●(盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

從一道試題探究圓錐曲線的一組命題

●周志國(盱眙中學(xué) 江蘇淮安 211700)

每年高考數(shù)學(xué)模擬試卷中都會(huì)出現(xiàn)新穎別致、個(gè)性鮮明、有一定難度的解析幾何試題．2011年江蘇省3所名校聯(lián)考第18題是一道精彩的解析幾何題目，給我們留下深刻的印象．筆者利用幾何畫板演示，對(duì)該試題進(jìn)行探究，得到圓錐曲線的一組命題，以饗讀者．

(2)當(dāng)圓M與直線AF1相切時(shí)，求圓M的方程；

(3)求證：圓M總與某個(gè)定圓相切．

(2011年江蘇省天一中學(xué)、海門中學(xué)、鹽城中學(xué)聯(lián)考試題)

分析(1)(2)略.

圖1

圖2

又因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓C上，所以

從而MO+MF2=a>c=OF2，故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓．

圖3

圖4

證明由命題1的結(jié)論知M的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且滿足MO+MF2=a.而MF2=rM,a=r0，即MO+rM=r0，說明圓M總與定圓O:x2+y2=a2相內(nèi)切，如圖3所示．

從而MO-MF2=a

綜上所述，點(diǎn)M的軌跡是以O(shè),F2為焦點(diǎn)的雙曲線．

證明由命題2的結(jié)論知M的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.

當(dāng)M是右支上的點(diǎn)時(shí)，滿足MO-MF2=a，而MF2=rM,a=r0，得MO=r0+rM，說明圓M總與定圓O:x2+y2=a2相外切,如圖5所示．

當(dāng)M是左支上的點(diǎn)時(shí)，滿足MF2-MO=a，而MF2=rM,a=r0，得MO=rM-r0，說明圓M總與定圓O:x2+y2=a2相內(nèi)切,如圖6所示．

綜上所述，圓M總與定圓x2+y2=a2相切．

圖5

圖6

圖7

圖8

命題3已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線．

根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線,如圖7所示．

推論3已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)分別為F，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn)，圓M是以PF為直徑的圓，則圓M總與定直線x=0相切．

證明由命題3，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為MF，而MF=rM，說明圓M總與定直線x=0相切,如圖8．

以上探究揭示了圓錐曲線共有的一組性質(zhì)，幫助我們進(jìn)一步認(rèn)清問題的本質(zhì),因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)思考，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(如幾何畫板演示)總結(jié)歸納出可能成立的一些命題，再通過代數(shù)推理給出證明．