摘 要：主體參與課堂教學(xué)模式就是在課堂教學(xué)過程中，以教師和學(xué)生為主體，以學(xué)生發(fā)展為中心，師生共同參與教學(xué)活動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效率最大化的一種模式. 本文是基于這樣的指導(dǎo)思想而設(shè)計(jì)的一堂課，以供同行討論和參考.
　　關(guān)鍵詞：基本不等式；證明；主體參與
　　
　　主體參與課堂教學(xué)模式就是在課堂教學(xué)過程中，以教師和學(xué)生為主體，以學(xué)生發(fā)展為中心，師生共同參與教學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效率最大化的一種模式. 區(qū)別于其他模式，其顯著特征是教師和學(xué)生兩者都是課堂教學(xué)的主體，兩大主體交互在一起，共同參與課堂中的教和學(xué). 這種模式下的課堂是由教學(xué)內(nèi)容、教師和學(xué)生共同構(gòu)成的有機(jī)系統(tǒng). 三者之間是三者的相互作用、相互影響、互為一體的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系. 主體參與的課堂教學(xué)系統(tǒng)就是由教學(xué)內(nèi)容、教師、學(xué)生及課堂環(huán)境有機(jī)構(gòu)成的生態(tài)系統(tǒng).這種模式可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和參與性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 通過主體的主動(dòng)參與，最大限度地關(guān)注到每一位學(xué)生的課堂生成及問題的解決，提高課堂整體效率.在深入研究該模式的理論后，筆者以《基本不等式的證明》為例精心設(shè)計(jì)了一堂實(shí)踐課.
　　
　　教學(xué)目標(biāo)
　　知識(shí)目標(biāo)：探索并了解基本不等式≤（a，b≥0）的證明過程，體會(huì)證明不等式的基本方法. 能應(yīng)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問題. 滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)化歸等數(shù)學(xué)思想.
　　能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納、判斷、猜想等思維能力.
　　情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
　　
　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
　　基本不等式≤（a，b≥0）的準(zhǔn)確表達(dá)及其證明.
　　
　　教學(xué)過程
　　一、問題情境
　　1. 有一架天平兩臂之長(zhǎng)略有差異，其他均精確. 小王用它來稱一物體的重量，將此物體放在左右兩個(gè)托盤各稱一次，將所得數(shù)據(jù)相加后除以2所得的結(jié)果就認(rèn)為是物體的真實(shí)重量，你認(rèn)為小王所測(cè)量的結(jié)果是否準(zhǔn)確？如果不準(zhǔn)確，比真實(shí)重量是重還是輕？你能給小王提供一種用這架天平稱量此物體真實(shí)重量的方法嗎？
　　2. 引入課題
　　設(shè)第一次稱量時(shí)，放物體一邊的臂長(zhǎng)為l1，另一邊的臂長(zhǎng)為l2，稱得物體的重量為a，第二次稱得物體的重量為b，用小王的方法所得的結(jié)果為A=，這樣合理嗎？
　　事實(shí)上，設(shè)物體的實(shí)際質(zhì)量為M，根據(jù)力學(xué)原理有
　　l1M=l2a，?搖?搖?搖?搖?搖 ①
　　l2M=l1b.?搖?搖?搖?搖?搖 ②
　?、佗谙喑嗽俪詌1l2，可以得到
　　?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖M=.
　　問題：A=與M=是否相等？若不相等，大小關(guān)系又怎樣？
　　點(diǎn)評(píng)：從生活中的具體問題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，該情境貼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū).
　　二、學(xué)生活動(dòng)
　　1. 對(duì)于非負(fù)數(shù)a，b，稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù).
　　2. 學(xué)生分組討論.
　　3. 學(xué)生通過取一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行探究（見如下表格）.
　　4. 猜想：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，若a≠b，則<；若a=b，則=. 當(dāng)a<0，b<0時(shí)，很明顯>;當(dāng)ab<0時(shí)，無意義.
　　5. 初步結(jié)論：如果a>0，b>0，那么≤成立.
　　點(diǎn)評(píng)：誘發(fā)學(xué)生深入思考問題，體會(huì)學(xué)習(xí)研究的方法，科學(xué)探求未知的有效手段——從特殊到一般.
　　
　　建構(gòu)數(shù)學(xué)
　　1. 呈現(xiàn)課題：基本不等式的證明.
　　引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，給出基本不等式的證明，點(diǎn)評(píng)有關(guān)問題.
　　2. 基本不等式的證明.
　　證法1：（比較法）
　　因?yàn)椋?［（）2+（）2－2］=?（－）2≥0，所以≤.
　　證法2：（分析法）
　　要證≤，只要證2≤a+b，只要證a－2+b≥0，只要證（－）2≥0. 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式恒成立，所以≤成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”.
　　證法3：（綜合法）對(duì)于正數(shù)a，b，有（－）2≥0，?圯a+b－2≥0?圯a+b≥2?圯≥.
　　點(diǎn)評(píng)：（1）由證明過程可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)均值相等，并解釋“當(dāng)且僅當(dāng)”兩方面的含義.
　?。?）強(qiáng)調(diào)結(jié)論成立的條件：a，b都是非負(fù)數(shù)，并舉反例加以說明.
　?。?）比較法、分析法、綜合法都是證明不等式的基本方法.
　　3. 通過嚴(yán)格的證明，得到下列結(jié)論：
　　定理?搖 如果a，b是正數(shù)，那么≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）.
　　讓學(xué)生根據(jù)圖1，嘗試給出上述基本不等式的幾何解釋，并思考這個(gè)基本不等式的其他證明方法.
　　4. 對(duì)≤的幾何解釋：
　　如圖1，在圓O中，AB為圓的直徑，弦DD′⊥AB，垂足為C，AC=a，BC=b，由射影定理得 CD=，則弦DD′=2；而直徑AB≥弦DD′，所以a+b≥2，變形得≤，當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí)，即a=b時(shí)取等號(hào).
　　點(diǎn)評(píng)：抓住時(shí)機(jī)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生捕捉隱含信息，從多方位、多角度去理解并掌握所學(xué)知識(shí)，提升思維的靈活性.
　　5. 教師點(diǎn)評(píng)
　?。?）這個(gè)基本不等式的幾何解釋即“半弦≤半徑”.
　?。?）這個(gè)基本不等式可否推廣到“n個(gè)（n>1，n∈N）非負(fù)數(shù)”的情形？有興趣的同學(xué)可以課后查閱有關(guān)資料.
　　
　　數(shù)學(xué)運(yùn)用
　　1. 例題
　　例1 ?搖已知a，b為正數(shù)，試證明下列不等式：
　?。?）+≥2；（2）a+≥2.
　　分析：可直接應(yīng)用基本不等式進(jìn)行證明，并注意基本不等式的應(yīng)用條件.
　　證明（略）.
　　例2 已知函數(shù)y=x+，x∈（－2，+∞），求此函數(shù)的最小值.
　　分析：不能直接使用基本不等式，應(yīng)將其變形為（x+2）+－2，可以對(duì)前兩項(xiàng)使用基本不等式.
　　解：（略）.
　　點(diǎn)評(píng)：（1）在使用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，常需要將函數(shù)形式進(jìn)行變形，創(chuàng)造條件使用基本不等式.
　　（2）在利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即必須兩個(gè)量都是正數(shù)（也可是非負(fù)數(shù)），才能直接使用基本不等式；要把函數(shù)式放縮到常數(shù)，等號(hào)才能取到.
　　2. 練習(xí)
　　1. 若x>0，則f（x）=x+有_________值，為_________，此時(shí)x=________；
　　2. 若x<0，則f（x）=x+有_________值，為_________，此時(shí)x=________；
　　3. 已知x>0，y>0，且x+y=2，求xy的最大值；
　　4. 已知x>0，y>0，且xy=1，求x+y的最小值；
　　5. 已知0　　6. 已知0　　學(xué)生板演，教師評(píng)析，做到師生互動(dòng)，講練結(jié)合.
　　
　　回顧小結(jié)
　　學(xué)生回顧小結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容以及主要收獲，教師總結(jié).
　　1. 基本不等式≤（a，b≥0）的準(zhǔn)確表達(dá)及其證明.
　　2. 基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用（證明不等式，求函數(shù)最值）.
　　
　　教學(xué)反思
　　1. 在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來分析問題、解決問題，以構(gòu)建學(xué)生的完整的知識(shí)結(jié)構(gòu). 在設(shè)計(jì)時(shí)，每個(gè)問題充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭(zhēng)提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答，使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，讓學(xué)生在不斷的思考和討論中完善和加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.
　　2. 本節(jié)課的教學(xué)中要求學(xué)生對(duì)基本不等式的數(shù)與形兩個(gè)方面都要有充分的認(rèn)識(shí)，在設(shè)計(jì)中特別強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的統(tǒng)一，意圖是使學(xué)生在比較中對(duì)基本不等式得以深刻理解. 數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，不是教師提一提學(xué)生就能夠掌握并且會(huì)用的.只有學(xué)生通過實(shí)踐，意識(shí)到它的好處之后，學(xué)生才會(huì)在解決問題時(shí)去嘗試使用. 只有通過不斷的使用，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種思想方法的再理解，從而掌握它.
　　3. 本課的設(shè)計(jì)是基于“主體參與課堂教學(xué)模式”，即通過師生課上的探索、互動(dòng)學(xué)習(xí)，達(dá)到理解掌握知識(shí)的目的. 在教師的引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生自己尋找、探求解決問題的途徑是本節(jié)課所采用的教學(xué)方式. 課上學(xué)生學(xué)習(xí)熱情很高，師生的互動(dòng)非常好，出現(xiàn)了很多討論問題的高潮. 學(xué)生能夠針對(duì)教師的問題進(jìn)行充分的分析和討論，并且通過討論，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解得到了深化.
　　
　　課后作業(yè)
　　教材第91頁習(xí)題3.4第1，3，4題.