劉 軒

（韓山師范學(xué)院基礎(chǔ)教育師資系,廣東潮州 521041）

Lurie時(shí)滯系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件

劉 軒

（韓山師范學(xué)院基礎(chǔ)教育師資系,廣東潮州 521041）

討論了具有控制時(shí)滯的Lurie系統(tǒng)在非線性項(xiàng)滿足有限扇形區(qū)域條件下的絕對(duì)穩(wěn)定性．依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，利用線性矩陣不等式的方法，通過一個(gè)積分不等式獲得了系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件．并應(yīng)用Schur補(bǔ)引理將以上結(jié)果推廣到了具有范數(shù)有界的不確定Lurie時(shí)滯系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)魯棒絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)的充分條件．通過算例驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性.

Lurie控制系統(tǒng)；絕對(duì)穩(wěn)定；時(shí)滯相關(guān)；線性矩陣不等式

1 引言與預(yù)備

Lurie控制系統(tǒng)是一類非常典型的非線性系統(tǒng)，其非線性項(xiàng)被約束在有限或無限的扇形區(qū)域內(nèi)，它的絕對(duì)穩(wěn)定性研究受到了許多學(xué)者的關(guān)注[1-3]．2002年，馮俊濤、年曉紅[4]應(yīng)用Lyapunov泛函方法討論了具有結(jié)構(gòu)參數(shù)擾動(dòng)和范數(shù)擾動(dòng)界的不確定滯后型Lurie直接控制系統(tǒng)和間接控制系統(tǒng)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)絕對(duì)魯棒穩(wěn)定性的充分條件．2004年，Wu[5-6]等對(duì)固定模型變換的方法進(jìn)行了推廣，提出自由權(quán)矩陣的的方法，得到了系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件．2005年，陳東彥，劉偉華[7]考慮了多時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性方法并結(jié)合Moon引理,得到了多時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性判別條件．2008年，文獻(xiàn)[8]對(duì)具有非線性干擾項(xiàng)的多時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)，通過一個(gè)改進(jìn)的新積分不等式,給出了一個(gè)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件．

本文利用Lyapunov-Krasovskil穩(wěn)定性定理，引入了自由權(quán)矩陣，并利用了一個(gè)新的積分不等式獲得了判斷具有控制時(shí)滯的Lurie系統(tǒng)及具有范數(shù)有界的不確定Lurie時(shí)滯系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件.這些條件均以線性矩陣不等式的形式給出，可以利用matlab工具箱進(jìn)行方便求解．

引理1[7]（Schur補(bǔ)引理）假設(shè)對(duì)稱矩陣的分塊可以表示為

其中，Z∈Rn×n，W∈Rm×m和Y∈Rn×m，則以下兩個(gè)結(jié)論等價(jià)

（1）W是非奇異的，則F＞0的充分必要條件是W＞0且Z-YW-1YT＞0.

（2）W是非奇異的，則F＞0的充分必要條件是Z＞0且W-YTZ-1Y＞0.

引理2[9]（S-程序） 設(shè)Fi∈Rn×n， (i=0,1,2,…,p)是對(duì)稱矩陣，如果存在實(shí)數(shù)τi≥0，(i=0,1,2,…,p)使得

那么，對(duì)于Fi(i=0,1,2,…,p)，對(duì)任意的ξ≠0,ξ∈Rn，若ξTFiξ≥0成立，則有ξTF0ξ≥0.

引理3[13]對(duì)于給定的矩陣Z(x)=ZT(x)和適當(dāng)維數(shù)的矩陣H,L，如果對(duì)于任意的F滿足FTF≤I，則Z+HFL+LTFTHT＜0成立的充要條件是存在ε＞0，使得Z+εHHT+ε-1LTL＜0.

引理4[8]設(shè)x(t)為Rn上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的向量函數(shù)，則對(duì)任意的正定矩陣W∈Rn×n和任意的h＞0，有下列積分不等式成立：

2 主要結(jié)果

3 仿真示例

利用MATLAB解LMI（3）可得τ＜0.9015，而在文獻(xiàn)[10-12]中，該系統(tǒng)時(shí)滯界分別為：τ＜0.3053,τ＜0.3230,τ＜0.7128.由于本文提高了系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯界，因此本文結(jié)果具有更好的有效性和較小的保守性.

[1]GAO Z X,HAN J Q.Lyapunov function of general Lurie systems with multiple nonlinearities[J].Applied Mathematics Letters,2003，16（l）：119-126．

[2]GAO JIN-FENG,SU HONG-YE,JI XIAO-FU,et al.New delay-dependent absolute stability criteria for Lurie control systems[J].Acta Automatica Sinica,2008,34（10）：1275-1280．

[3]王玉紅，包俊東．一類非線性時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，36（1）：30-34．

[4]馮俊濤，年曉紅．不確定滯后型Lurie控制系統(tǒng)的魯棒絕對(duì)穩(wěn)定性-LMI方法[J]．長(zhǎng)沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，20（2）：37-42．

[5]WU M,HE Y.Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica,2004，40（8）：1435-1439.

[6]WU M,HE Y,LIU G P,et al.On absolute stability of Lurie control systems with multiple nonlinearities[J].European Journal of Control,2005，11（l）：19-28．

[7]陳東彥，劉偉華．多時(shí)滯Lurie控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性[J]．控制理論與應(yīng)用，2005，22（3）：499-502.

[8]趙崢嶸，王偉，楊斌．多時(shí)滯非線性Lurie控制系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)絕對(duì)穩(wěn)定性[J]．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，48（5）：759-764.

[9]WU M,HE Y,SHE J H,et al.Robust stability for delay Lurie control systems with multiple nonlinearities[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2005，12（4）：371-380．

[10]年曉紅．Lurie控制系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件[J]．動(dòng)化學(xué)報(bào)，1999，25（4）：564-566．

[11]徐炳吉，廖曉昕．Lurie控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)絕對(duì)穩(wěn)定性判據(jù)[J]．自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2002，28（2）：317-320．

[12]田俊康，鐘守明．具有控制時(shí)滯的滯后型Lurie控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性判據(jù)[J]．魯東大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，22（3）:180-182.

[13]廖曉昕．穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M]．武漢：華中科技大學(xué)出版社，1999：236-256．

DELAY-DEPENDENT CONDITIONS FOR THE ABSOLUTE
STABILITY OF LURIE CONTROL SYSTEMS WITH TIME DELAYS

LIU Xuan
（Department of Basic Education,Han Shan Normal University,Chaozhou 521041,china）

The absolute stability of Lurie systems with control time-delays and finite sector-bounded nonlinearity is discussed.Based on Lyapunov stability theory,by constructing a suitable Lyapunov-krasovskii functional and with linear matrix inequality(LMI)as research means,delay-dependent conditions of the absolute stability for Lurie systems are obtained by an integral inequality.Then,using Schur complement lemma,delay-dependent sufficient condition for the absolute stability of uncertain time-delays Lurie control system with norm bounded is obtained by extending above result.

Lurie control system；absolute stability；delay-dependent；linear matrix inequality（LMI）

O231.2

A

1007-6883(2011)06-0029-05

2011-09-19

劉 軒（1983-），女，遼寧本溪人，韓師師范學(xué)院基礎(chǔ)教育師資系教師.

責(zé)任編輯 朱本華