裴 潔

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

1 微積分內(nèi)容進入我國高中教材中的曲折歷程及其基本定位

微積分內(nèi)容是否應該進入高中教材，我國的數(shù)學教育者一直對此頗有爭議。1958年，我國數(shù)學改革，微積分成為高中新增內(nèi)容，經(jīng)過6年的實驗，最終以失敗告終。1961年，數(shù)學大綱中刪除了微積分;1978年制定新大綱，又將微積分列入，但是在實際的教學中，很大一部分教師和學生都不能適應，教師教得費力，學生學得迷茫，1983年又把微積分作為選學內(nèi)容，但是因為高考不考，微積分的教學形同虛設，老師和學生都對其視而不見。隨著如火如荼的新課改，微積分再一次被學者瞄上，成為高中教材中的一部分，且在《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》以下簡稱《課標》)中，對微積分重新進行定位，淡化形式教學，擯棄嚴謹?shù)臄?shù)學思維和精確的數(shù)學語言，打破了傳統(tǒng)以來一直以極限為基礎的引入方式，而從瞬時速度入手，用變量的方法體現(xiàn)極限的思想。這一重大課程改革滿足了學生的學習需要，當學生因為自己思維的局限對新知識產(chǎn)生困惑時，他們心中有一種對知識強烈渴望的需要，這就需要教育工作者關(guān)注學生的理解方式，不斷調(diào)整課程設計，幫助學生理解。

“高中數(shù)學課程是面向全體高中學生的，不是培養(yǎng)數(shù)學專門人才的基礎課，高中數(shù)學課程強調(diào)數(shù)學的本質(zhì)，突出主線，通性通法，需要削枝強桿”［1］。很多教師認為學習微積分在極限的基礎上會讓學生更容易理解，其實如果把極限作為導數(shù)的切入點，把導數(shù)作為一種特殊的極限去教授，會讓學生思維混亂，在學習中出現(xiàn)夾生現(xiàn)象，甚至可能對微積分產(chǎn)生恐懼的想法，嚴重影響了對導數(shù)思想和本質(zhì)的認識和理解?！坝脤?shù)反映的變化率思想研究初等函數(shù)的性質(zhì)”［2］是《課標》中對微積分的定位?！墩n標》中對導數(shù)內(nèi)容的定位是“不僅把導數(shù)作為一種規(guī)則，更作為一種重要的思想，方法來學習，要全面體現(xiàn)微積分課程的應用價值和教育價值”［3］。高中數(shù)學課程內(nèi)容的教授要求高中教師們讀懂高中學生的數(shù)學思維，對于有些數(shù)學知識，學生的認知是螺旋上升的，需要一定時間的積累和知識的儲備才能完全理解。高中數(shù)學教學應該教會學生理解，想法設法把難理解的內(nèi)容變得容易理解，而不是把明明可以直觀化理解的內(nèi)容給理論復雜化了。在微積分課程的改革中，體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)的說法“教學有法，教無定法，貴在得法”。

2 《課標》中微積分的課程設計及其基本理念

傳統(tǒng)教材對微積分的內(nèi)容編排是:數(shù)列極限—函數(shù)的極限—函數(shù)的連續(xù)性—導數(shù)—導數(shù)的應用—不定積分—定積分。這種編排順序只是大學微積分內(nèi)容的一種縮編，導數(shù)的概念是在精準的，嚴謹?shù)?，抽象的極限定義下引入學習的，形式化的教學讓學生在微積分的開始學習階段就被難以理解的極限概念牽扯，極易對后繼微積分的學習造成障礙。高中生學習微積分課程的重點是微積分的基本思想，并不是被壓縮了的整個微積分學科體系?，F(xiàn)行北師大版的高中新課標教材中的微積分內(nèi)容編排逾越了形式化的極限，采取了“無極限”的引入方式，其編排順序為:變化率與導數(shù)—導數(shù)應用—定積分?！捌潢P(guān)鍵在于不以一般極限理論作為鋪墊，直接從變化率引入導數(shù)，當需要極限理論時再直觀認識”?！啊墩n標》中處理無極限導數(shù)的一個基本策略便是:讓學生感受運動體在一系列間隔非常小的情景下平均速度的變化，抽象出瞬時速度(告訴學生這樣一個得到瞬時速度的過程在數(shù)學中被稱為求極限)，瞬時速度也就是位移函數(shù)的瞬時變化率”［4］。這一設計充分體現(xiàn)了《課標》中“強調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化”這一基本理念。學生通過大量的生活化實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，通過實際生活背景，明白瞬時變化率就是導數(shù)，用形象直觀的逼近方法給出了導數(shù)的定義，強調(diào)學生的原有的數(shù)學認知，讓學生在經(jīng)歷過程中感受導數(shù)思想和本質(zhì)的認識和理解，體會到數(shù)學知識的認知是水到渠成的。直接通過實際背景和具體應用實例，讓學生理解從平均變化率到瞬時變化率，從有限思維到無限思維，理解導數(shù)這種特殊的極限，使學生不僅對變量數(shù)學的思想方法有新的感受，發(fā)展思維能力，為進一步學習微積分打好基礎，還能使學生能全面認識到數(shù)學的價值。

傳統(tǒng)的微積分課程過分關(guān)注數(shù)學的形式化和嚴謹性原則，理論性較強，不適合高中學生的認知水平，過分的形式化和嚴謹性就像是學生的雷區(qū)，使得學生在學習的過程中小心翼翼，影響了思維的概括性和敏捷性，降低數(shù)學觀察能力?！墩n標》中導數(shù)概念的生成過程是一個探究的動態(tài)過程，主張聯(lián)系日常生活，從實際問題中的平均速度，平均變化率等概念，到函數(shù)的平均變化率，再到函數(shù)在一點處的變化率—導數(shù)，“把微積分內(nèi)容呈現(xiàn)為學生容易接受的‘教育形態(tài)’”［5］，用適度的形式化打破傳統(tǒng)微積分課程過于嚴密的推理過程，給學生留下較大的思維余地，給學生一個從“非形式化”到“形式化”的認知過渡，符合高中學生的認知規(guī)律，高中數(shù)學不能過度的形式化，以免將生動活潑的數(shù)學思維淹沒在形式化的學術(shù)海洋里。形式化是數(shù)學的特征之一，但是中學數(shù)學中的形式化受學生特定時期的認知水平的限制，在高中數(shù)學課程中，適度形式化是必要的。

早在1982年就有學者提出在中學教授微積分總的想法是“理論上不做嚴格要求，但要有一定的推理訓練，注意實際應用，同時借助幾何主觀理解”［6］。張孝達先生1991年在西南師范大學的報告中提出了“淡化概念”，后來陳重穆先生也提出“淡化形式，注重實質(zhì)”［7］的觀點.其實這些都是《課標》中“強調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化”這一基本理念的基礎。學生對課程內(nèi)容的理解不是一個思維頓悟的過程，而是一個時間和知識的積累的過程，在學習的開始階段，可能學生對一個知識的概念掌握的并不明確，但這并不影響學生在學習的過程中去運用這個知識點，而在此過程中，學生頭腦中會不斷完善對這個知識點的理解。教師需要在學生理解的過程中為學生創(chuàng)設一定的條件，課程改革中強調(diào)本質(zhì)，適度形式化就遵循了學生的這一積累說的理解規(guī)律。

3 關(guān)于新課程微積分的思考——初等數(shù)學思維和高等數(shù)學思維之間如何進行過渡

“韜爾把數(shù)學劃分為三個不同的世界:具體化世界、過程概念化世界和形式化世界。在這三個世界之間，不僅有著表征方式的差異，也存在著認知方式的差異?！保?］，具體化世界包括感知，行為以及對感知和行為的反應;過程概念化世界主要涉及一些符號，諸如微積分中的符號;形式化世界包括定義和證明，它們導致了公理化理論體系的形成。按照韜爾的解釋，這三個世界在認知上是按順序發(fā)展的。中國課程改革的趨向和這一對數(shù)學三個世界的劃分體系是有相通之處的，了解學生的已有思維和認知習慣，把握好學生的思維間的過渡，對學生更好的理解課程內(nèi)容和課程改革的發(fā)展是大有益處的。

初等數(shù)學的思維向高等數(shù)學思維的過渡過程可以用這三個世界之間的遞進關(guān)系來表示。以導數(shù)為例，導數(shù)的概念可以按這三個世界來劃分:具體化的世界中，導數(shù)可以理解為在某一點處的瞬時變化率;在過程概念化的世界里，導數(shù)就是極限運算的結(jié)果;形式化的世界里，導數(shù)的定義為:設函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義存在，則稱函數(shù)f在點x0處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點x0處的導數(shù)。

首先，在具體化的世界里，用形象直觀的瞬時變化率去感知導數(shù)的概念，這是初等數(shù)學思維。然后過程化概念世界里從具體的動作開始，即極限的計算，從具體的計算逐步發(fā)展出和，積，商等符號化的形式，這個世界的符號的使用很重要，這些符號有著具體化世界和過程概念化世界的雙重性質(zhì)，伴隨著學生的成長，這兩個世界會逐步的健全，直至到第三世界，形式化世界，用科學嚴謹?shù)男问交Z言定義導數(shù)的定義，即到達高等數(shù)學思維。高中學生的認知水平對概念的掌握有一定的制約性，如高中生可以用具體化的世界的瞬時速度去理解導數(shù)，但對極限的定義表示難理解，大學生則可以用形式化世界抽象的極限定義去理解導數(shù)，這之間初等數(shù)學思維向高等數(shù)學思維的過渡就需要教師把握好。

從初等數(shù)學思維向高等數(shù)學思維過渡的過程中，教師應該給學生提供一定的幫助，可以設置一些易引起學生疑惑和驚奇的問題，在學生不能前進時給予指導，使學生在這三個世界中逐層遞進，最終體會到茅塞頓開的愉悅，對提高學生的自主學習能力也是大有好處的。初等數(shù)學思維向高等數(shù)學思維過渡的過程在這三個世界之間是水到渠成的過程還是一個突然變化的過程是受很多因素影響的，如學生的日常經(jīng)驗，感知覺的差異，已有的知識背景等，而且在初等數(shù)學思維向高等數(shù)學思維過渡的過程中，可能不斷會有干擾因素出現(xiàn)影響學生的認知，使三個世界的邏輯發(fā)生混亂。所以，從初等數(shù)學思維向高等數(shù)學思維的過渡是一件很不容易的事情，具體需要什么樣的教學安排和教學準備，仍需要進一步的研究，以推動課程改革的迅速發(fā)展。

任何事物的變化都是漸進的，教育領(lǐng)域中也是如此，我國的數(shù)學教育正在經(jīng)歷著由應試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的重要改變，在這個背景下，課程改革勢在必行。眾多的教育專家和一線教師用他們的專業(yè)素質(zhì)和教學智慧進行著課程改革，面對與時俱進的挑戰(zhàn)，我們應該認真鉆研嘗試教學理論，用理論結(jié)合課程標準，結(jié)合新教材，結(jié)合學生的實際情況，中國的數(shù)學課程需要在保證必要的基礎上，大力改革，以適應21世紀時代發(fā)展與科技進步要求的數(shù)學課程體系，提高數(shù)學教學水平。

［1］王尚志，張飴慈等.理解與實踐高中數(shù)學新課程—與高中數(shù)學教師的對話［M］.北京:高等教育出版社9－10.

［2］張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學教育學導論［M］.北京:高等科學出版社，2003.

［3］嚴士鍵，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀［M］.南京:江蘇教育出版社，2004.

［4］宋寶和，房元霞.逾越形式化極限概念的微積分課程［J］. 數(shù)學教育學報，2004，13(4):54 －56.

［5］徐永琳.高中“課程”與“大綱”中微積分課程比較研究及啟示［J］.數(shù)學通報，2007，46(7):22－25.

［6］曾憲源，方明一.關(guān)于在我國高中講授微積分初步的探討［J］.課程·教材·教法，1982(1):63－65.

［7］陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質(zhì)［J］.數(shù)學教育學報，1993.2.4.

［8］鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程［M］.上海:上海教育出版社，2009.