近幾年，筆者聽了有關(guān)《空間與圖形》的一些課，測試題的反饋情況，暴露了部分教師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)存在著一些共性問題。現(xiàn)從中摘取幾個(gè)案例來分析。
　　
　　一、重視死記公式，忽視意義引領(lǐng)
　　
　?。郯咐?］求下列圖形的周長。(單位：厘米)
　　求長方形、正方形、圓的周長時(shí)，學(xué)生根據(jù)周長公式，很快就解答出來了。
　　師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們求平行四邊形的周長，誰來說說？
　　生1：(5+3)×2=16(厘米)。
　　師：說說你的理由。
　　生1：根據(jù)長方形的周長公式來求。
　　師：有不同意見嗎？(大多數(shù)學(xué)生搖搖頭，表示沒有意見)
　　生2：老師，我們沒有學(xué)過求平行四邊形的周長公式，解不出來。
　　生3：老師，我覺得應(yīng)該這樣列式，不知道對(duì)不對(duì)？(5+4)×2=18(厘米)。
　　………
　?。鄯此迹?br/>　　案例中學(xué)生求長方形、正方形、圓的周長時(shí)是那樣得輕車熟路，而在求平行四邊形的周長時(shí)卻是表現(xiàn)不一：有的猶豫不決，不敢下筆；有的套用長方形周長的計(jì)算公式；有的說沒有學(xué)過求平行四邊形的周長公式，解答不出來；有的對(duì)自己正確的解法不敢肯定……這折射出了在平時(shí)的教學(xué)中相當(dāng)一部分老師只強(qiáng)調(diào)學(xué)生記住公式，忽視了周長的意義建構(gòu)。有的學(xué)生甚至不知道周長指的是什么，腦海中根本沒有“周長”的空間意義和相應(yīng)的表象。解題時(shí)只是條件反射地機(jī)械地套用現(xiàn)成公式，離開了公式就無從下手，猶如盲人沒有了拐杖，寸步難行。這樣的教學(xué)，打造出來的學(xué)生只會(huì)模仿，不會(huì)變通，更談不上創(chuàng)新?；诖?，教學(xué)中一定要讓學(xué)生參與公式的建構(gòu)過程，讓學(xué)生在理解意義的基礎(chǔ)上建構(gòu)公式，唯有這樣，公式才是活的，才是有用的，才會(huì)觸類旁通，舉一反三。其實(shí)，學(xué)生一旦領(lǐng)悟了周長的意義，計(jì)算這些平面圖形的周長(圓除外)，根本就不需要公式，只要根據(jù)周長的意義就可以計(jì)算了。因此，有了意義的引領(lǐng)，即使沒有公式，心中自有公式；沒有意義的引領(lǐng)，死記公式，公式也將成為無源之水，無本之木。
　　
　　二、重視常規(guī)解法，忽視創(chuàng)新解法
　　
　　［案例2］學(xué)習(xí)圓柱的表面積時(shí)，絕大部分教師僅僅滿足于課本中的常規(guī)解法。一旦引導(dǎo)學(xué)生得出圓柱的表面積等于側(cè)面積加上兩底面積的和，教學(xué)馬上就此打住，覺得大功告成，而對(duì)求圓柱表面積的創(chuàng)新方法S表=C×（h+r）只字不提。
　　［反思］
　　這本應(yīng)該成為這堂課中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的“生花之筆”，掀起這堂課的高潮，點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新之火，可惜絕大多數(shù)教師都沒有好好利用，錯(cuò)失良機(jī)。為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？筆者認(rèn)為有兩種情況：其一，有的教師沒有吃透教材，根本就不知道圓柱的表面積還可以這樣求；其二，有的教師唯課本方法至上，教學(xué)僅停留在復(fù)制例題上。這種只局限于書本的知識(shí)與思路，局限于舊的想法與方法，不去創(chuàng)造性地處理教材，不能創(chuàng)造性地教學(xué)，不能從多方面、多角度開拓學(xué)生思維的教學(xué)，塑造出的學(xué)生只會(huì)墨守成規(guī)，循規(guī)蹈矩，不敢越雷池半步。如上例引導(dǎo)學(xué)生得出課本的解法后，只要稍作啟發(fā)，我們已經(jīng)學(xué)過圓可以轉(zhuǎn)化為長方形，求圓柱的表面積除了這種方法外，同學(xué)們想一想還可以怎樣計(jì)算？學(xué)生有了圓面積的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，就不難得出圓柱表面積的另一種求法：將圓柱的上、下兩個(gè)底面分別轉(zhuǎn)化成兩個(gè)長方形A和B（見下圖），再與圓柱側(cè)面展開的長方形拼成一個(gè)新的長方形。這樣求圓柱的表面積就轉(zhuǎn)化成求一個(gè)長方形的面積，長方形的長等于圓柱的底面周長，長方形的寬等于圓柱的高加上圓柱的底面半徑，即圓柱的表面積等于底面周長乘以高與半徑的和，用字母表示S表=C×（h+r）。讓學(xué)生用這種方法計(jì)算例題，再與上述方法對(duì)比，體驗(yàn)本方法的優(yōu)越性。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探究無蓋圓柱表面積的方法已是呼之即出，即S表（無蓋）=C×（h+r÷2）。添加這一筆，充分挖掘了例題的開放價(jià)值，學(xué)生求圓柱的表面積不再囿于一種固定的方法，體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化，符合新課標(biāo)理念。
　　例題解法一：2×3.14×5×15+3.14×52×2=628（cm2）。
　　創(chuàng)新解法二：2×3.14×5×（5+15）=628（cm2）。
　　
　　三、重視透路解題 忽視思路變通
　　
　?。郯咐?］下圖中正方形的面積是20cm2。
　　求圓的面積。
　　生1：老師，哪兩個(gè)一樣的數(shù)相乘等于20？
　　生2：老師，數(shù)據(jù)出錯(cuò)了，將20cm2改為25cm2，我們就會(huì)求了。
　　生3：對(duì)了，我認(rèn)為也是這樣，還可以將20改為36、49、81、64、100都可以。
　　生4：老師，我們沒有辦法求出圓的半徑。
　　………
　?。鄯此迹?br/>　　可悲呀！已知r2=20cm2，卻不知如何求圓的面積。為什么求圓的面積只有知道半徑才能求，而知道半徑的平方學(xué)生反而不會(huì)求了呢？這無不歸功于教師的“精妙之點(diǎn)”：同學(xué)們要求圓的面積，必須知道圓的半徑，請(qǐng)記住。殊不知就是這所謂的教師“精妙之點(diǎn)”，已經(jīng)將學(xué)生逼進(jìn)了思維的“死胡同”，跳不出教師教給他們的求圓的面積必須先求半徑的思路，就像孫猴子永遠(yuǎn)都跳不出如來佛的手掌心。這種教學(xué)勢必造成學(xué)生只會(huì)生搬硬套，依葫蘆畫瓢。因此，教學(xué)中盡量避免“要求什么，必須知道什么”這樣的套路解題，這無疑給學(xué)生造成一種思維定勢，既指明了學(xué)生思維的方向，同時(shí)也限制了學(xué)生思維的方向。一旦思維方向受阻，將不知另辟蹊徑，無法走出“山重水復(fù)疑無路”的困境。案例中，學(xué)生就是被求圓的面積必須先求出半徑這樣的一種解題套路牽著鼻子走，思維一直鎖定在怎樣求圓的半徑上，而對(duì)于小學(xué)生來說這是一條死路，是行不通的。如果學(xué)生不受制于這種套路解題，在第一次思維受阻后，將會(huì)變更思考方向，走出在一棵樹上吊死的困境，迎來“柳暗花明又一村”的新氣象。原來，正方形的面積20cm2就是圓的半徑的平方，求圓的面積直接將3.14×20=62.8（cm2）就好了，根本沒必要求圓的半徑。其實(shí)，利用圓的面積占圓外接正方形面積的157／200，也可以求出圓的面積，20×4×157／200=62.8（cm2）。這說明了求圓的面積并不一定非要知道半徑不可。有的教師總喜歡給學(xué)生套上框框，堵死了學(xué)生的思維，聰明的學(xué)生也教傻了；而沒有給學(xué)生套框框，思維是活的、變通的，學(xué)生越教越聰明。
　?。郯咐?］
　　1.一個(gè)圓柱的側(cè)面積是100cm2，底面半徑是2cm。求這個(gè)圓柱的體積。
　　從學(xué)生的解答情況來看，都是局限于先求出高，再求體積這樣一種思路。絕大多數(shù)學(xué)生這樣列式，圓柱的高為100÷（2×3.14×2）≈8（cm），體積是3.14×22×8=100.48（cm3）；有的學(xué)生因?yàn)榍蟾哂龅匠槐M，就沒有辦法往下求了；有少部分學(xué)生運(yùn)用約分法，避免了除不盡的現(xiàn)象，列式：3.14×22×100／2×3.14×2=100（cm3）。
　　2.把一個(gè)底面周長為12.56cm的圓柱體轉(zhuǎn)化成一個(gè)與它等底等高的長方體，表面積多了40cm2。求這個(gè)圓柱體的體積。
　　縱觀學(xué)生的試卷，能完整地解答出此題的學(xué)生不多，都是受制于底面積乘高這一思路。
　?。鄯此迹?br/>　　案例中的第1題其實(shí)有更簡便的解答方法：直接用圓柱側(cè)面積的一半乘半徑即可。為什么此思路無人問津，學(xué)生偏偏要舍近求遠(yuǎn)呢？案例中的第2題，為什么多數(shù)學(xué)生陷入僵局，一些成績優(yōu)秀的學(xué)生也受制于底面積乘高這一思路呢？原因就在于教者在教學(xué)圓柱的體積公式時(shí)，只重視公式的推導(dǎo)結(jié)果，忽視了公式的推導(dǎo)過程，造成學(xué)生只知道求圓柱的體積一定要底面積乘高的思路。這種重結(jié)論而輕過程的教法直接導(dǎo)致了學(xué)生思維的僵化，非常不利于學(xué)生的發(fā)展。其實(shí)，在推導(dǎo)過程中只要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、操作，學(xué)生是很容易發(fā)現(xiàn)圓柱體轉(zhuǎn)化成與它等底等高的長方體時(shí)，表面積變了，多了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積等于半徑乘高。體積不變，由于長方體可以從三個(gè)不同的角度擺放，因此推導(dǎo)圓柱的體積公式時(shí)也就可以從不同的角度來觀察：⑴當(dāng)長方體與圓柱體等底等高時(shí)，圓柱的體積等于底面積乘高，用字母表示V=sh；⑵當(dāng)長方體的前面或后面作底面，寬作高時(shí)（前面相當(dāng)于側(cè)面積的一半，寬相當(dāng)于圓柱的半徑），圓柱的體積等于側(cè)面積的一半乘半徑，用字母表示為V=S側(cè)÷2×r；⑶當(dāng)長方體的左面或右面作底面，長作高時(shí)（左面是多出來的一個(gè)面，面積等于半徑乘高，長相當(dāng)于圓柱的底面周長的一半），圓柱的體積等于半徑乘高再乘底面周長的一半，用字母表示為V=rh×c÷2。學(xué)生一旦經(jīng)歷了這樣的推導(dǎo)過程，不但創(chuàng)造性地掌握了圓柱的體積公式，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念、分析能力、邏輯思維能力、概括能力及實(shí)踐能力。遇到上述問題，將迎刃而解。案例中第1題圓柱的體積等于100÷2×2=100（cm3），第2題圓柱的體積等于40÷2×（12.56÷2）=125.6（cm3）。同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)了從不同角度思考問題，給解決問題帶來了方便，滲透了在變中尋找不變，不變中尋找變的數(shù)學(xué)思想方法。
　　
　　四、重視行為、符號(hào)把握，忽視圖像把握
　　
　?。郯咐?］教學(xué)長方形面積公式的推導(dǎo)時(shí)，一位老師是這樣進(jìn)行的：
　　⑴擺一擺，數(shù)一數(shù)。指導(dǎo)學(xué)生在長5cm、寬3cm的長方形紙板上，用面積1cm2的正方形擺，數(shù)一數(shù)一共擺了幾個(gè)1平方米；（2）說一說：長方形所含的平方厘米數(shù)與長和寬所含厘米數(shù)有什么關(guān)系？隨即歸納出長方形的面積公式。
　?。鄯此迹?br/>　　布魯納認(rèn)為：“從形成知識(shí)的順序和方式來看，至少有三層階梯：第一層是行為把握，這是依靠動(dòng)用手足去把握對(duì)象；第二層是圖像把握，這是以印象的方式去把握對(duì)象；第三層是符號(hào)把握，這是以語言形式或數(shù)量形式去把握對(duì)象的高級(jí)階段?！蓖瑫r(shí)又指出：“在教授初學(xué)的學(xué)習(xí)者時(shí)，教授工作應(yīng)這樣處置：使三種‘把握’：行為式→圖像式→符號(hào)式，處于最優(yōu)的協(xié)調(diào)狀態(tài)。這是因?yàn)?，兒童的發(fā)展原則上是經(jīng)過這三個(gè)階段完成的。所以，教授初學(xué)的兒童，根據(jù)這個(gè)順序乃是最優(yōu)方案。”很顯然，兒童的認(rèn)知發(fā)展必須經(jīng)過具體形象思維過渡到抽象概括的過程。上述案例，雖然也通過直觀操作讓學(xué)生建立表象，但忽視了表象的再現(xiàn)和用表象來思考、想象這一環(huán)節(jié)，即沒有做好充分的“過渡”工作，造成學(xué)生思維的“斷層”，沒有達(dá)到布魯納所說的三種“把握”的“最優(yōu)的協(xié)調(diào)狀態(tài)”。因而所建立的表象還是不夠牢固、不夠清晰的，這就必然影響后續(xù)階段的抽象概括。因此，長方形面積公式的推導(dǎo)，應(yīng)按以下三個(gè)階段進(jìn)行：
　　1.動(dòng)手操作即行為把握。指導(dǎo)學(xué)生在長5厘米、寬3厘米的長方形紙板上，用面積是1平方厘米的正方形來擺，看看沿長擺能擺幾個(gè)？沿寬擺能擺幾個(gè)？一共能擺幾個(gè)？這個(gè)長方形的面積是多少？
　　2.用表象思考、想象即圖像把握。指導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)前階段形成的表象，在腦中想象：用面積是1平方厘米的正方形擺以下長方形，看看各能擺幾個(gè)？它們的面積各是多少？
　　3.歸納概括即符號(hào)把握。在分組討論“長方形所含的平方厘米數(shù)與長和寬所含厘米數(shù)有什么關(guān)系”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，歸納出長方形的面積公式。