張曉婷，高玉斌

（中北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030051）

一個(gè)新的極小譜任意復(fù)符號(hào)模式矩陣

張曉婷，高玉斌

（中北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030051）

若給定任意一個(gè)n階首1復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 f(λ)，都存在一個(gè)復(fù)矩陣B∈Q(A) ，使得的特征多項(xiàng)式為 f(λ)，則稱(chēng)n×n復(fù)符號(hào)模式矩陣A是譜任意的.如果A是一個(gè)譜任意復(fù)符號(hào)模式矩陣且A的任意真子模式都不是譜任意的，那么A是一個(gè)極小譜任意復(fù)符號(hào)模式矩陣.本文擴(kuò)展了N-J方法證明了一個(gè)的復(fù)符號(hào)模式矩陣是極小譜任意的n≥4.

復(fù)符號(hào)模式；蘊(yùn)含冪零；譜任意模式；極小譜任意

對(duì)任意給定的的實(shí)數(shù)a，我們用sgn（a）表示其符號(hào)，根據(jù)a＞0，a＜0分別定義其符號(hào)為1，-1和0.元素取自于{1，-1，0}的矩陣稱(chēng)為符號(hào)模式矩陣.對(duì)于給定的實(shí)矩陣B，由其每個(gè)元素符號(hào)所組成的矩陣稱(chēng)為B的符號(hào)模式矩陣，記為sgn（B）.用Qn表示全體n階復(fù)符號(hào)模式矩陣組成的集合.對(duì)任意A∈Qn，所有與A有相同符號(hào)模式的復(fù)矩陣組成的集合{B |sgnB=A} 稱(chēng)為A所決定的定性矩陣類(lèi)，記為Q（A）.

若A=（ak）l和B=（bk）l是兩個(gè)n×n符號(hào)模式矩陣，如果當(dāng)bkl≠0時(shí)，akl=bkl，則稱(chēng)A是B的母模式，也稱(chēng)B是A的子模式.每個(gè)符號(hào)模式是其本身的母模式和子模式.若B是A的子模式，且B≠A，則稱(chēng)B是A的真子模式.

設(shè)A=（ak）l和B=（bk）l是兩個(gè)符號(hào)模式矩陣，則稱(chēng)S=A+iB為n階復(fù)符號(hào)模式矩陣，其中i2=-1.顯然skl=akl+ibkl，k，l=1，2，…，n.所有與S有相同符號(hào)模式的復(fù)矩陣組成的集合稱(chēng)為S所決定的定性矩陣類(lèi).記為

Qc(S)={C =A+iB|sgn(A)=A,sgn(B)=B}其中A，B為n×n實(shí)矩陣.

若S1=A1+iB1和S2=A2+iB2是兩個(gè)n×n復(fù)符號(hào)模式矩陣，如果A1是A2的子模式，且B1是B2的子模式，則稱(chēng)S1是S2的子模式，也稱(chēng)S2是S1的母模式.若S1是S2的子模式，且S1≠S2，則稱(chēng)S1是S2的真子模式.若S=A+iB是n階復(fù)符號(hào)模式矩陣，符號(hào)模式矩陣A和B分別為S的實(shí)部和虛部，則A和B的所有非零元的個(gè)數(shù)即為S的非零元的個(gè)數(shù).

設(shè)S=A+iB是n≥2階復(fù)符號(hào)模式矩陣，如果復(fù)數(shù)矩陣C∈QC(S)的特征多項(xiàng)式是 f(λ)=λn，則稱(chēng)S是蘊(yùn)含冪零的，C是冪零復(fù)矩陣.一個(gè)復(fù)符號(hào)模式矩陣S是譜任意的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)給定的任意一個(gè)次首1復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 f(λ)，都存在QC(S)中的一個(gè)復(fù)矩陣，使得它的特征多項(xiàng)式為 f(λ).如果S是一個(gè)譜任意復(fù)符號(hào)模式矩陣，且S的任意真子式都不是譜任意的，則S是一個(gè)極小譜任意復(fù)符號(hào)模式矩陣.

1 N-J方法

譜任意符號(hào)模式的概念最早是在文獻(xiàn)[1]提出的，并且給出了運(yùn)用N-J方法證明一個(gè)實(shí)符號(hào)模式及其它的母模式都是譜任意的.在文章[2]中提出了著名的2n猜想，即任意不可約譜任意符號(hào)模式矩陣至少有2n-1個(gè)非零元.文章[3]中對(duì)ray模式的譜任意性進(jìn)行了討論,

將N-J方法推廣到ray模式，并且給出了一類(lèi)譜任意ray模式.文章[4-7]中對(duì)復(fù)符號(hào)模式的譜任意性進(jìn)行了研究，將N-J方法推廣到復(fù)符號(hào)模式，對(duì)復(fù)符號(hào)模式譜任意的研究有重要的意義..

引理1S=A+iB是n≥2階復(fù)符號(hào)模式矩陣，且至少有2n個(gè)非零元.

1）在復(fù)符號(hào)模式矩陣類(lèi)QC()S中找一個(gè)冪零復(fù)矩陣C=A+iB，其中A和B為實(shí)矩陣，且A∈Q(A),B∈Q(B).

2）將A和B中的2n個(gè)非零元（記為r1，r2，…，r2n），替換為變量t1，t2，…，t2n.

3）替換后的矩陣的特征多項(xiàng)式表達(dá)如下：

5）如果雅可比行列式J在冪零點(diǎn)（t1，t2，…，t2n）=（r1，r2，…，r2n）處不等于零，則S的任意母模式是譜任意的.

2 主要結(jié)果

本文主要討論下面的n階（n≥4）符號(hào)模式

其中ai，bk為正實(shí)數(shù)，j=1，…，n，k=1，…，n.

下面先給出一個(gè)非零實(shí)多項(xiàng)式的零點(diǎn)的定義（有限次）.如果ft是一個(gè)非零實(shí)多項(xiàng)式，令

若Zf是非空的，則Zf的最大值記為max( )Zf.若Zf是空的，則記為max(Zf)=-∞.

下面將用?(f)來(lái)表示多項(xiàng)式 f(t)的次數(shù).

[1]Drew J H,Johnson C R,Olesky D D.Pvan den Driess?che,Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2000,308:121-137.

[2]Britz T,McDonald J J,Olesky D D.Pvan den Driessche,Minimal spectrally sign patterns[J].SIAM Journal on Ma?trixAnalysis and Applications,2004,26:257-271.

[3]McDonald J J,Stuart J.Spectrally arbitrary ray patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429:727-734.

[4]Gao Y B,Shao Y L,Fan Y Z.Spectrally arbitrary complex sign pattern matrices[J].Electronic Journal of Linear Alge?bra,2009,18:674-692.

A New Matrix of Minimally Spectrally Arbitrary Complex Sign Patterns

ZHANG Xiaoting，GAO Yubin
（Department of Mathematics，North University，Taiyuan030051，China）

A complex sign pattern matrixAof order n is a spectrally arbitrary pattern if given any monic polynomialf（λ）with coefficients fromCof order n,there exists a complex matrixBinQ（A）such that the characteristic polynomial ofBisf（λ）.IfAis a spectrally arbitrary complex sign pattern matrix,and no proper subpattern ofAis spectrally arbi?trary,thenAis a minimal spectrally arbitrary complex sign pattern matrix.In this paper,we extend the Nilpotent-Jacobi?an method to prove a complex sign pattern matrix is minimally spectrally arbitrary pattern for all ordersn≥4.

Complex Sign pattern；Potentially nilpotent；Spectrally arbitrary pattern；Minimally spectrally arbitrary

O 151.21

A

1674-4942（2011）02-0119-04

2010-12-27

國(guó)家自然基金項(xiàng)目（11071227）；山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2008011009）

畢和平