摘 要： 定積分是積分學(xué)的重要組成部分，其概念抽象、難以理解、解題方法靈活多變。本文討論了定積分計算的各種方法與技巧。
　　關(guān)鍵詞： 定積分 換元積分法 分部積分法 計算方法
　　
　　定積分與不定積分是積分學(xué)的兩個組成部分，定積分不僅是積分學(xué)的基礎(chǔ)，而且是概率統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)等課程的重要知識工具.定積分概念抽象、定理較多，學(xué)生不僅在理論學(xué)習(xí)中難以理解掌握，在定積分計算中難度也很大，往往面對一個題目，不知如何下手.因此，本文通過對各種題型、各種解題方法的分析研究，討論了定積分計算的方法與技巧，希望對初學(xué)者有所幫助.
　　一、 利用定積分定義計算定積分
　　定積分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求極限”，實質(zhì)是在連續(xù)區(qū)間上求和，我們通過例子來說明定積分定義的含義.
　　例1.用定積分定義計算：edx.
　　解：將區(qū)間［0，1］n等分，分成n個小區(qū)間［，］，則每個小區(qū)間的長為Δx=，并取ξ=為右端點（i=1，2，…，n），得到：
　　原式=f（ξ）Δx=e?==e-1.
　　注：一般來說，用定義計算定積分是十分麻煩的，實際計算中，并不用上述方法.
　　二、 利用定積分性質(zhì)估算定積分的值
　　例2.估算定積分（1+sinx）dx的值
　　解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值為f（）=2，最小值為f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π.
　　三、利用Newton-Leibniz公式計算定積分
　　設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，且F′（x）=f（x），則f（x）dx=F（b）-F（a），這就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻畫了定積分與不定積分的緊密聯(lián)系，它使得計算定積分時，只要找到被積函數(shù)f（x）的某個原函數(shù)F（x），F(xiàn)（x）在b，a兩點的函數(shù)值的差就是所求的定積分.Newton-Leibniz公式是最基本的定積分計算公式，而找到f（x）的原函數(shù)F（x）是應(yīng)用這個公式的關(guān)鍵，所以，熟練使用Newton-Leibniz公式的關(guān)鍵是對不定積分的計算相當熟練.
　　例3.計算定積分：（1）dx；（2）dx.
　　解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+
　?。?）原式=dx=tanx|=1
　　四、利用定積分對積分區(qū)間的可加性計算定積分
　　如果被積函數(shù)含有絕對值或平方根時，應(yīng)按絕對值內(nèi)或被開方式子的正負號將積分區(qū)間分段求定積分的代數(shù)和.同樣，對分段函數(shù)的定積分，也應(yīng)該按分段情況逐段積分.
　　例4.計算定積分：（1）；（2）f（x）dx，其中f（x）=x+1，x≤1x，x＞1
　　解：（1）原式==（cosx-sinx）dx+（sinx-cosx）dx=［sinx+cosx］+［-cosx-sinx］=2（-1）
　?。?）f（x）dx=（x+1）dx+xdx=［x+x］+［x］=
　　五、利用換元積分法計算定積分
　　不定積分的換元積分法有兩種類型，同樣定積分的換元積分法也有兩種類型：當用第一類換元積分法求定積分時，若未引進新的積分變量，則積分上、下限不變；當用第二類換元積分法求定積分時，由于引入了新的積分變量，因此，積分上、下限要作相應(yīng)改變.
　　例5.計算定積分：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a.
　　解：（1）原式=dθ+（1-cosθ）dcosθ=π+［cosθ-cosθ］=π-
　?。?）原式=d（x-1）=［（x-1）+arcsin（x-1）］=
　?。?）令x=π-t，則原式=（-dt）=dt-dt
　　所以，原式=dt=-［arctan（cost）］=.
　　（4）令=t，即x=ln（t+1），dx=dt，則:
　　原式=?dt=2arctant|=π-2arctan，由-2arctan=得：arctan=，所以a=ln2.
　　六、利用分部積分法計算定積分
　　分部積分法的公式為：uv′dx=［uv］-u′vdx，而如何確定恰當?shù)膗，v與不定積分的思想完全相同，當u，v選擇不恰當時，很難算出定積分，具體求解時，有時須先換元，再分部積分.
　　例6.計算定積分：dx
　　解：令x=sint，dx=costdt，則：原式=costdt=
　　-（cott）′tdt=-tcott|+cottdt=π+ln3.
　　七、對稱區(qū)間上的定積分的計算
　　由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dx，f（x）為偶函數(shù)0，f（x）為奇函數(shù)，可計算對稱區(qū)間上的定積分或者可化為對稱區(qū)間上的定積分.
　　例7.計算定積分：（1）I=sin（lnx）dx；（2）I=dx
　　解：（1）令t=lnx，則I=esintdt=sint（e+e）dt=（e-e）
　?。?）令t=lnx并應(yīng)用得arctanu+arctan=得：
　　I=（arctane+arctane）sintdt=sintdt=.
　　注：從上例看出：對積分上限、下限互為倒數(shù)的區(qū)間［，a］上的定積分f（x）dx，可引入變換t=lnx，化為對稱區(qū)間［-lna，lna］上的定積分f（x）dx=ef（e）dt.
　　定積分的計算方法很多，除上面介紹的方法外，還有周期函數(shù)的定積分計算，建立遞推公式計算定積分，等等，同時定積分的各計算方法不是孤立的，很多題目都可能是幾種計算方法聯(lián)合使用，只有多練習(xí)才能熟能生巧.
　　
　　參考文獻：
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　?。?］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室. 高等數(shù)學(xué)［M］.高等教育出版社，2008.
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　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文