陳長(zhǎng)青，解永春

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

交會(huì)對(duì)接自由漂移軌跡安全性判斷研究

陳長(zhǎng)青1，2，解永春1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

針對(duì)長(zhǎng)方形禁飛區(qū)下，近距離交會(huì)對(duì)接過(guò)程提出任意初始狀態(tài)下軌跡安全的判斷方法.先分析CW方程描述下相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的性質(zhì)，通過(guò)分析軌跡與禁飛區(qū)最可能相交的特征點(diǎn)的分析和軌跡越過(guò)禁飛區(qū)相交問(wèn)題的判斷，判斷軌跡是否安全.仿真結(jié)果表明所提出的安全判斷方法能準(zhǔn)確給出軌跡是否安全的結(jié)論，且算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小.

交會(huì)對(duì)接;軌跡安全判斷;長(zhǎng)方形禁飛區(qū);CW方程

空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)難度大，系統(tǒng)復(fù)雜，盡管采取了各種措施，失敗仍時(shí)有發(fā)生.近十年的交會(huì)對(duì)接試驗(yàn)中，有日本的工程試驗(yàn)衛(wèi)星 ETS-VII[1]、美國(guó)的DART衛(wèi)星等因?yàn)楣收嫌绊懭蝿?wù)進(jìn)行或提前終止任務(wù).所以在交會(huì)對(duì)接過(guò)程中，特別是在自動(dòng)、自主交會(huì)對(duì)接過(guò)程中，軌跡安全是一個(gè)重要的課題[2].文獻(xiàn)[3]給出了V-bar(軌道坐標(biāo)系中衛(wèi)星飛行方向所在的坐標(biāo)軸)接近時(shí)軌跡被動(dòng)安全的速度分布圖，并比較了相同速度大小下 V-bar和R-bar(軌道坐標(biāo)系中指向地心的坐標(biāo)軸)接近兩種方式中，軌跡安全區(qū)域大小的關(guān)系.文獻(xiàn)[4]研究了一種路徑規(guī)劃工具，利用該工具可以設(shè)計(jì)觀察照相機(jī)在空間站附近從對(duì)接點(diǎn)到特殊觀察點(diǎn)，以及返回過(guò)程中的安全軌跡.文獻(xiàn)[5]以+V-bar逼近為例，針對(duì)長(zhǎng)方形禁飛區(qū)和球形禁飛區(qū)，給出了被動(dòng)安全模式和主動(dòng)安全模式及其規(guī)避機(jī)動(dòng)的設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[6]研究了交會(huì)對(duì)接過(guò)程中V-bar負(fù)方向單脈沖撤離的軌跡安全問(wèn)題，給出了V-bar軸上徑向相對(duì)速度不為零時(shí)的兩類(lèi)軌跡安全時(shí)的充分必要條件.文獻(xiàn)[7]針對(duì)交會(huì)對(duì)接長(zhǎng)方形禁飛區(qū)提出兩類(lèi)撤離模式，并分析與禁飛區(qū)最可能相交的點(diǎn)的特征，通過(guò)兩個(gè)定理給出這兩類(lèi)撤離模式自由漂移軌跡安全的充分必要條件.

有不少學(xué)者在研究最優(yōu)脈沖交會(huì)中，把軌跡安全當(dāng)作一個(gè)約束，利用數(shù)值方法獲得安全的最優(yōu)脈沖解.文獻(xiàn)[8]利用線(xiàn)性?xún)?yōu)化方法研究了存在“xsafe”安全約束下的V-bar接近過(guò)程中的燃料優(yōu)化問(wèn)題.文獻(xiàn)[9]利用包含離散環(huán)節(jié)的線(xiàn)性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)了存在避免碰撞和羽流影響約束下的飛行軌跡.文獻(xiàn)[10]介紹了一種避碰約束下在線(xiàn)優(yōu)化交會(huì)軌跡的方法，并提出凸的避碰公式加快在線(xiàn)計(jì)算速度.文獻(xiàn)[11]和[12]在研究多目標(biāo)最優(yōu)交會(huì)中，把兩航天器的最小的相對(duì)距離作為其中的一個(gè)約束，保證求得的軌跡是安全的.

在交會(huì)對(duì)接過(guò)程中，對(duì)軌跡安全性的判斷也是一個(gè)重要內(nèi)容.只有在短時(shí)間內(nèi)正確地完成對(duì)軌跡的安全判斷，才能采取有效的措施避免事故發(fā)生.文獻(xiàn)[3-7]只能針對(duì)一些特殊的情況設(shè)計(jì)安全軌跡，文獻(xiàn)[8-12]利用數(shù)值計(jì)算的方法研究軌跡安全約束下的最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題，計(jì)算量大.這些文獻(xiàn)的研究都在建立在CW方程的基礎(chǔ)上，所以針對(duì)CW方程描述的近距離交會(huì)對(duì)接過(guò)程提出一種簡(jiǎn)單有效的軌跡安全判斷方法是必要的.

本文將研究長(zhǎng)方形禁飛區(qū)下、任意初始相對(duì)狀態(tài)的自由漂移軌跡的安全判斷問(wèn)題，通過(guò)對(duì)一些特征點(diǎn)的分析和相交問(wèn)題判斷，提出一種簡(jiǎn)單有效的軌跡安全判斷方法.

1 動(dòng)力學(xué)方程和問(wèn)題描述

本文研究近距離交會(huì)對(duì)接過(guò)程中的軌跡安全判斷問(wèn)題，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以用CW方程來(lái)描述.對(duì)CW坐標(biāo)系的定義如下:參考系建立在目標(biāo)航天器質(zhì)心，X軸正方向沿目標(biāo)航天器的飛行負(fù)方向，Z軸正方向指向地心，Y軸方向、X軸方向和Z方正向滿(mǎn)足右手定則.可以得到自由漂移在軌道平面內(nèi)的CW方程[2]如下:

其中ω為參考軌道的軌道角速度.記αt=ωt，t為交會(huì)時(shí)間，αt稱(chēng)為相位角，當(dāng)初始相對(duì)狀態(tài)為 x0，z0，˙x0，˙z0時(shí)，式(1)的解析解為:

記:

則式(2)可寫(xiě)成:

其中，

式(4)寫(xiě)成移動(dòng)橢圓的形式如下:

以目標(biāo)航天器質(zhì)心為中心建立長(zhǎng)方形禁飛區(qū)，如圖1，陰影部分為禁飛區(qū)，禁飛區(qū)在X軸方向的長(zhǎng)度為2a，在Z軸方向的寬度為2b.軌跡是安全的，是指自由漂移軌跡在任意時(shí)刻都不能與禁飛區(qū)相交.

由式(4)可知，若軌跡上存在滿(mǎn)足˙x(αt)=0的點(diǎn)，必須|3a2|≦ 2a3，否則|3a2|＞2a3.把滿(mǎn)足|3a2|＞2a3的軌跡定義為第Ⅲ類(lèi)軌跡.當(dāng)˙x(αt)=0時(shí)，z(αt)=a2/2.根據(jù)滿(mǎn)足˙x(αt)=0時(shí)軌跡上點(diǎn)的徑向位置與禁飛區(qū)的關(guān)系，定義滿(mǎn)足|3a2|≦2a3且|a2≦2b的軌跡為第Ⅰ類(lèi)軌跡，滿(mǎn)足|3a2|≦2a3且|a2＞2b的軌跡為第Ⅱ類(lèi)軌跡.第Ⅰ類(lèi)軌跡、第Ⅱ類(lèi)軌跡、第Ⅲ類(lèi)軌跡包含了利用CW方程描述的所有軌跡.

表1 軌跡分類(lèi)

圖1 禁飛區(qū)下的安全軌跡

圖2 a2≠0時(shí)的兩類(lèi)自由漂移軌跡

由式(6)可知，當(dāng)a2=0時(shí)，自由漂移軌跡為一封閉橢圓.當(dāng)a2≠0時(shí)，自由漂移軌跡只有兩種形狀，如圖2，兩種曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)都存在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且只有一個(gè)開(kāi)口.當(dāng)a2＜0時(shí)，自由漂移軌跡往X軸正方向移動(dòng)，開(kāi)口部分朝下(圖2中上方的圖);當(dāng) a2＞0時(shí)開(kāi)口部分朝上(圖2中下方的圖)，自由漂移軌跡向X軸負(fù)方向移動(dòng).

下面將根據(jù)a2的大小分3種情況研究軌跡的安全判斷方法.當(dāng)a2=0時(shí)，自由漂移軌跡為封閉橢圓，其安全性容易判斷.從式(2)可以看出，當(dāng)a2≠0時(shí)，初始相對(duì)狀態(tài)為x0，z0，˙x0，˙z0和-x0，-z0，-˙x0，-˙z0的兩組曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)的，所以滿(mǎn)足a2＜0的自由漂移軌跡的安全判斷規(guī)則很容易推廣到a2＞0的情況下.a2≠0時(shí)的軌跡安全判斷主要包括如下兩個(gè)內(nèi)容:(1)通過(guò)對(duì)極值型特征點(diǎn)進(jìn)行分析判斷軌跡的安全性;(2)當(dāng)從極值型特征點(diǎn)無(wú)法確定軌跡的安全性時(shí)，需要通過(guò)相交問(wèn)題判斷確定軌跡的安全性.

2 極值型特征點(diǎn)和相交問(wèn)題判斷

2.1 極值型特征點(diǎn)及其性質(zhì)

先考慮a2＜0時(shí)的情況，如圖3，分別定義第Ⅰ類(lèi)軌跡、第Ⅱ類(lèi)軌跡和第Ⅲ類(lèi)軌跡對(duì)應(yīng)的極值型特征點(diǎn)，并分析這些特征點(diǎn)的性質(zhì).

圖3 a2＜0時(shí)的極值型特征點(diǎn)

容易分析α1在第一象限，α2在第二象限.對(duì)于確定的初始相對(duì)狀態(tài)，α1，α2可以通過(guò)式(7)求得.

對(duì)于第Ⅱ類(lèi)軌跡，滿(mǎn)足˙x(αt)=0的極值點(diǎn)的徑向位置|z(αt)|＞b，不可能落入禁飛區(qū)，所以我們考慮滿(mǎn)足z(αt)=-b時(shí)的特征點(diǎn)，并定義為第Ⅱ類(lèi)軌跡的極值型特征點(diǎn).如圖3，相位角為 α3，α4的點(diǎn)是軌跡上的兩個(gè)極值型特征點(diǎn)，由式(4)可以得到:可以分析得到:α3在第一象限，α4在第二象限.對(duì)于確定的初始相對(duì)狀態(tài)，可以通過(guò)式(8)求得α3，α4.

對(duì)于第Ⅲ類(lèi)軌跡，當(dāng) a2＜0時(shí)滿(mǎn)足-3a2＞2a3.由式(4)可知，當(dāng)αt=2kπ+π/2時(shí)，|˙x(αt)|取到最小值.由式(4)知，當(dāng) αt=π/2 時(shí)，z(αt)=2a2+a3.若z(αt)≥ -b，則把軌跡上相位角為 2kπ+π/2的點(diǎn)定義為極值型特征點(diǎn)，k為整數(shù)，其相位角用α1，α2表示.若 z(αt)＜-b，則把軌跡上滿(mǎn)足 z(αt)=-b的點(diǎn)定義為極值型特征點(diǎn)，其相位角用 α3，α4表示，與第Ⅱ類(lèi)軌跡一樣，相位角 α3，α4可以由式(8)求得.

上述3種軌跡中，在求出相位角 α(α=α1，α2，α3，α4)后，通過(guò)式(9)可以求得該特征點(diǎn)在 X軸方向?qū)?yīng)的相對(duì)位置 Xα(Xα=Xα1，Xα2，Xα3，Xα4):記 Xα1，Xα3為 Xmin0，Xα2，Xα4為 Xmax0，進(jìn)一步可以求得Xmin1=Xmin0-6a2π.通過(guò)判斷 Xmax0、Xmin0與 a， -a 的關(guān)系確定軌跡的安全性.

a2＞0時(shí)軌跡上的極值型特征點(diǎn)及其性質(zhì)與a2＜0時(shí)的類(lèi)似，如圖4.對(duì)于第Ⅰ類(lèi)軌跡，其極值型特征點(diǎn)滿(mǎn)足˙x(αt)=0，相位角同樣滿(mǎn)足式(7)，即sinα1=sinα2=-3a2/2a3，但是 α1在第三象限，α2在第四象限.對(duì)于第 II類(lèi)軌跡，在極值型特征點(diǎn)處滿(mǎn)足 z(αt)=b，其相位角為 α3，α4，且滿(mǎn)足式(10):α3在第三象限，α4在第四象限.對(duì)于第Ⅲ類(lèi)軌跡，滿(mǎn)足3a2＞2a3.先由式(4)計(jì)算 αt=3π/2時(shí)對(duì)應(yīng)的z(αt)，若 z(αt)≦b，定義軌跡上相位角為2kπ+3π/2時(shí)的點(diǎn)為極值型特征點(diǎn)，其相位角記為 α1，α2，k為整數(shù).若z(αt)＞b，則定義軌跡上滿(mǎn)足 z(αt)=b的特征點(diǎn)為極值型特征點(diǎn)，其相位角為 α3，α4，與第II類(lèi)軌跡一樣可以由式(10)求得.

圖4 a2＞0時(shí)的極值型特征點(diǎn)

根據(jù)相位角的正弦值以及其所在的象限可以求出相位角，同樣可以利用式(9)求得極值型特征點(diǎn)在X軸方向的相對(duì)位置.并記 α1或 α3對(duì)應(yīng)的相對(duì)位置為 Xmax0，α2或 α4對(duì)應(yīng)的相對(duì)位置為 Xmin0，進(jìn)一步可以求得 Xmax1=Xmax0-6a2π.通過(guò)判斷 Xmax0、Xmin0與a，-a的關(guān)系確定軌跡的安全性.

2.2 相交問(wèn)題判斷

在禁飛區(qū)附近，在自由漂移軌跡穿越禁飛區(qū)的過(guò)程中，需要對(duì)如圖5所示的可能與禁飛區(qū)相交的特征點(diǎn)進(jìn)行判斷來(lái)確定軌跡的安全性，稱(chēng)之為相交問(wèn)題判斷.

圖5 相交問(wèn)題判斷

具體的判斷過(guò)程如下:

先考慮 a2＜0的情況，如圖5，相位角為 αj1，αj2的特征點(diǎn)滿(mǎn)足 sinαji=(b-2a2)/a3，αj1在第一象限，αj2在第二象限，在初始相對(duì)狀態(tài)已知時(shí)，顯然αj1，αj2容易求得.類(lèi)似的相位角為 αj3，αj4的特征點(diǎn)滿(mǎn)足sinαji=(-b-2a2)/a3，i=3，4，αj3在第二或第三象限，αj4在第一或第四象限.對(duì)于一組確定的初始條件，αj3，αj4只能在一個(gè)確定的象限內(nèi)，可以求得 αj3，αj4.在求得相位角 αji，i=1，2，3，4 后，通過(guò)式(11)可以求得這些特征點(diǎn)在X軸方向的相對(duì)位置Xji(i=1，2，3，4).

若任意的一個(gè)Xji滿(mǎn)足 -a≦Xji≦a，則軌跡與禁飛區(qū)相交，是不安全的.

在相交問(wèn)題判斷之前，需要先確定自由漂移軌跡在越過(guò)禁飛區(qū)過(guò)程中包含禁飛區(qū)的圈數(shù):

Floor為取整函數(shù)，則進(jìn)行 M次的 4個(gè) Xji(i=1，2，3，4)的判斷可確定軌跡是否安全.在判斷過(guò)程中，在某些情況下只需對(duì)部分的Xji進(jìn)行判斷就能確定軌跡的安全性.

a2＞0時(shí)的相交問(wèn)題判斷與a2＜0時(shí)類(lèi)似，但存在如下兩點(diǎn)區(qū)別.第一，在求特征點(diǎn)相位角的過(guò)程中，相位角所在的象限不同，即 αj1在第一或第四象限，αj2在第二或第三象限，αj3在第三象限，αj4在第四象限;第二，在求解軌跡包含禁飛區(qū)的圈數(shù)時(shí)，式(12)應(yīng)該改為:

2.3 固定橢圓軌跡的安全判斷

當(dāng)a2=0時(shí)，軌跡是一個(gè)中心在 X軸上的封閉橢圓，其在X軸方向的最大、最小值為:

若Xmin＞a或 Xmax＜-a成立，則軌跡安全;若 -a≦Xmin≦a或 -a≦Xmax≦a成立，則軌跡不安全;若Xmin＜-a且 Xmax＞a，通過(guò)式(15)求解 x(αt)=a和x(αt)=-a時(shí)的 z(αt)2:

若Z-P1＞b2，Z-P2＞b2成立則軌跡是安全的，否則軌跡不安全.

3 仿真分析

在仿真中，任意給出一組初始相對(duì)狀態(tài)，通過(guò)本文提出的軌跡安全判斷方法給出軌跡是否安全的結(jié)論.包括兩個(gè)仿真，即一個(gè)具體軌跡安全判斷算例以及一組徑向位置和切向速度不同的軌跡安全判斷算例.在第二個(gè)仿真中，軌跡安全判斷的結(jié)果以表格的形式出現(xiàn)，其中“1”表示不安全，“0”表示安全.在仿真過(guò)程中，參考坐標(biāo)系的軌道角速度ω=0.00113 rad/s，禁飛區(qū)參數(shù) a=50m，b=50m.

仿真1.具體的軌跡安全判斷算例

自由漂移軌跡的初始相對(duì)狀態(tài)為x0=-160m，z0=10m，˙x0=-0.035m/s，˙z0=-0.1m/s，通過(guò)以下步驟判斷該軌跡的安全性.

(1)計(jì)算參數(shù)a2=-10.9735;

(2)軌跡滿(mǎn)足 -2b＜a2＜0，x0＜-a，屬于第Ⅰ類(lèi)軌跡，選擇相位角為α1，α2的極值型特征點(diǎn)，先求出特征點(diǎn)的相位角，再求特征點(diǎn)在X軸方向?qū)?yīng)的相對(duì)位置:Xmin0=-162.6619，Xmax0=322.8764，Xmin1=44.1828，顯然有 -a≦Xmin1≦a，所以軌跡是不安全的.

圖6是該軌跡的運(yùn)動(dòng)圖形，可以看到自由漂移軌跡進(jìn)入禁飛區(qū)，是不安全的，與軌跡安全判斷方法得到的結(jié)果是一致的.

圖6 軌跡安全判斷算例

仿真2.徑向位置和切向速度不同時(shí)的三組軌跡安全判斷仿真算例

第一次仿真的初始相對(duì)狀態(tài)為x0=100m，z0=0m，˙x0=-0.02m/s，˙z0=0m/s，進(jìn)行3組24次的仿真，如表 2～表 4，三組仿真中 z0分別滿(mǎn)足 z0=-5m，z0=0m，z0=5m，每組的8次仿真中第一次仿真的˙x0=-0.02m/s，從第二次仿真開(kāi)始，每次仿真的˙x0在前一次仿真的˙x0上增加0.005m/s，其他的初始相對(duì)狀態(tài)不變，判斷結(jié)果如下:

從表 2～4可以看到，滿(mǎn)足 a2＜0，a2=0，a2＞0的三類(lèi)軌跡都出現(xiàn)了，對(duì)每次的仿真進(jìn)行驗(yàn)證，可以看到判斷結(jié)果是正確的.

表2 仿真2中z0=-5m時(shí)的軌跡安全判斷結(jié)果

表3 仿真2中z0=0m時(shí)的軌跡安全判斷結(jié)果

表4 仿真2中z0=5m時(shí)的軌跡安全判斷結(jié)果

從上面兩組仿真上看，本文提出的軌跡安全判斷方法，能根據(jù)軌跡的初始相對(duì)狀態(tài)有效地判斷出軌跡的安全性.該判斷方法只需進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的判斷、代數(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算，計(jì)算量很小.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)長(zhǎng)方形禁飛區(qū)，提出任意初始相對(duì)狀態(tài)下，通過(guò)對(duì)極值型特征點(diǎn)的分析和相交問(wèn)題判斷的軌跡安全判斷方法.該方法只需要進(jìn)行一些三角函數(shù)運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算就能完成軌跡安全的判斷，算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小.仿真結(jié)果表明本文提出的軌跡安全的判斷方法，能根據(jù)軌跡的初始相對(duì)狀態(tài)，給出軌跡是否安全的結(jié)論，且算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小.

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Safety Estim ation of the Trajectory of Rendezvous and Docking

CHEN Changqing1，2， XIE Yongchun1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

An approach for estimating the safety of trajectories with arbitrary initial relative states for rectangular keep-out-zone during the rendezvous phase is proposed in this paper.The relative motions are described by CW equations， based on which the problem of safety estimation is analyzed.Then， the extremum characteristic points and their properties are analyzed， and the judgment of the“intersection problem”is also presented.Simulation results show that the proposed method is simple and effective in getting the proper judgement of the trajectory’s safety.

rendezvous and docking;estimation of trajectory’s safety;rectangular keep-out-zone;CW equation

V249

A

1674-1579(2011)06-0047-05

DO I:10.3969/j.issn.1674-1579.2011.06.008

2011-07-13

陳長(zhǎng)青(1979—)，男，福建人，工程師，研究方向?yàn)榻粫?huì)對(duì)接的制導(dǎo)和控制(e-mail:changqingchen@hotmail.com).