李貴明，劉良棟

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

剛體衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間控制*

李貴明1，2，劉良棟1

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

針對(duì)剛體衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)了不存在和存在擾動(dòng)力矩兩種條件下的有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制律.對(duì)于無擾動(dòng)力矩情形，基于非線性齊次系統(tǒng)性質(zhì)，設(shè)計(jì)了一種便于工程實(shí)踐性的連續(xù)、非奇異的比例微分形式控制算法，保證姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間收斂到零點(diǎn)，而且此算法能直接推廣到衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題.對(duì)于存在擾動(dòng)力矩的情形，基于有限時(shí)間Lyapunov定理設(shè)計(jì)的連續(xù)、非奇異的控制力矩保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的部域.當(dāng)外擾力矩為零時(shí)，此控制律使閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn).數(shù)學(xué)仿真結(jié)果說明了提出的控制算法有效.

衛(wèi)星姿態(tài)控制；有限時(shí)間穩(wěn)定；擾動(dòng)力矩；非奇異

衛(wèi)星姿態(tài)控制是自動(dòng)控制領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)重要的研究方向.近年來，該領(lǐng)域取得了許多成果，如 PD形式的姿態(tài)控制[1]，滑動(dòng)模態(tài)控制[2]，自適應(yīng)控制[1，3]，基于無源性的欠角速度測量條件下姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)[4-5]、四元數(shù)觀測器設(shè)計(jì)[6]，擾動(dòng)抑制問題[7]和姿態(tài)同步控制問題[8].

上述的閉環(huán)控制系統(tǒng)固然是穩(wěn)定的，但遺憾的是僅僅取得了漸近穩(wěn)定性，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)要在時(shí)間趨于無窮大時(shí)才能收斂到零.比較系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間可知，有限時(shí)間控制律具有更好的動(dòng)態(tài)性能以及良好的魯棒穩(wěn)定性和擾動(dòng)抑制效果[9-10].由于文獻(xiàn)[11]中的有時(shí)時(shí)間控制律的不連續(xù)性可能導(dǎo)致顫振問題，Haimo設(shè)計(jì)了雙積分系統(tǒng)的時(shí)不變連續(xù)狀態(tài)反饋控制器[12]，但此控制量無上限，而且僅適合此類形式的被控對(duì)象[13].因此，文獻(xiàn)[13]基于Lyapunov有時(shí)時(shí)間穩(wěn)定性定理[14]設(shè)計(jì)了雙積分系統(tǒng)有上限的全局有限時(shí)間連續(xù)狀態(tài)反饋控制器.Hong[15]基于有限時(shí)間觀測器研究了雙積分系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出反饋控制問題，而且設(shè)計(jì)的控制器對(duì)于滿足一定條件的一類不確定性或外部擾動(dòng)具有魯棒性.此外，Hong還解決了一類鏈狀系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題[16]，Huang[17]基于文獻(xiàn)[18]的研究設(shè)計(jì)了一類具有不確定性的鏈狀單積分系統(tǒng)的有限時(shí)間控制器.

有限時(shí)間控制技術(shù)應(yīng)用方面，Hong[19]設(shè)計(jì)了機(jī)械臂系統(tǒng)的PD形式有限時(shí)間控制器，Su將其擴(kuò)展到跟蹤情況[20].對(duì)于衛(wèi)星姿態(tài)控制問題，文獻(xiàn)[21]和[22]均借用滑動(dòng)模態(tài)設(shè)計(jì)控制器，但很明顯，這些控制器因存在誤差變量的負(fù)次冪而具有奇異性，亟待改善.而且，[22]僅能保證性能收斂在滑模面附近.Ding[23]解決了有擾條件下衛(wèi)星姿態(tài)有限時(shí)間調(diào)節(jié)問題，然而，其設(shè)計(jì)方法僅適合于對(duì)角形式的慣量陣，且控制算法不具有連續(xù)性，設(shè)計(jì)復(fù)雜，因此，有必要進(jìn)一步研究衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間控制問題.

為改善前述[21-23]的剛體衛(wèi)星姿態(tài)有限時(shí)間控制律不連續(xù)、存在奇異性、設(shè)計(jì)復(fù)雜、應(yīng)用范圍嚴(yán)重受限的弊端，本文研究了形式簡單、具有連續(xù)性和非奇異性的剛體衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)問題，提出了不存在擾動(dòng)力矩和存在擾動(dòng)力矩兩種條件下的有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制律.針對(duì)理想無擾情形，基于非線性齊次系統(tǒng)性質(zhì)設(shè)計(jì)的比例微分形式(PD)控制算法，保證了閉環(huán)姿態(tài)控制系統(tǒng)有限時(shí)間收斂到零點(diǎn).連續(xù)、非奇異的有限時(shí)間PD控制器一般化了傳統(tǒng)PD控制器，當(dāng)冪指數(shù)為1時(shí)，有限時(shí)間退化為漸近穩(wěn)定控制器，即說明基于無源性設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)PD控制律為有限時(shí)間控制算法的特例；針對(duì)存在擾動(dòng)力矩的情形，基于有限時(shí)間Lyapunov定理設(shè)計(jì)的控制力矩保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的鄰域.此有限時(shí)間控制器不僅具有連續(xù)性、非奇異性的特點(diǎn)，而且設(shè)計(jì)過程簡單，適合于更具一般性(慣量矩陣非對(duì)角形式)的衛(wèi)星系統(tǒng).

1 系統(tǒng)與問題描述

1.1 有限時(shí)間穩(wěn)定定理

首先給出有限時(shí)間穩(wěn)定的相關(guān)定義[10].考慮如下的非線性系統(tǒng)

式中，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)=0.如果系統(tǒng)(1)是Lyapunov穩(wěn)定的，而且，存在一個(gè)時(shí)間函數(shù)T(x)，使得對(duì)于所有的 t≥ T(x)，有 x(t)=0，則稱系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間穩(wěn)定的；如果具有全局性，則稱全局有限時(shí)間穩(wěn)定.

為便于后續(xù)分析，這里引入齊次函數(shù)的定義.對(duì)于連續(xù)函數(shù) V(x)和 ( r1，…，rn)∈ Rn，ri＞0，如果對(duì)于任意的ε＞0，存在標(biāo)量k，滿足

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于 ( r1，…，rn)具有齊次度k.

引理1[10].如果系統(tǒng)(1)具有負(fù)的齊次度，即k＜0，并且其原點(diǎn)具有漸近穩(wěn)定性，那么系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

引理2[15].對(duì)于系統(tǒng)=f(x)+(x)，f(x)關(guān)于( r1，…，rn)具有負(fù)的齊次度 k，同時(shí)(0)=0.假設(shè)x=0為=f(x)的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，同時(shí)

對(duì)于任意x≠0成立，那么x=0為此系統(tǒng)的一個(gè)局部有限時(shí)間平衡點(diǎn).

引理3[14].考慮系統(tǒng)(1)，如果存在一個(gè)定義在含原點(diǎn)的開集amp;上的連續(xù)正定函數(shù)V，且存在實(shí)數(shù)k＞0和 α∈ ( 0，1)，使得+k≤0 ，則系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，而且調(diào)節(jié)時(shí)間的一個(gè)估計(jì)值為

引理4[17-18].對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，以及正實(shí)數(shù)c和d，存在如下關(guān)系

令b=p/q≤1，其中p和q都是正奇數(shù)，那么

對(duì)于0＜a≤1，存在

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)

本文采用修正羅德里格斯參數(shù)[5，24](MRP)描述剛體衛(wèi)星相對(duì)于慣性坐標(biāo)系I的姿態(tài).定義衛(wèi)星姿態(tài)為，那么基于MRP的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

表示 σ的反對(duì)稱矩陣.為解決 MPR在±2π處的奇異性問題，文獻(xiàn)[25-26]闡述了原始集σ與相應(yīng)的映射集σs相結(jié)合的方法，即定義映射集 σs=-σ/(σT)σ，當(dāng)時(shí)將σ映射到σs上，故而對(duì)于任意變化的姿態(tài)角，使σ或σs處于單位圓內(nèi).需要指出的是，σ和σs描述相同的衛(wèi)星物理姿態(tài)，而且σs同樣滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(8)，即=Gσ( )sω.因此，僅通過研究即可實(shí)現(xiàn)MRP的全局非奇異性.

剛體衛(wèi)星在其本體坐標(biāo)系B下的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

定義期望的衛(wèi)星姿態(tài)指令為 σd，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系為D，記衛(wèi)星相對(duì)于姿態(tài)指令的姿態(tài)誤差為，則有

式中，R(·)為方向余弦矩陣.定義期望的衛(wèi)星角速度為ωd，記衛(wèi)星相對(duì)于角速度指令的誤差=ω-R()ωd，則衛(wèi)星姿態(tài)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

相應(yīng)的姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)方程為

本文的控制問題描述為：在不存在外擾力矩情況下設(shè)計(jì)衛(wèi)星姿態(tài)連續(xù)、非奇異的有限時(shí)間控制律，保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)；當(dāng)存在外擾力矩時(shí)，設(shè)計(jì)連續(xù)、非奇異的有限時(shí)間衛(wèi)星姿態(tài)控制律，保證姿態(tài)和角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)鄰域.

2 無擾動(dòng)作用時(shí)的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(8)可寫為

設(shè)計(jì)PD形式的控制力矩

式中，0 ＜α1＜1，α2=2α1/1+α( )

1，k1、k2為增益，sign(·)為符號(hào)函數(shù)，的運(yùn)算規(guī)則為

式(14)代入式(9)，得閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

即

性質(zhì)1.系統(tǒng)(17)

是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證明.取備選Lyapunov函數(shù)

那么

式中， r2α2=r1α1.取 r1α1-r2=r2-r1，那么對(duì)于r2=1則有，且.因此，系統(tǒng)(17)具有負(fù)的齊次度 k，根據(jù)引理1，系統(tǒng)(17)的平衡點(diǎn) σT，ω(T)T=0具有有限時(shí)間穩(wěn)定性.證畢.

對(duì)于任意的 σT，ω

(T)T≠0，考慮到

同理有

又由于

則根據(jù)引理2， σT，ω(T)T=0是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(8)和(9)的有限時(shí)間平衡點(diǎn).上述的分析得到本文第一個(gè)結(jié)論.

定理1.針對(duì)無擾動(dòng)力矩作用的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(8)和(9)，設(shè)計(jì)的連續(xù)、非奇異 PD形式有限時(shí)間控制器(14)，保證了姿控系統(tǒng)的所有信號(hào)有界，而且閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)具有有限時(shí)間穩(wěn)定性.

注1.控制律(14)具有連續(xù)、非奇異的特點(diǎn)，而且形式簡單，不受被控對(duì)象特點(diǎn)限制，因此，式(14)是無擾動(dòng)力矩作用時(shí)最具工程實(shí)踐性的有限時(shí)間控制器.

注2.當(dāng)參數(shù)α1=1時(shí)，式(14)特殊化為傳統(tǒng)形式的PD控制器τ=-k1σ-k2ω，可見，漸近穩(wěn)定控制律可視為有限時(shí)間控制律在T→∞時(shí)的特例.但由于我們并未找到直接的Lyapunov函數(shù)，即上述的證明過程不同于傳統(tǒng)PD控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性證明，因此，僅通過上面的分析還不能嚴(yán)格地從理論上說明有限時(shí)間穩(wěn)定的全局性，而且不能對(duì)存在外部擾動(dòng)力矩的情況進(jìn)行分析.當(dāng)然，如果擾動(dòng)力矩滿足

式中，d1和d2為正實(shí)數(shù).那么，基于上述分析過程仍然可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性.

注3.設(shè)計(jì)的PD形式的控制算法容易推廣到姿態(tài)跟蹤問題.即

定理2.對(duì)任意給定的時(shí)變姿態(tài)指令σd，控制力矩保證姿控系統(tǒng)所有信號(hào)有界，并且，衛(wèi)星姿態(tài)能在有限時(shí)間 T內(nèi)跟蹤 σd，即當(dāng) t≥ T時(shí)，

為分析更具一般性的擾動(dòng)力矩作用下衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)特性，引入下一節(jié)的內(nèi)容.

3 存在擾動(dòng)力矩時(shí)的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)外擾力矩d≠0時(shí)，我們基于一類非線性系統(tǒng)[18]和[17]提出的設(shè)計(jì)方法構(gòu)造 Lyapunov函數(shù)，并設(shè)計(jì)控制力矩，保證衛(wèi)星姿態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)鄰域；對(duì)于其特例d=0，可知衛(wèi)星姿態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn).為便于分析問題，我們首先假設(shè)d=0，然后擴(kuò)展到d≠0的情況.

基于上述變量設(shè)計(jì)控制力矩形如

式中，m＞0為待設(shè)計(jì)的控制增益.將控制力矩(28)代入姿態(tài)控制系統(tǒng)，得到閉環(huán)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性

定理3.衛(wèi)星姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)(29)的所有信號(hào)有界，而且，姿態(tài)角σ和角速度ω在有限時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)；當(dāng)控制律(28)中的σ和ω為誤差信號(hào)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)角對(duì)任意時(shí)變參考指令σd()t的有限時(shí)間跟蹤.

證明.對(duì)于，有

定義常數(shù)r()t=σTσ，則有r()t≥0，故上式可寫成

定義 ζ1=σ1，那么

取備選Lyapunov函數(shù)為V=bV1+W，b＞0，那么

性質(zhì)2.對(duì)于 i=1，…6，存在實(shí)數(shù) ci＞0，c=c1，…，c( )

6，定義向量則 有

由于

以及定積分中值定理

那么可得

式中，k=14/5·(2).

考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)特性(8)，以及約束 σ ＜1，可知上式中的第一項(xiàng)

那么

利用引理4，可知同理分析式(41)中的后兩項(xiàng).因此，性質(zhì)2成立.以一組保守的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，取

那么式(38)可以寫成

同時(shí)，對(duì)于V=bV1+W，由引理4可知

則顯然有

取參數(shù)α=4/5，根據(jù)引理4有

d≤ l，l＞0，則式(47)改寫為

下面研究存在上限的外部干擾力矩d時(shí)，系統(tǒng)特性.假設(shè) J-1上式描述了有限時(shí)間意義下的最終有界性問題，文獻(xiàn)[22]稱之為實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定.顯然，存在0＜β≤1，使得

下面借鑒文獻(xiàn)[9]和[23]的分析，估計(jì)姿態(tài)角σ和角速度ω的收斂區(qū)域.()ω∈Ω，那么根據(jù)

同理確定ω2和ω3的收斂區(qū)域，因此有ω∈Δ，Δ為

注意到0≤r()t＜1，故令r()t=0，即可得系統(tǒng)狀態(tài)收斂區(qū)域 Γ和 Δ的保守估計(jì)，進(jìn)而得到下述性質(zhì).

定理4.當(dāng)衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)中存在有上界約束的外擾力矩時(shí)，控制力矩(28)能保證姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而且，姿態(tài)角σ和角速度ω在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原定附近的鄰域內(nèi)，即當(dāng)時(shí)， 有σ()t∈ Γ，ω()t∈ Δ.

注4.上述的證明說明，文獻(xiàn)[17]的約束條件(其公式3.1)過于嚴(yán)格.也就是說，不確定項(xiàng)的約束條件可以不受限于上三角形式，即可以將基于反步法的有限時(shí)間控制技術(shù)推廣到更具一般性的一類非線性系統(tǒng).

注5.由于 r()t=σTσ，因此控制器(28)中參數(shù)具有時(shí)變特性，不便于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).可以通過直接取r=1進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，上述的證明過程仍然成立.本文直接采用文獻(xiàn)[17]中的指數(shù)次方，實(shí)際上，通過改變Lyapunov函數(shù)及相關(guān)變量定義中的指數(shù)次方，可以調(diào)節(jié)控制律(28)中的冪指數(shù).同漸近穩(wěn)定控制律一樣，控制律(28)同樣可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)增益的方式來縮小收斂區(qū)域，但可能存在控制量飽和問題.文獻(xiàn)[23]認(rèn)為，有限時(shí)間控制律的優(yōu)勢在于，能在保證控制不飽和的條件下，通過改變冪指數(shù)來減小系統(tǒng)狀態(tài)的收斂區(qū)域.盡管如此，控制律(28)飽和問題仍值得進(jìn)一步研究.

4 數(shù)值實(shí)例

取α1=0.5，k1=6，k2=10，則控制力矩(14)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)和角速度隨時(shí)間變化如圖1和圖2所示.

圖1 PD形式有限時(shí)間控制器作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖2 PD形式有限時(shí)間控制器作用下的衛(wèi)星角速度

取式(28)中m=50，約束飽和力矩為10N·m，則無擾動(dòng)力矩時(shí)衛(wèi)星姿態(tài)如圖3所示.設(shè)擾動(dòng)力矩為d(t)=8sin( 2πt)·[1.0，1.2，1.0]TN·m，則此時(shí)力矩(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)、角速度如圖4和圖5所示.

圖3 無擾動(dòng)力矩時(shí)控制律(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖4 存在擾動(dòng)力矩時(shí)控制律(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖5 存在擾動(dòng)力矩時(shí)控制律(28)作用下的衛(wèi)星角速度

6 結(jié) 論

本文研究了不存在和存在擾動(dòng)力矩兩種條件下，衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制律設(shè)計(jì)問題.對(duì)于無擾動(dòng)力矩情形，設(shè)計(jì)了便于工程實(shí)踐性的連續(xù)、非奇異的比例微分(PD)形式控制算法，保證了姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間收斂到零點(diǎn)；對(duì)于存在擾動(dòng)力矩的情形，基于有限時(shí)間Lyapunov定理設(shè)計(jì)的連續(xù)、非奇異的控制力矩能夠保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近的鄰域.然而，PD控制器形式下的有限時(shí)間Lyapunov函數(shù)還有待于尋求，其有限時(shí)間收斂的全局性還有待證明；基于構(gòu)造法設(shè)計(jì)的控制律存在著相對(duì)嚴(yán)重的飽和問題，也亟待解決.

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Finite Time Stabilization Method for the Rigid Spacecraft A ttitude Control

LIGuiming1，2， LIU Liangdong1
(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190，China；2.Science and and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

For the rigid spacecraft attitude control problem， amethod for designing the finite time controllers is proposed in this paper controllers are analyzed in the absence of disturbance and in the presence of disturbance.For the first case，based on the property of the nonlinear homogeneous system，a continuous and non-singular proportional-derivative(PD)controller is proposed to achieve the finite time convergence of the closed-loop attitude control system，and can be extended to the spacecraft attitude tracking problem.For the second case，we design a new continuous and non-singular controller is design on the basis of Lyapunov finite time theorem，such that the spacecraft attitude and angular velocity converge to a small neighborhood of the equilibrium point.If the disturbance vanishes，all the states will converge to the origin eventually.Last，numerical simulation is conducted to demonstrate the effectiveness of our proposed controller.

spacecraft attitude control； finite time control； disturbances torque；non-singular

V249

A

1674-1579(2011)03-0001-08

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.03.001

*CAST基金資助項(xiàng)目(CAST201105).

2011-02-10

李貴明(1983—)，男，黑龍江人，博士研究生，研究方向?yàn)閰f(xié)同控制、航天器姿態(tài)控制 (e-mail：hitlgm@163.com).