摘 要：在當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，如何提高中學(xué)生的課堂參與度已成為一個焦點問題. 本文以三角函數(shù)值域的課堂教學(xué)為例，探索以學(xué)生設(shè)計問題為主的課堂教學(xué)方式，旨在提高學(xué)生的課堂參與度，同時讓學(xué)生在問題設(shè)計中建構(gòu)自己的知識框架.
　　關(guān)鍵詞：動態(tài)生成；問題設(shè)計；知識框架
　　
　　美國數(shù)學(xué)教育家G?波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”;蘇霍姆林斯基也說過“不能讓學(xué)生參與是教師的最大過失”. 新課程理念認(rèn)為，課程與教學(xué)是整合的，它是由教材、教師與學(xué)生、教學(xué)情景、教學(xué)環(huán)境構(gòu)成的一種動態(tài)生成的生態(tài)系統(tǒng). 在開展合作、對話、探究、交流的課堂教學(xué)中，隨時都會出現(xiàn)超出教師預(yù)設(shè)方案之外的新問題、新情況.這種課程資源往往蘊藏著學(xué)生的需要、困惑及真實想法，具有重要的教育價值和意義，如果能對這種資源進行恰當(dāng)?shù)靥幚砼c優(yōu)化，就能更有效地開展教學(xué)活動，同時能對教師教學(xué)水平的提高起到難以估量的作用，真正實現(xiàn)教學(xué)相長的目的. 本文擬就教學(xué)中充分利用學(xué)生“設(shè)計問題”，讓學(xué)生在問題設(shè)計中建構(gòu)自己的知識框架談幾點做法.
　　
　　 為合情合理的動態(tài)生成提供可能
　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上”. 引例的安排可以幫助學(xué)生回顧解決值域問題的基本方法，同時為下面的動態(tài)生成埋下伏筆，最終幫助學(xué)生形成自己的知識框架.
　　引例：說出求下列函數(shù)值域的方法.
　　（1）y=2x+1，x∈［－1，+∞）；
　?。?）y=；
　　（3）y=x2－4x+5.
　　學(xué)生思考片刻.
　　學(xué)生1：因為函數(shù)（1）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x?。?時函數(shù)有最小值， 值域是［－1，+∞）.
　　學(xué)生2：將（2）分離常數(shù)變形為y=1+，所以這個函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=的圖象左移兩個單位，再上移一個單位得到，從圖象上看值域是（－∞，1）∪（1，+∞）.
　　教師：很好，數(shù)形結(jié)合是很好的研究方法，函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性都在函數(shù)的圖象中有所體現(xiàn).
　　學(xué)生3:配方法，將函數(shù)（3）配方成y=（x-2）2+1，所以值域是［1，+∞）.
　　
　　 讓學(xué)生思維在錯誤的第一次呈現(xiàn)中碰撞
　　富蘭克林有句名言“垃圾是放錯了地方的寶貝”. 因此，從某種意義上說，錯誤有時也是一種有效的生成性課程資源. 課堂上學(xué)生的錯誤尤其寶貴，因為這樣的錯誤很可能代表了一批學(xué)生的想法. 當(dāng)它在課堂上第一次呈現(xiàn)時，倘若教師能不惜時間，努力挖掘錯誤的潛在資源，就能獲得事半功倍的效果.
　　教師：現(xiàn)在我們的函數(shù)中又多了一個新的成員：三角函數(shù)，它的值域又該如何去求？
　　例1 求函數(shù)y=2－sin2x的最值.
　　學(xué)生4：當(dāng)sin2x=1，即2x=+2kπ，x=+kπ（k∈Z）時， y有最小值1；
　　當(dāng)sin2x=－1，即2x=－+2kπ，x=－+kπ（k∈Z）時， y有最大值3.
　　變式 求函數(shù)y=2－sin2x0≤x≤的值域.
　　學(xué)生5：因為0≤x≤，所以0≤2x≤，0≤sin2x≤，所以該函數(shù)的值域是2－，2.
　　學(xué)生6：因為0≤x≤，所以0≤2x≤，0≤sin2x≤1，所以該函數(shù)的值域是［1，2］.
　　教師：同學(xué)們，我們幫生5看看問題究竟在哪里？y=sinx是單調(diào)函數(shù)么？一定在端點處取最值么？如何避免這類錯誤的出現(xiàn)？
　　學(xué)生6：我是畫出正弦函數(shù)的圖象，描出定義域的那段曲線，從而找到最高點和最低點.
　　教師：對，還是數(shù)形結(jié)合，生5以及犯同樣錯誤的同學(xué)們，請記住生6的建議.
　　
　　 平淡的問題設(shè)計有其積極的價值
　　根據(jù)引例，學(xué)生能順利設(shè)計出以下四個問題，這里的設(shè)計看似平庸，并不能體現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)造力，但就在如此簡單的設(shè)計中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了前后知識的聯(lián)系，化歸思想在設(shè)計初就已心中有數(shù).
　　教師：同學(xué)們，你們能否將例1轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟知的題型？
　　學(xué)生1：例1相當(dāng)于求函數(shù)y=2－x（-1≤x≤1）的值域.
　　教師追問：例1的變式呢?
　　學(xué)生1：相當(dāng)于求函數(shù)y=2－x（0≤x≤1）的值域.
　　教師：看問題很透徹，我們在學(xué)習(xí)的過程中要試著找到前后知識間的聯(lián)系，這樣我們的知識框架才會更牢固.
　　教師：剛剛我們共同探討了y=asinx+b，y=acosx+b型函數(shù)的值域的求法，可將其化歸為一次函數(shù)的值域，但需注意自變量x的取值范圍. 你能結(jié)合引例設(shè)計其他類型的三角函數(shù)值域或最值的問題嗎？
　　學(xué)生7：設(shè)計1，求函數(shù)y=的值域.
　　學(xué)生8：設(shè)計2，求函數(shù)y=的值域.
　　教師：能將它們轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的題型嗎？
　　學(xué)生9：設(shè)計1可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=（－1≤t≤1）的值域，設(shè)計2可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=（－1≤t≤1）的值域.
　　學(xué)生10：設(shè)計3，求函數(shù)y=sin2x－4sinx+5的值域.
　　學(xué)生11：設(shè)計4，求函數(shù)y=sin2x－sinx+5的值域.
　　學(xué)生12：設(shè)計3 可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=t2－4t+5（－1≤t≤1）的值域.
　　教師：四個設(shè)計選兩個解決.
　　
　　 引導(dǎo)并期待著學(xué)生的創(chuàng)造性設(shè)計
　　課堂教學(xué)中蘊涵著巨大的活力，只有師生的活力在課堂教學(xué)中得以有效發(fā)揮，才能真正有助于學(xué)生的培養(yǎng)和教師的成長，課堂上才有真正的生活. 這樣的課堂離不開師生之間、生生之間的互動. 以下幾位學(xué)生的設(shè)計較前者上了一個臺階.
　　教師：還有其他設(shè)計嗎？能否在他們的基礎(chǔ)上加大點難度呢？
　　學(xué)生13：設(shè)計5，求函數(shù)y=sin2x－4sinx+50≤x≤的值域.
　　學(xué)生13：設(shè)計6，求函數(shù)y=－cos2x－sinx+6的值域.
　　教師：有點不一樣哦，談?wù)勀銈兊南敕?
　　學(xué)生13：設(shè)計5換元之后僅僅是t的范圍發(fā)生了改變，從［-1，1］變成了［0，1］，設(shè)計6將cos2x用1－sin2x替換之后就是設(shè)計4.
　　教師：嗯，有點意思，設(shè)計得很成功.
　　學(xué)生14（舉手）：設(shè)計7，求函數(shù)y=（log2x）2－4log2x+5（2≤x≤16）的值域.
　　教師：他的設(shè)計已經(jīng)涉足對數(shù)函數(shù)領(lǐng)域了. 能解決么？
　　學(xué)生齊聲：能！
　　北京師范大學(xué)曹才翰教授指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，必須要主體的積極參與才能實現(xiàn)這個過程”，學(xué)生的積極參與和自信的展示讓筆者感動，雖然有些偏離主題，但對全班學(xué)生是個很好的提示，將引例與三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)復(fù)合，萬變不離其宗，學(xué)生對解決值域問題充滿自信，知識框架已經(jīng)悄然形成.
　　教師：好的，現(xiàn)在輪到我出題了.
　　例2 求關(guān)于x的函數(shù)y=sin2x－asinx+5的最小值.
　　給學(xué)生盡量多的時間思考.
　　教師分析：問題可轉(zhuǎn)化為求y=t2－at+5（－1≤t≤1）的最小值，y=t-2+ 5-（－1≤t≤1）.
　　目前的困難是這個二次函數(shù)的對稱軸t=的位置不確定， －1≤t≤1這一段究竟在函數(shù)圖象的哪一部分不明確，怎么辦?
　　學(xué)生陸續(xù)回答：分類討論.
　　教師追問：以什么標(biāo)準(zhǔn)分?
　　學(xué)生15：對稱軸與［-1，1］的相對位置關(guān)系.
　　學(xué)生15（板演）
　　解：令t=sinx，－1≤t≤1，y=t2－at+5=t－2+5－.
　　當(dāng)≤－1，即a≤－2時，在t=－1處取最小值，ymin=a+6；
　　當(dāng)－1<<1，即－2　　當(dāng)≥1，即a≥2時，在t=1處取最小值，ymin=－a+6.
　　教師：思路很清晰，最終答案總結(jié)成這樣就完美了！
　　ymin=a+6，a≤－2，5－，－2　　師生在相互作用中進行智慧的碰撞、情感的交融和心靈的溝通，從而實現(xiàn)教學(xué)生態(tài)的均衡發(fā)展. 讓每位學(xué)生在課堂上都有所收獲是我們每位教育工作者的愿望，含參問題和分類討論的思想是高中數(shù)學(xué)的難點，這個例題會讓基礎(chǔ)較好的學(xué)生有所收獲.
　　高中與初中相比，課程多、節(jié)奏快、難度大，特別是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上不少學(xué)生力不從心. 這節(jié)課的特點是將學(xué)生參與體現(xiàn)在問題的設(shè)計和提出上，學(xué)生通過自己設(shè)計問題、解決問題，將一個新的知識自然地融入已有的知識結(jié)構(gòu)中，自己搭建起來的知識框架將更加牢固.