戴振祥， 徐園芬

(1．寧波教育學(xué)院 信息與藝術(shù)學(xué)院，浙江 寧波 315010;2．浙江萬里學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院，浙江 寧波315101)

0 引言

(2+1)-維色散長波方程［1］為

方程(1)是描述水波通過等深、狹長理想運動水道的重要方程，其中u(x，y，t)，v(x，y，t)為所示變量的物理場．文獻［2］給出了式(1)的一組廣義對稱及其李代數(shù)結(jié)構(gòu);文獻［3］利用齊次平衡法得到了式(1)的一些精確孤波解;文獻［4］給出了式(1)的類孤子解;文獻［5］給出了式(1)的孤子解和有理分式解析解;文獻［6］利用廣義射影Riccati方程得到了精確行波解;文獻［7］利用擴展橢圓函數(shù)有理展開解法得到了沖擊波解和孤立波解．本文將利用平面動力系統(tǒng)方法［8-11］研究該方程行波解的動力學(xué)性質(zhì)，在給定的參數(shù)條件下，求出方程(1)新的峰形(谷形)光滑孤立波解和周期波解．

為研究方程(1)的行波解，作如下行波變換:

把式(2)的第1個方程關(guān)于ξ積分2次，第2個方程關(guān)于ξ積分1次，并取積分常數(shù)為0，得

方程(4)等價于系統(tǒng)

并有以下首次積分:

下面的目標(biāo)是:首先通過定性分析得到系統(tǒng)(5)隨參數(shù)改變的相圖，然后得到方程(1)在參數(shù)平面上不同區(qū)域內(nèi)的行波解的精確參數(shù)表達式．

1 系統(tǒng)(5)的所有相圖

先求系統(tǒng)(5)的平衡點．

設(shè)E(φe，0)為系統(tǒng)(5)的任一平衡點，M(φe，0)是系統(tǒng)(5)的線性化系統(tǒng)在該平衡點處的系數(shù)矩陣，用 J(φe，0)表示其 Jacobi行列式，經(jīng)計算得 J(φe，0)= － f'(φe)．由平面動力系統(tǒng)分支理論［8-11］知，作為Hamilton系統(tǒng)(5)的平衡點，當(dāng) J＞0(或 J＜0)時，E(φe，0)是中心(或鞍點);當(dāng) J=0并且其Poincaré指標(biāo)為零時，E(φe，0)是尖點．

通過定性分析知，隨著參數(shù)c，a的改變，系統(tǒng)(5)有如圖1、圖2所示的相圖．

圖1 當(dāng)c＞0時系統(tǒng)(5)的相圖

圖2 當(dāng)c＜0時系統(tǒng)(5)的相圖

2 方程(1)孤立波、周期波解的存在性和參數(shù)表示

根據(jù)以上結(jié)果和奇非線性行波方程研究的動力系統(tǒng)方法［8］知，下面的結(jié)論成立:

定理1 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一峰形或谷形光滑孤立波解:

定理2 若下列條件之一成立，則方程(1)存在一族峰形或谷形光滑周期波解:

下面計算方程(1)在不同的參數(shù)條件下其光滑孤立波解和周期波解的參數(shù)表達式．

(5)的第1個方程得

經(jīng)計算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數(shù)表達式為

②對應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線 H(φ，y)=h(h∈(h2，0))，設(shè)參數(shù) r1，r2由

所定義，其中r1＞r2＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個方程得

經(jīng)計算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數(shù)表達式為

所定義，其中0＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個方程得

經(jīng)計算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數(shù)表達式為

②對應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h1，0))，經(jīng)計算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數(shù)表達式同式(8)．

所定義，其中r1＞r2＞φ＞φ2．利用系統(tǒng)(5)的第1個方程得

經(jīng)計算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的參數(shù)表達式為

②對應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h2))，經(jīng)計算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的參數(shù)表達式同式(8)．

所定義，其中φ1＞φ＞r3＞r4．利用系統(tǒng)(5)的第1個方程得

經(jīng)計算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的參數(shù)表達式為

②對應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(0，h1))，經(jīng)計算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的參數(shù)表達式同式(8)．

①對應(yīng)于系統(tǒng)(5)并由式(6)定義的水平曲線H(φ，y)=h1(H(φ，y)=h2)，經(jīng)計算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑孤立波解的參數(shù)表達式同式(11)(式(10))．

②對應(yīng)于系統(tǒng)(4)并由式(5)定義的水平曲線H(φ，y)=h(h∈(h2，h1)或h∈(h1，h2))，經(jīng)計算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑周期波解的參數(shù)表達式同式(8)．

致謝:衷心感謝浙江師范大學(xué)趙曉華教授的指導(dǎo)!

［1］洪寶劍，方國昌，盧殿臣，等．(2+1)維色散長波方程新的類孤子解［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009，39(1):194-197．

［2］Lou S Y．Symmetries and algebras of the integrable dispersive long wave equations in 2+1 dimensional spaces［J］．Phys A，1994，27(2):3235-3243．

［3］Wang Mingliang，Zhou Yubin，Li Zhibin．Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］．Phys Lett A，1996，216(1/2/3/4/5):67-75．

［4］曾昕，張鴻慶．(2+1)維色散長波方程的新的類孤子解［J］．物理學(xué)報，2005，54(2):504-510．

［5］閆振亞，張鴻慶．2+1維非線性色散長波方程的相似約化和解析解［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2001，21A(3):384-390．

［6］智紅燕，陳勇，張鴻慶．廣義射影Riccati方程方法與(2+1)維色散長波方程新的精確行波解［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2005，25A(7):956-964．

［7］向以華，石義霞．(2+1)-維色散長波方程的擴展橢圓函數(shù)有理展開解法［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2009，29(2):206-210．

［8］Li Jibin，Dai Huihui．On the study of singular nonlinear traveling wave equations:Dynamical system approach［M］．Beijing:Science Press，2007．

［9］李繼彬．(2+1)-維廣義 Benney-Luke方程的精確行波解［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2008，29(11):1261-1267．

［10］李繼彬．兩類Boussinesq方程的行波解分支［J］．中國科學(xué):A數(shù)學(xué)，2008，38(11):1221-1234．

［11］Li Jibin，Liu Zhengrong．Smooth and non-smooth traveling waves in a nonlinear dispersive equation［J］．Applied Mathematical Modelling，2000，25(1):41-56．