前些日子，一位小學數(shù)學教師小陳特意找我討論一個數(shù)學問題：在整數(shù)除法中，余數(shù)是否一定要小于除數(shù)？眾所周知，余數(shù)小于除數(shù)是一條性質(zhì)，我不覺得有什么必要再討論。小陳見我不解，就解釋說：“在純數(shù)學中，這個命題無疑正確，我是懷疑它在現(xiàn)實生活中的正確性?！蔽艺f：“數(shù)學源于生活，數(shù)學性質(zhì)與生活中的事例應該不會有矛盾?！毙￡愡f給我一張紙，上面寫著一道題：“17個人去公園，打算租2條船游湖。但每條船只能乘坐6人，問還剩下幾人不能乘船？”接下來是兩道算式：
　?。?）17÷6＝2……5
　?。?）17÷2＝6……5
　　小陳說：“這道題可以用兩種方法求解，結(jié)果相同：都是還剩下5人，但余數(shù)和除數(shù)的關系卻不一樣。⑴式中的余數(shù)是5，的確小于除數(shù)6，而⑵式中的余數(shù)5卻大于除數(shù)2了。所以我認為，我們當教師的還不能把書教死，學生也不能把書讀死。就像余數(shù)要小于除數(shù)這條性質(zhì)，在數(shù)學中完全正確，但在現(xiàn)實生活中卻未必正確?！?br/>　　聽了小陳的這番話，我心中不覺一驚，感到問題已涉及數(shù)學之根本，必須將是非辯明。許多數(shù)學問題都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，數(shù)學的抽象性決定了數(shù)學應用的廣泛性，何以會在此處出紕漏？問題的癥結(jié)究竟在哪里？我又該怎樣來說服他？
　　思考片刻后，我理清了思路。我從案頭拿出《小學數(shù)學教師手冊》，翻開第34頁，讓小陳先復習一下有關概念和性質(zhì)：
　　“如果正整數(shù)a除以正整數(shù)b，不能得到整數(shù)商，設a最多包含q個b，也就是說
　　bq＜a＜b（q＋1），
　　那么整數(shù)q叫做不完全商，a與bq的差叫做余數(shù)。
　　即，被除數(shù)=除數(shù)×不完全商＋余數(shù)。
　　或表示為a＝bq＋r （其中r＝a－bq）”
　　這種除法稱為帶余除法或有余數(shù)的除法。如19÷2＝9（余1）。顯然，在帶余除法中，有如下性質(zhì)：
　　（1） 余數(shù)必須小于除數(shù)，即r＜b；
　?。?） 不完全商與余數(shù)都是唯一的。
　　等小陳看完這段文字后，我說：“數(shù)學概念的定義是嚴格的，不能似是而非，不能有歧義。你的⑴式17÷6＝2……5中的不完全商2與余數(shù)5是符合定義的，但⑵式17÷2＝6……5中的6就不能稱為不完全商，5也不能稱為余數(shù)了。道理很簡單，因為17里面并非最多只包含6個2，而是最多包含8個2。在計算17÷2時，按照定義，不完全商應是8才對。算式應是：17÷2＝8……1。其中余數(shù)是1。顯然并未違背余數(shù)小于除數(shù)這一性質(zhì)?！?br/>　　小陳說：“您說的是純數(shù)學的式子，而這是生活情形，已限定每條船只坐6人，怎么能將6改成8呢？再說每條船坐8人，從安全性上考慮也欠妥呀！”
　　我笑著說：“我們是在討論怎樣算合理，又沒真的讓你安排每條船坐8人，扯不到安全性上去。數(shù)學有數(shù)學的規(guī)矩，一旦把生活中的問題抽象成了數(shù)學問題，就得按數(shù)學的規(guī)矩辦，不能討價還價。既然你把它抽象為除法問題，那只能列出17÷2＝8……1來，如果列成17÷2＝6……5，不僅違反了余數(shù)小于除數(shù)的性質(zhì)，也不符合試商的法則?！?br/>　　聽我這樣說，小陳也覺得有理：“看來，是我在抽象時出了錯，不該把這道生活中的問題抽象為除法問題來做?！?br/>　　見小陳的認識已觸及問題的本質(zhì)，我又趁勢作點補充：“這話就說到點子上了。你想，如果我們把這個乘船問題抽象成一個有余數(shù)的除法問題，就一定得按有余數(shù)的除法問題的運算法則算，17÷2按試商法則，不完全商只能是8，無論如何也不會是6。你之所以會寫6，是因為乘船問題中有每條船只能乘坐6人的條件。在這里，正是這個固定的條件和試商法則形成了矛盾?！?br/>　　小陳一面點頭一面又問：“那為什么我的第⑴式又沒錯呢？”
　　我說：“讓我們來看看你的第（1）式：17÷6＝2……5。式中的不完全商2也是這個乘船問題中的已知條件——打算租2條船。只不過與17÷6試商的結(jié)果碰巧一樣罷了。如果數(shù)據(jù)變了，矛盾就可能凸顯。譬如，把題中的17人改為19人，其他條件不變，按你原來的思路，就應列出19÷6＝2……7。這時的余數(shù)7就比除數(shù)6大了呀！此時，相應的第（2）式為19÷2＝6……7。余數(shù)7大于除數(shù)2，也不對，所以兩式都是錯的?！?br/>　　發(fā)現(xiàn)小陳臉上的疑云盡褪，我覺得這次討論差不多可以結(jié)束了。就對他說：“在這道乘船問題中，既然船的條數(shù)和每條船限乘的人數(shù)均已固定，就不該用除法來解答。其實，這是一道兩步應用題，綜合算式為17－6×2，計算結(jié)果為5，表明還剩下5人不能乘船。多么簡單！”
　　小陳表示完全同意我的意見，并向我透露了一個小秘密：“我本打算以本題為例，撰寫一篇文章，說明數(shù)學結(jié)論有時會與現(xiàn)實生活中的問題矛盾。標題都擬好了，就叫做《在生活實際中，余數(shù)可以不小于除數(shù)》。好在向老師請教了一下，否則臉可丟大了。真如古人所說，聽君一席話，勝讀十年書?。　?br/>　　我緊握著小陳的手說：“問題不辯不明，你能發(fā)現(xiàn)問題并積極地思考問題，表現(xiàn)了青年人奮發(fā)進取的精神，值得大家學習。其實我也要感謝你，是你提供了一個研究的課題，逼我去思考，去研究。通過這次討論，我對有關問題的理解也更深刻了?！?br/>　　聽我這樣說，小陳可高興了：“既然老師不煩我，那以后遇有疑難問題，我就還要來麻煩老師喲！”
　　“歡迎再次光臨！”我一面說，一面把小陳送到了門外。