摘 要： 在數(shù)學(xué)分析中，關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)問題的理解與應(yīng)用是理解數(shù)學(xué)中其他知識的基礎(chǔ)，但目前各種教材對這類問題提出和總結(jié)得不夠，廣大數(shù)學(xué)愛好者很難對其有全面清晰的認(rèn)識.為了加深對一致連續(xù)問題的認(rèn)識，本文從一致連續(xù)的概念出發(fā)，總結(jié)了一致連續(xù)的條件、運(yùn)算性質(zhì)。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù) 一致連續(xù) 概念 條件 運(yùn)算性質(zhì)
　　
　　1.一致連續(xù)及其相關(guān)概念
　　定義1 設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)是指，x∈I，ε＞0，δ＞0，當(dāng)x∈I且x-x＜δ時(shí)，有f（x）-f（x）＜ε.
　　定義2 設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)是指，對ε＞0，δ＞0（其中δ與ε對應(yīng)而與x，y無關(guān)），使得對區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x，y，只要x-y＜δ，就有f（x）-f（y）＜ε.
　　定義3 設(shè)f（x）在區(qū)間I有定義，稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上不一致連續(xù)是指，至少一個(gè)ε＞0，對δ＞0，都可以找到x′，x″∈I，滿足|x′-x″|＜δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.
　　評注1：比較函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性與一致連續(xù)性的定義知，連續(xù)性的δ不僅與ε有關(guān)，而且與x有關(guān)，即對于不同的x，一般說來δ是不同的.這表明只要函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)處都連續(xù)，函數(shù)就在這一區(qū)間上連續(xù).而一致連續(xù)的δ僅與ε有關(guān)，與x無關(guān)，即對于不同的x，δ是相同的，這表明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性，不僅要求函數(shù)在這一區(qū)間上的每一點(diǎn)處都連續(xù)，而且要求函數(shù)在這一區(qū)間上的連續(xù)是處處一致的.
　　在區(qū)間I上一致連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間I上一定是連續(xù)的，反之，在I上連續(xù)的函數(shù)在該I上不一定是一致連續(xù)的.
　　評注2：一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)，就是當(dāng)這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)彼此充分靠近的點(diǎn)上的值之差（就絕對值來說）可以任意小.
　　用定義證明f（x）在I上一致連續(xù)，通常的方法是設(shè)法證明f（x）在I上滿足Lipschitz條件|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|，x′，x″∈I，其中L為某一常數(shù)，此條件必成立.特別地，若（x）在I上是有界函數(shù)，則f（x）在I上Lipschitz條件成立.
　　2.一致連續(xù)的條件及有關(guān)結(jié)論
　　2.1一致連續(xù)的條件
　　定理1（G?康托定理）若函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則它在這個(gè)區(qū)間上也是一致連續(xù)的.
　　證明要證的是對于任意給定了的ε＞0，可以分區(qū)間［a，b］成有限多個(gè)小段，使得f（x）在每一小段上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于ε，以下用反證法證之，若上述事實(shí)不成立，則至少對于某一個(gè)x＞0而言，區(qū)間［a，b］不能按上述要求分成有限多個(gè)小段.將［a，b］二等分為［a，c］、［c，b］，則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小段，把它記為［a，b］.再將［a，b］二等分為［a，b］、［c，b］，依同樣的方法取定其一，記為［a，b］.如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉區(qū)間套［a，b］，n=1，2，…，由區(qū)間套定理知，唯一的點(diǎn)c屬于所有這些閉區(qū)間.因?yàn)閏∈［a，b］，所以f（x）在點(diǎn)x=c連續(xù)，于是可找到δ＞0，使|x-c|＜δ（x∈［a，b］）時(shí)，|f（x）-f（c）|＜ε/2.
　　注意到c==我們可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，從而對于［a，b］上任意點(diǎn)x，都有|x-c|＜δ，因此，對于［a，b］上的任意兩點(diǎn)x，x都有|f（x）-f（x）|≤|f（x）-f（c）+f（c）-f（x）|＜+=ε.
　　這表明［a，b］能按要求那樣分為有限多個(gè)小段（其實(shí)在整個(gè)［a，b］上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差已小于ε了），這是和區(qū)間［a，b］的定義矛盾的，這個(gè)矛盾表明我們在開始時(shí)所作的反證假設(shè)是不正確的，從而定理的結(jié)論正確.
　　評注3：定理1對開區(qū)間不成立.例如函數(shù)f（x）=在（0，1）的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，但在該區(qū)間并不一致連續(xù).事實(shí)上，對于任意小的δ＞0，令x=δ，x=2δ，則|x-x|=δ，而|f（x）-f（x）|=-=，這時(shí)|x-x|可以任意小，但|f（x）-f（x）|可以任意大.函數(shù)f（x）=tanx在（-，）也有類似的情形.以上兩例討論的都是無界函數(shù)，而sin在（0，1）內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，且顯然在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有界，然而它也沒有一致連續(xù)性，因?yàn)橛腥我庑。ㄒ蚨簿捅舜巳我饨咏┑臄?shù)x與x存在，使sin=1，sin=-1.
　　定理2 f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件是在區(qū)間I上滿足（x-y）=0的任意兩數(shù)列{x}、{y}，必有［f（x）-f（y）］=0.
　　證明：必要性.若f（x）在I上一致連續(xù)，由一致連續(xù)性的定義，?坌ε＞0，?堝δ＞0，當(dāng)|x-y|＜δ時(shí)，|f（x）-f（y）|＜ε，即任兩數(shù)列{x}、{y}，當(dāng)n→∞時(shí)，|x-y|→0，則必有|f（x）-f（y）|→0.
　　充分性.用反證法，若兩數(shù)列{x}、{y}，當(dāng)n→∞時(shí)，|x-y|→0，|f（x）-f（y）|→0而f（x）在I上不一致連續(xù)，那么一定?堝ε＞0，對?坌δ＞0，存在x，y，當(dāng)|x-y|＜δ時(shí)，|f（x）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我們得到兩數(shù)列{x}、{y}，當(dāng)n→∞時(shí)，x-y→0，但|f（x）-f（y）|≥ε，這與假設(shè)［f（x）-f（y）］=0矛盾.
　　評注4：定理2所述的必要性常被用來判定一個(gè)函數(shù)是不是一致連續(xù)的.
　　例如，函數(shù)f（x）=sin，在區(qū)間（0，1）上是連續(xù)的且有界，但在此區(qū)間上并非一致連續(xù).事實(shí)上，當(dāng)x≠0時(shí)，由基本初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上連續(xù)知，f（x）是連續(xù)的，同時(shí)，由于|f（x）|≤1，因而它也是有界的.現(xiàn)考慮（0，1）上的兩串?dāng)?shù)列x=，x′=，則當(dāng)0＜ε＜1時(shí)，不論δ＞0取得多么小，只要n充分大，總可以使|x-x′|=＜δ，但是|f（x）-f（x′）|=1＞ε，因而f（x）在（0，1）上并非一致連續(xù).
　　定理3 設(shè)f（x）在有限區(qū)間I上有定義，那么f（x）在I上一致連續(xù)的充要條件是對任意柯西（Cauchy）列{x}I，{f（x）}R′也是Cauchy列.
　　證明：必要性.因f（x）一致連續(xù)，即對ε＞0，δ＞0，對x′，x″∈I，只要|x′-x″|＜δ，就有|f（x′）-f（x″）|＜ε.設(shè){x}I為Cauchy列，于是對上面的δ＞0，必N＞0，使當(dāng)n，m＞N時(shí)，有|f（x）-f（x）|＜ε，即{f（x）}是Cauchy列.
　　充分性.若不然，必ε＞0，x′，x″∈I，雖然x′-x″＜，但是|f（x′）-f（x″）|≥ε，由{x′}有界知，存在收劍子列{x′}，從而{x″}也收劍于同一點(diǎn)，顯然x″，x″，x″，…，是Cauchy列，但是f（x″），f（x″），f（x″），…，不是Cauchy列，此為矛盾，故f（x）在I上一致連續(xù).
　　定理4 設(shè)f（x）在有限區(qū)間（a，b）上連續(xù)，則f（x）在（a，b）上一致連續(xù)的充要條件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.
　　證明：充分性.令F（x）=f（a+0）（x=a），f（x）（x∈（a，b）），f（b-0）（x=b），則F（x）∈C［a，b］，因此F（x）在［a，b］上一致連續(xù)，從而f（x）在（a，b）上一致連續(xù).
　　必要性.已知f（x）在（a，b）上一致連續(xù)，所以對于ε＞0，δ＞0，當(dāng)x′，x″∈（a，b）且|x′-x″|＜δ時(shí)，|f（x′）-f（x″）|＜ε成立.對端點(diǎn)a，當(dāng)x′，x″滿足0＜x′-a＜，0＜x″-a＜時(shí)，就有|x′-x″|≤|x′-a|+|x″-a|＜δ，于是|f（x′）-f（x″）|＜ε.由Cauchy收斂準(zhǔn)則，f（a+0）存在且有限，同理可證f（b-0）存在且有限.
　　
　　評注5：（1）當(dāng)（a，b）為無窮區(qū)間，本例中條件是f（x）在（a，b）上一致連續(xù)條件充分但不必要.例如f（x）=x，Φ（x）=sinx，x∈（-∞，+∞）及g（x）=，x∈（0，+∞）均為所給區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.
　?。?）定理提供了一個(gè)判斷函數(shù)一致連續(xù)性簡單而有效的方法.
　　例如，研究下列函數(shù)在所示區(qū)間上的一致連續(xù)性.
　?。╥）f（x）=（0＜x＜π）;（ii）f（x）=ecos（0＜x＜1）.
　　解：（i）因?yàn)?1，=0，所以f（x）在（0，π）內(nèi)一致連續(xù).（ii）因?yàn)閏osx不存在，所以f（x）在（0，1）內(nèi)不一致連續(xù).
　　（3）由定理知，若f（x）∈C（a，b），則f（x）可連續(xù)延拓到［a，b］上的充要條件是f（x）在（a，b）上一致連續(xù).
　　定理5 f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件是，對ε＞0及x，y∈I，總正數(shù)N，使|f（x）-f（y）|＞N|x-y|+rhxZcs+QtIoVDQi/f0ZBw==（1）.恒有|f（x）-f（y）|＜ε（2）.
　　證明：因?yàn)閒（x）在I上一致連續(xù)的定義等價(jià)于：對?坌ε＞0，?堝δ＞0，使得對于?坌x，y∈I，如果|f（x）-f（y）|≥ε（3），就有|x-y|≥δ.而題設(shè)條件為對ε＞0，N＞0，對x，y∈I，當(dāng)不等式（3）成立時(shí)，|f（x）-f（y）|≤N|x-y|（4）
　　充分性.若題設(shè)中條件成立，則由（4）式得|x-y|≥|f（x）-f（y）|，再由（3）式得|x-y|≥，所以對給定的ε＞0，只要取δ=，當(dāng)x，y∈I，且滿足（3）時(shí)，就有|x-y|≥δ成立.
　　必要性.若f（x）在I上一致連續(xù)，則對任給的ε＞0，存在δ＞0，使當(dāng)x，y∈I，且滿足不等式（3）時(shí)，就有不等式|x-y|≥δ成立，故整數(shù)k，使得kδ≤|x-y|≤（k+1）δ.（5）不妨設(shè)x＜y，將［x，y］分成k+1等分，記x-1（i=1，…，k+1）為其分點(diǎn)，由（5）式知|x-x|=||＜δ，故|f（x）-f（x）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（x）-f（x）|/kδ＜＜令N=［］+1，則當(dāng)I中的點(diǎn)x，y使（3）式成立時(shí)，必有（4）式成立，從而（1）式成立時(shí)，有（2）式成立.
　　評注6：本定理的證明是靈活運(yùn)用一致連續(xù)定義的典范，它在理論研究上具有一定的意義.
　　2.2一致連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
　　一致連續(xù)函數(shù)有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，歸結(jié)如下幾個(gè)命題.
　　命題1：設(shè)Φ（x）與ψ（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則αΦ（x）+βψ（x）在I上一致連續(xù)（α，β為任意常數(shù)）.
　　命題2：設(shè)Φ（x），ψ（x）在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，那么ψ（x）ψ（x）在I上也一致連續(xù).
　　命題3：設(shè)Φ（x），ψ（x）在無限區(qū)間I上一致連續(xù)且有界，那么Φ（x）ψ（x）在I上也一致連續(xù).
　　其中“有界”的條件不可少，例如f（x）=x在（-∞，+∞）上一致連續(xù)，但無界，而f（x）?f（x）=x在（-∞，+∞）上不一致連續(xù).
　　命題4設(shè)Φ（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)且infF（x）＞0，那么在I上也一致連續(xù).
　　最后應(yīng)指出，一致連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)，一般說來，不再一致連續(xù)，例如f（x）=在（0，+∞）上一致連續(xù)而它的反函數(shù)f（x）=x在（0，+∞）內(nèi)不一致連續(xù)，但可以證明在有限區(qū)間上，結(jié)論為真.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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