1956年全國(guó)首次數(shù)學(xué)競(jìng)賽在四個(gè)城市舉行，當(dāng)時(shí)引起了廣泛的關(guān)注.本文對(duì)北京市該次數(shù)學(xué)競(jìng)賽第二試試題中的第七題給出了幾種解法，并對(duì)其進(jìn)行了推廣、研究.
　　原題如下：求方程x-2xsin+1=0的所有根.
　　解法一：由于“1”的特殊性，將原題中的“1”拆分，并配方.
　　x-sin+cos=0
　　因?yàn)閤-sin≥0，且cos≥0
　　所以x-sin=0………（1）cos=0………（2）
　　由（1）知|x|=|xin|≤1
　　由（2）知=+kπ?圯x=1+2k，k∈z
　　由（1）、（2）得x=±1
　　解法二：x-2xsin+1=0
　　解：方程的解x≠0，否則若x=0，則1=0，矛盾.
　　原方程可變形為sin=
　　由正弦函數(shù)的有界性和均值不等式可得
　　1≥sin=≥1
　　所以sin=±1
　　把sin=±1代入原方程解得x=±1
　　解法三：“配方法”
　　x-2xsin+sin+1-sin=0
　　即（x-sin）+1-sin=0
　　x-sin=0………（1）1-sin=0………（2）
　　由（1）得x=sin，由（2）得sin=±1，所以由（1）、（2）得x=±1即為原方程的解.
　　以上三種解法反映了題目的結(jié)構(gòu)特征，現(xiàn)做如下深入探究及推廣.
　　推廣1：改變方程的系數(shù)：ax±2abxsin（x）+b=0（a≠0，b≠0），是否仍然成立？
　　證明：將原方程變形為（ax-bsin）+bcos=0
　　得ax-bsin=0………（1）cos=0………（2）
　　由（2）推得sin=±1，代入（1）式得x=±
　　同理可考慮ax+2abxsin（x）+b=0
　　推廣2：方程x-2xsin+1=0的解情況為：
　?。?）當(dāng)k≠±2時(shí)，方程無(wú)解；
　?。?）當(dāng)k=±2時(shí)，方程有解，且為x=±1.
　　證明：方程變形為x-sin+cos=0
　　可得：
　　x-sin=0cos=0?圯x=sin=+nπ（k∈z）?圯x=±1x=+nk（k∈z）
　　如果k≠±2，方程x=±1x=+nk（k∈z）無(wú)解.
　　∵當(dāng)k≠±2時(shí)，|x|≥2
　　∴x≠±1
　　所以可得出結(jié)論，原題中“sin”中πx的系數(shù)僅限于±，即k=±2.
　　推廣3：由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)有相同之有界性，故產(chǎn)生問(wèn)題：將方程中正弦函數(shù)換成余弦函數(shù)，結(jié)論成立嗎？
　　方程x-2xcos+1=0是無(wú)解的，
　　證明：首先x=0不是方程的解，原因同上.
　　將方程變形為cos=
　　1≥cos=≥1
　　代入原方程，解得x=±1，和cos=±1矛盾.所以原方程無(wú)解，不能做如此推廣.
　　相同之方法亦可證方程ax+2abxcos（x）+b=0（