張穎超

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，中國(guó)桂林 541004）

用徑向基函數(shù)解偏微分方程

張穎超*

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，中國(guó)桂林 541004）

討論了用正定徑向基函數(shù)解偏微分方程，通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例，說(shuō)明這個(gè)方法是可行的．針對(duì)數(shù)值算例，比較了在相同步長(zhǎng)時(shí)，不同的正定徑向基函數(shù)對(duì)微分方程數(shù)值解的精確程度，并比較不同的正定徑向基函數(shù)在相同的形狀參數(shù)時(shí)絕對(duì)誤差的差異，說(shuō)明微分方程數(shù)值解的精確程度與徑向基函數(shù)形狀參數(shù)的取值密切相關(guān)．同時(shí)也論證了在插值過(guò)程中所得到的矩陣方程解的存在唯一性．

徑向基函數(shù);數(shù)值解;偏微分方程;線性無(wú)關(guān)

一般地，許多物理現(xiàn)象和工程技術(shù)問(wèn)題都可以歸結(jié)為一個(gè)微分方程．微分方程的解析解可以通過(guò)分離變量法和積分變換法等方法得到．微分方程的數(shù)值逼近可以通過(guò)Euler法，Runge-Kutta法和數(shù)值積分等方法得到［1-2］．近幾十年來(lái)，人們的主要目標(biāo)是尋找各種各樣的無(wú)網(wǎng)格方法，利用徑向基函數(shù)（RBF）解微分方程是受到普遍關(guān)注的無(wú)網(wǎng)格方法．1971年，Hardy［3］總結(jié)評(píng)論了關(guān)于multiquadric（MQ）函數(shù)的各種應(yīng)用，特別是在地理，遙感，信號(hào)系統(tǒng)等方面的成功應(yīng)用．自從Kansa［4-5］用徑向基函數(shù)解偏微分方程（PDE），得到非常精確的解后，用徑向基函數(shù)解偏微分方程引起越來(lái)越多的關(guān)注，并且Madych和Nelson［3，6-7］證實(shí)了MQ函數(shù)插值的收斂性．

近10年來(lái)，用徑向基函數(shù)配置法解偏微分方程受到廣泛關(guān)注，人們已經(jīng)用徑向基函數(shù)配置法解線性和非線性的偏微分方程［8-11］，有的用徑向基函數(shù)配置法逼近橢圓型偏微分方程數(shù)值解［12-13］，并且取得了不錯(cuò)的結(jié)果，但是在逼近過(guò)程中所得到矩陣方程的系數(shù)矩陣是否可逆還沒(méi)有被驗(yàn)證，即，數(shù)值解的唯一性還沒(méi)有被驗(yàn)證．

本文主要討論用正定徑向基函數(shù)［14］解偏微分方程

以下是常用的正定徑向基函數(shù)．

1 正定徑向函數(shù)的應(yīng)用

1．1 相關(guān)定理

對(duì)于任意階可微函數(shù)u（r），r∈Ω?Rn，在Ω內(nèi)配置N個(gè)散亂的數(shù)據(jù)點(diǎn)r1，r2，…，rN，令

其中λ1，λ2，…，λN是待定系數(shù)，φ（‖r－rj‖）（j=1，2，…）是正定徑向基函數(shù)，‖·‖是歐幾里得范數(shù)．本文取n=2，即r=（x，y）．

引理1［14］函數(shù)Φ（x）=φ（‖x‖）是正定函數(shù)的充分必要條件是Φ（x）的傅里葉變換幾乎處處大于零．引理2［15］若F［Φ（x）］是Φ（x）的傅立葉變換，那么F［Φ″（x）］=（iω）2F［Φ（x）］．考慮正定徑向基函數(shù)φ（‖r－rj‖）（j=1，2，…），設(shè)

定理1若Φ（x－xj，y－yj）的傅立葉變換是證根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)

因?yàn)棣眨ā瑀－rj‖）（j=1，2，…）是正定徑向基函數(shù)，根據(jù)引理1，

定理2當(dāng)p＞0且q≤0，Φ（r－r1），Φ（r－r2），…，Φ（r－rN），…線性無(wú)關(guān)．

因此λj=0，1≤j≤N，所以假設(shè)不成立．所以Φ（r－r1），Φ（r－r2），…，Φ（r－rN），…線性無(wú)關(guān)．

1．2 方法分析

考慮偏微分方程

其中p＞0，q≤0或者p＜0，q≥0，Ω?R2，f（x，y），g（x，y）是連續(xù)函數(shù)，B是邊界算子．在Ω內(nèi)配置N個(gè)離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)r1，r2，…，rN，其中r1，r2，…，rL是內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，rL+1，rL+2，…，rN是外部節(jié)點(diǎn)．設(shè)方程（1）的數(shù)值解為

其中λ1，λ2，…，λN為待定系數(shù)．由（1）式和（5）式得

由（6）式，（7）式得到矩陣方程

由定理2知，矩陣方程（8）的系數(shù)矩陣是非奇異的，所以矩陣方程有唯一解，只要從（8）式中解出λ，就可以得到方程（1）的近似解

2 數(shù)值算例

在這一部分，我們將通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例來(lái)討論正定徑向基函數(shù)解常微分方程，用絕對(duì)誤差描述數(shù)值解與精確解的差別．絕對(duì)誤差的形式如下

其中E（x）是精確解，Num（x）是數(shù)值解．

例已知偏微分方程

下面利用徑向基函數(shù)配置法對(duì)上述微分方程求數(shù)值解，把區(qū)域Ω等分，步長(zhǎng)，分別選用φ（r）= e－cr2（c＞0，為形狀參數(shù)）和，為形狀參數(shù)）作為基函數(shù)，所得數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差結(jié)果如表1和表2．

表1 φ（r）=e－cr2為基函數(shù)，不同形狀參數(shù)時(shí)的絕對(duì)誤差的比較

表2 為基函數(shù)，不同形狀參數(shù)時(shí)的絕對(duì)誤差

表2 為基函數(shù)，不同形狀參數(shù)時(shí)的絕對(duì)誤差

h E（x）Error c=7．6Error c=0．05Error c=0．5 （π4，－π006 269 771 246 35 （π 4）0．500 000 0000．011 132 791 042 430．496 193 059 036 290．4）0．500 000 0000．011 132 791 031 740．496 193 059 036 290．006 269 771 246 35 （π 4，0）0．707 106 7810．017 381 333 564 240．701 736 878 297 950．025 874 233 158 37 （π4，π 2，－π4）0．707 106 7810．017 381 333 569 470．701 736 878 297 950．025 874 233 158 37 （π2，0）1．000 000 0000．025 526 035 609 570．992 421 578 520 720．028 027 307 902 72 （π 4）0．707 106 7810．011 132 791 042 430．701 736 878 297 950．025 874 233 158 37 （3π2，π 4，－π4）0．500 000 0000．017 381 333 564 240．496 193 059 036 290．006 269 771 246 35 （3π4，0）0．707 106 7810．011 132 791 031 740．701 736 878 297 950．025 874 233 158 37 （3π 4）0．500 000 0000．017 381 333 569 470．496 193 059 036 290．006 269 771 246 35 （0，－π 4，π 2）00．000 000 000 016 140．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （π 2）00．025 526 035 609 570．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （0，0）00．000 000 000 004 550．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （0，π 2）00．000 000 000 005 230．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （π2，－π 2）00．000 000 000 002 730．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （π，－π 2，－π 2）00．000 000 000 008 870．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （π，0）00．000 000 000 007 500．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00 （π，π2）00．000 000 000 010 230．000 000 000 000 000．000 000 000 000 00

通過(guò)表1和表2注意到，當(dāng)取相同的形狀參數(shù)c=0．5，所得到的絕對(duì)誤差都達(dá)到了10－3，但是c=0．05時(shí)，表2的絕對(duì)誤差明顯不好．通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，當(dāng)徑向基函數(shù)φ（r）=e－cr2的形狀參數(shù)c≤0．1時(shí)，最大絕對(duì)誤差為10－3，當(dāng)形狀參數(shù)c＞0．1，最大絕對(duì)誤差精確程度很差;當(dāng)徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)1≤c≤4時(shí)，最大絕對(duì)誤差為0．1，當(dāng)形狀參數(shù)4≤c≤10，最大絕對(duì)誤差精確程度可以達(dá)到10－3，而在0到1之間取值時(shí)，變化比較大．

3 結(jié)論

本文成功地用正定徑向基函數(shù)解一類偏微分方程，通過(guò)與精確解作比較，有很小的絕對(duì)誤差，所以在插值點(diǎn)得到令人滿意的數(shù)值解，并驗(yàn)證了逼近過(guò)程中所得到的矩陣方程有唯一解．

在數(shù)值算例部分，選用了不同的徑向基函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行數(shù)值逼近，當(dāng)取合適的形狀參數(shù)時(shí)，都可以得到令人滿意的數(shù)值解．但是注意到，選擇相同的步長(zhǎng)及不同的形狀參數(shù)，有不同的絕對(duì)誤差，所以所得數(shù)值解與徑向基函數(shù)形狀參數(shù)的選取密切相關(guān)．如何選取形狀參數(shù)，已經(jīng)引起很多專家學(xué)者的注意．一般地，通過(guò)2個(gè)形狀參數(shù)，對(duì)所得數(shù)值解進(jìn)行比較，逐步選取合適的形狀參數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)逐步計(jì)算，這種方法并不是很好，甚至有時(shí)候不能得到滿意的數(shù)值解．所以徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)如何選取，還是需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題．

另外，本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，通過(guò)數(shù)值比較，用Gauss函數(shù)φ（r）=e－cr2做為基函數(shù)明顯優(yōu)于用φ（r）=作為基函數(shù)，那么，一類微分方程哪一類徑向基函數(shù)可以得到比較好的數(shù)值解，這也是需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題．一般來(lái)說(shuō)，比較常用的是Gauss函數(shù)φ（r）=e－cr2作為基函數(shù)．

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Application of Radial Basis Functions for Partial Differential Equations

ZHANG Ying-chao*
（School of Mathematics，Guangxi Normal University，Guilin 541004，China）

An algorithm for partial differential equations based on the positive definite radial basis funtions （RBF）approximation scheme is presented．One model problem of the algorithm is given．The comparison is made with the exact solutions of the problem by different shape parameter when different radial basis functions are chosen．Numerical results show that method offers a very high accuracy in computation of the partial differential equation．It shows that choice of shape parameter is important．The obtained coefficient matrix is proved to be nonsingular，that is，matrix equation has a solution．

RBF;numerical solutions;partial differential equation;linear independent

O241．81

A

1000-2537（2011）05-0001-06

2011-02-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171102）

*通訊作者，E-mail:zhych0314@163．com

（編輯沈小玲）