摘 要： 斐波納契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用，這個(gè)數(shù)列既是數(shù)學(xué)美的完美體現(xiàn)，又與許多數(shù)學(xué)概念有著密切的聯(lián)系，很多看上去似乎彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念，通過斐波那契數(shù)列，人們發(fā)現(xiàn)了其中的數(shù)學(xué)聯(lián)系，從而進(jìn)一步激發(fā)了人們探索數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知更加系統(tǒng)化。
　　關(guān)鍵詞： 斐波那契數(shù)列 數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系 三角形
　　
　　1.引言
　　許多數(shù)學(xué)分支從表面上來看似乎是相互獨(dú)立，沒有聯(lián)系的，但只要仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)其中一些明顯的聯(lián)系，而發(fā)現(xiàn)和正確把握這些聯(lián)系，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有助于學(xué)生產(chǎn)生一些數(shù)學(xué)聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)奧秘的欲望，構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)。
　　斐波那契數(shù)列、楊輝三角、黃金分割、二項(xiàng)式定理、三角形三邊關(guān)系定理……這些看似相對(duì)獨(dú)立的概念，通過斐波那契數(shù)列，能夠建立完美的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
　　2.由斐波那契數(shù)列構(gòu)建數(shù)學(xué)聯(lián)系
　　斐波那契數(shù)列是由數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1240）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年能繁殖多少兔子？我們不妨拿一對(duì)新出生的小兔子為例分析一下：成熟的一對(duì)兔子用記號(hào)表示，未成熟的用○表示。每一對(duì)成熟的兔子經(jīng)過一個(gè)月變成本身的及新生的未成熟○。未成熟的一對(duì)○經(jīng)過一個(gè)月變成成熟的，不過沒有出生新兔，這樣便可畫出圖1，可以看出六個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)是1，2，3，5，8，13。很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)：即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。所以按這個(gè)規(guī)律寫下去，便可得出一年內(nèi)兔子繁殖的對(duì)數(shù)：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233?？梢娨荒陜?nèi)兔子共有233對(duì)。
　　上述例子中得到的每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)1，1，2，3，5，8……構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列有十分明顯的特點(diǎn)：從第三項(xiàng)開始，前面相鄰兩項(xiàng)之和構(gòu)成了后一項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列就是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤全書》（Liber Abaci）中提出的，該數(shù)列的通項(xiàng)為：
　　a=1，a=1，a=a+a（n≥3）
　　2.1斐波那契數(shù)列、楊輝三角和二項(xiàng)展開式的聯(lián)系
　　2.1.1斐波那契數(shù)列和楊輝三角的聯(lián)系
　　楊輝三角也叫賈憲三角，在國(guó)外被稱為帕斯卡三角。它有以下特點(diǎn)：
　?。?）每行數(shù)字左右對(duì)稱。
　　（2）每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和。（圖2）
　　從楊輝三角的第一行的1向左下方作的斜線，之后作直線的平行線，將每條直線所過的數(shù)加起來（如圖3），得：
　　把得到的這些數(shù)字組成一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8……就是斐波那契數(shù)列。
　　2.1.2楊輝三角和二項(xiàng)展開式系數(shù)的聯(lián)系
　　楊輝三角中的每個(gè)數(shù)其實(shí)都是組合數(shù)，第n行r+1個(gè)數(shù)是C=，對(duì)于更大的組合，就楊輝三角而言，只不過是乏味的延伸，但它卻能應(yīng)用于二項(xiàng)展開式，其中包含了二項(xiàng)展開式（a+b）的系數(shù)。比如，要找出（a+b）的各項(xiàng)的系數(shù)，只要看對(duì)應(yīng)的楊輝三角的第5行，從該行中，我們可以找到1，4，6，4，1，這正是我們要找的系數(shù)，即：（a+b）=1a+4ab+6ab+4ab+b。所以，楊輝三角的各行也可以寫成：
　　2.2斐波那契數(shù)列與黃金分割的聯(lián)系
　　對(duì)于斐波那契數(shù)列來講，它的特征是:a=1，a=1，a=a+a（n≥3），后人通過迭代法求出其通項(xiàng)為：a=-，正整數(shù)數(shù)列居然可以用無理數(shù)來表示，這是一個(gè)驚人的結(jié)果，我們用該數(shù)列的后項(xiàng)除以前項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，即：b=，b=，b=，b=，b=，…，b=，…，即：1，2，1.5，1.6，1.625，…，該數(shù)列的每一項(xiàng)或稍大或稍小于黃金平均值，事實(shí)上，該數(shù)列的極限為（-1）≈1.618，這便與幾何學(xué)的珍寶“黃金分割”聯(lián)系起來，這也是黃金矩形的比，這種聯(lián)系暗示了在哪里出現(xiàn)黃金比或黃金矩形，哪里就會(huì)出現(xiàn)斐波那契數(shù)列，反之亦然。
　　2.3斐波那契數(shù)列與三角形三邊關(guān)系定理的聯(lián)系
　　我們通過一個(gè)例子來簡(jiǎn)述斐波那契數(shù)列與三角形三邊關(guān)系定理的聯(lián)系。
　　例：現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），且每段的長(zhǎng)度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
　　分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，要構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是兩邊之和大于第三邊，所以不能拼成三角形的充要條件是任意兩邊之和應(yīng)大于或者小于第三邊。由于題目要求每段的長(zhǎng)度不能小于1cm，因此根據(jù)題目要求可以先截取2個(gè)1cm的鐵絲，為了不拼成三角形，所以第三段截取2cm（為了使最大，所以要使剩下的鐵絲盡可能長(zhǎng)，后面截取的每一段總是前面相鄰兩段之和）。以此類推，依次截取的長(zhǎng)度為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，這些數(shù)字為斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)，和為143，與144相差1，因此最后一段可以截取56cm，這時(shí)達(dá)到最大為10。
　　我們看到題目中的一個(gè)條件“每段的長(zhǎng)度不小于1cm”起到了關(guān)鍵的作用，正是這個(gè)條件產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，也正是這個(gè)條件使得三角形三邊關(guān)系定理與斐波那契數(shù)列產(chǎn)生了聯(lián)系。
　　3.關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系的幾點(diǎn)思考
　　3.1知識(shí)之間總是上下溝通的，互相聯(lián)系的，要使知識(shí)系統(tǒng)化、完整化，就必須在學(xué)生的頭腦中建立一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生學(xué)習(xí)掌握新知識(shí)，都是建立在已經(jīng)掌握的舊知識(shí)的基礎(chǔ)上。因此把握好數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生正遷移，把已掌握的某些知識(shí)準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用到學(xué)習(xí)新知識(shí)或者解決新問題的過程中去，以收到觸類旁通、舉一反三的效果。
　　3.2數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化。每個(gè)民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。按照福來登塔爾的現(xiàn)實(shí)教育思想，數(shù)學(xué)來源于生活，存在于現(xiàn)實(shí)，并且實(shí)現(xiàn)于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)該從情境出發(fā)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和解決數(shù)學(xué)方法，正是這種思想是的歐拉在散步的過程中發(fā)現(xiàn)了七橋問題，斐波那契在兔子的繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列，而中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用的管理數(shù)學(xué)，卻在算法上得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，祖沖之的圓周率計(jì)算、楊輝三角那樣的精致計(jì)算課題，只可能在中國(guó)誕生。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得學(xué)生能夠從聯(lián)系中了解不同的文化背景，真正地了解數(shù)學(xué)文化。
　　3.3數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系可以引導(dǎo)學(xué)生積極地反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是知識(shí)的同化和遷移的過程，反思是同化和遷移的核心步驟，學(xué)生通過反思可以挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移，有利于幫助學(xué)生建立合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系。目前數(shù)學(xué)教學(xué)中最薄弱的環(huán)節(jié)正是數(shù)學(xué)的反思性學(xué)習(xí)這一環(huán)節(jié)，正所謂學(xué)之道在于“悟”，只有學(xué)生自己的領(lǐng)悟才能獲得理解，而領(lǐng)悟的關(guān)鍵就在于反思。
　　3.4把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力和創(chuàng)新思維。數(shù)學(xué)的各個(gè)概念、命題之間存在著各種各樣的聯(lián)系，這些內(nèi)在聯(lián)系是數(shù)學(xué)想象的客觀基礎(chǔ)。而創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，需要學(xué)生對(duì)于給定的數(shù)學(xué)問題，能夠在以前不相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)思維之間建立起一種聯(lián)系，能夠?qū)W(xué)習(xí)的新知識(shí)進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行獨(dú)特的應(yīng)用，能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)表不同的看法，從而找出問題的獨(dú)特新穎的解法。
　　總之，數(shù)學(xué)知識(shí)體系不是一個(gè)個(gè)概念，一塊塊知識(shí)的簡(jiǎn)單堆砌，而是有內(nèi)在聯(lián)系的一個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。只有把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，才有利于學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化為自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維并促進(jìn)學(xué)生科學(xué)世界觀的形成。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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