)和發(fā)展過程，才是學(xué)習(xí)者最有價(jià)值的東西．” 基于幾何概型較抽象、難理解的特點(diǎn)，為了更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，活躍學(xué)生的思維，我們可以在學(xué)生原有對(duì)古典概型的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地讓學(xué)生陷入新的困境，引起認(rèn)知沖突，喚起學(xué)生對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的欲望．?搖?搖
　　例如，對(duì)課本中的問題情境，我們可以這樣設(shè)計(jì)．
　　情境：取一根長(zhǎng)度為30 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于10 cm的概率有多大？（教師可以讓學(xué)生親手做實(shí)驗(yàn)，主動(dòng)探索）
　　教師：試驗(yàn)的基本事件是什么？
　　有的學(xué)生思考，有的學(xué)生議論．
　　師生共同探討得出結(jié)論：取一個(gè)斷點(diǎn)就是一個(gè)基本事件，斷點(diǎn)可以在繩子上的任意一點(diǎn)取．
　　教師：基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？
　　學(xué)生：是等可能的．
　　教師：事件A包含的基本事件是什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：在中間10 cm線段上取斷點(diǎn)．
　　教師：同學(xué)們用古典概型試一試呢？
　　學(xué)生嘗試之后，一片嘩然．
　　師生共同探討得出結(jié)論：不行，因?yàn)槿绻霉诺涓判停渲械膍，n都有無限個(gè)．
　　這樣有意識(shí)地讓學(xué)生陷入困境的設(shè)計(jì)，不僅能夠啟發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)的思考和探究，而且也為我們引入新的幾何概型提供了鋪墊，為下一步概念的教學(xué)打下了良好的基礎(chǔ)．
　　
　　 對(duì)概念的教學(xué)要深入，能讓學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑答辯，加深理解
　　數(shù)學(xué)概念教學(xué)雖然是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常見的一個(gè)環(huán)節(jié)，但卻是關(guān)鍵的一步．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)效果如何，直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)于相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知程度，進(jìn)而影響到學(xué)生整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)建，影響到學(xué)生思維能力的發(fā)展和提高．如果學(xué)生沒有建構(gòu)一系列清晰、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念，不能正確理解數(shù)學(xué)概念的含義，就失去了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．
　　?搖?搖前面提到學(xué)生對(duì)有的幾何概型的問題不會(huì)處理，往往找不準(zhǔn)D和d，筆者認(rèn)為關(guān)鍵還是對(duì)幾何概型的概念理解不夠深入，沒有把握好幾何概型的本質(zhì)及處理方法．為了更好地幫助學(xué)生理解概念，為下一步處理幾何概型的問題打下好的基礎(chǔ)，筆者建議可以設(shè)計(jì)如下問題，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，提高對(duì)概念教學(xué)的效果．
　　幾何概型的概念和公式是：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型．
　　一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率：
　?。校ǎ粒剑?br/>　　教師：概念中的“取點(diǎn)”是指什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：“每個(gè)基本事件”理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地“取一點(diǎn)”，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．
　　教師：什么叫該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣？
　　學(xué)生：就是指基本事件的發(fā)生是等可能的．
　　教師：公式中的D是指什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：就是指隨機(jī)試驗(yàn)包含的每個(gè)“基本事件”對(duì)應(yīng)的“取點(diǎn)”的區(qū)域．
　　教師：公式中的d是指什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：就是指事件A所包含的每個(gè)“基本事件”對(duì)應(yīng)的“取點(diǎn)”的區(qū)域．
　　教師：D的測(cè)度指什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：當(dāng)D分別是線段、平面圖形、立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積．
　　教師：d的測(cè)度指什么？
　　學(xué)生：指相應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積和體積．
　　師問：D和d具有怎樣的關(guān)系？
　　師生共同探討得出結(jié)論：具有包含關(guān)系，其中D包含d．
　　教師：那么處理幾何概型，首先要考慮的是什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：把“基本事件”轉(zhuǎn)化理解成“取點(diǎn)”的問題．
　　教師：幾何概型的本質(zhì)是什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：本質(zhì)是“取點(diǎn)”．
　　教師：那么處理幾何概型的關(guān)鍵又是什么？
　　學(xué)生活動(dòng)：關(guān)鍵是找到“取點(diǎn)”的區(qū)域“D”和“d”．
　　
　　 對(duì)例題的處理要細(xì)致，能讓學(xué)生在探究中理清解題步驟，提高學(xué)習(xí)效果
　　例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分和環(huán)節(jié)． 通過例題教學(xué)，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解答數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到鞏固所學(xué)知識(shí)的目的． 講好例題，就是教學(xué)上通過師生、生生積極的互動(dòng)和一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，把例題分析清楚、透徹，讓學(xué)生明白為何這樣解，解答該如何表述等等． 幾何概型將抽象的實(shí)際問題與形象的圖形完美結(jié)合，因此處理幾何概型問題就是如何轉(zhuǎn)化成圖形的問題，而在教材的例題、練習(xí)中沒有預(yù)備知識(shí)的基礎(chǔ)，導(dǎo)致學(xué)生在解題、理解時(shí)出現(xiàn)了知識(shí)的一個(gè)空白區(qū)．如果我們教師也在此草草了事，隨意處理，必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)問題，直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)． 對(duì)幾何概型中如何將實(shí)際問題刻劃畫圖形問題，前面提到幾何概型的本質(zhì)是“取點(diǎn)”，筆者認(rèn)為關(guān)鍵還是找到基本事件對(duì)應(yīng)的“取點(diǎn)”區(qū)域，即“D”和“d”，由此自然可以聯(lián)系到圖形問題上去．
　　例如，有一杯1 L的水，其中含有1個(gè)大腸桿菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0．1 L，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率．
　　我們可以設(shè)計(jì)如下層層遞進(jìn)的“問題串”來幫助解決．
　　教師：這個(gè)問題可以用幾何概型來處理嗎？
　　學(xué)生發(fā)現(xiàn)其符合幾何概型的特點(diǎn)，得出結(jié)論，可以用幾何概型來處理．
　　教師：既然可以，那么基本事件對(duì)應(yīng)的取點(diǎn)是什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：取大腸桿菌所處的位置點(diǎn)．
　　教師：那么D是什么？D的測(cè)度是什么？
　　學(xué)生：因?yàn)槲恢命c(diǎn)可以在1 L水中任何位置取，所以D指1 L水，測(cè)度是水體積1 L．
　　教師：事件A所包含的基本事件是什么？
　　師生共同探討得出結(jié)論：在0.1 L水中取大腸桿菌所處的位置點(diǎn)．
　　教師：那么d是什么？d的測(cè)度又是什么？
　　學(xué)生：位置點(diǎn)可以在0.1 L水中任何位置取，所以d指0.1 L水，測(cè)度是體積0.1 L．
　　以下是學(xué)生活動(dòng)：記“小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌”為事件A，Ｐ（Ａ）＝==，
　　最小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為．
　　遇到一些可以轉(zhuǎn)化成幾何概型的問題，我們需注意，關(guān)鍵是找到基本事件所對(duì)應(yīng)的“取點(diǎn)”，再找到“取點(diǎn)”的區(qū)域，即“D”和“d”．
　　盡管幾何概型的教學(xué)對(duì)我們教師的要求較高，但要提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維能力，需要我們不斷地完善、優(yōu)化課堂教學(xué)，正所謂“教學(xué)有法，教無定法，貴在得法”． 任何一種教學(xué)方法的核心作用，就是為實(shí)現(xiàn)和完成教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)服務(wù)． 本文僅從三個(gè)方面即：概念的引入、理解及應(yīng)用對(duì)幾何概型的教學(xué)作了思考和建議，以此幫助我們教師和學(xué)生能在教學(xué)活動(dòng)中充分發(fā)揮各自作用和功能，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)效果．