金朝紅，李槐樹，宋立忠

(海軍工程大學(xué)，湖北武漢430033)

0 引 言

當(dāng)前我國國民經(jīng)濟(jì)正處于結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時期，十二五規(guī)劃明確提出要對現(xiàn)有制造業(yè)進(jìn)行升級，大力發(fā)展先進(jìn)制造業(yè)。直線電動機(jī)行業(yè)作為基礎(chǔ)行業(yè)，直線電動機(jī)的發(fā)展對我國先進(jìn)制造業(yè)意義重大。1983年隨著價格相對低廉的釹鐵硼永磁材料研制成功，國內(nèi)外永磁電機(jī)的研究開發(fā)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到工業(yè)和民用電機(jī)上。永磁直線電動機(jī)(以下簡稱PMLM)具有體積小、能效高、噪聲小、結(jié)構(gòu)靈活和直驅(qū)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人、信息與自動化、汽車工業(yè)、磁懸浮列車等場合［1］。我國每年稀土產(chǎn)量的三分之二用于出口，剩下的三分之一用于電機(jī)的部分也很少，因此我國發(fā)展永磁直線電動機(jī)有巨大的潛力。由于PMLM的磁場不是閉合的，由此產(chǎn)生了邊端效應(yīng);永磁直線電動機(jī)直接驅(qū)動負(fù)載，對負(fù)載的變化比較敏感;此外，PMLM的機(jī)電參數(shù)是變化的，如動子質(zhì)量隨時間變化、電感隨位置而變化、電阻隨溫度變化;同時電動機(jī)的模型存在未建模和非線性動態(tài)，還存在不確定的外部干擾例如負(fù)載的變化、摩擦力的不確定性、電機(jī)推力的脈動等，這些干擾直接影響到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、極限環(huán)和低通帶寬［1］。上述問題使得永磁直線電動機(jī)的控制變得比較復(fù)雜。為了獲得永磁直線同步電動機(jī)高精度控制，必須采取有效的控制策略來抑制系統(tǒng)自身參數(shù)及外界環(huán)境變化產(chǎn)生的擾動，這就要求控制方法有很強(qiáng)的魯棒性。由于永磁直線電動機(jī)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性，采用線性系統(tǒng)的控制策略不能獲得良好的性能。學(xué)者們提出了很多控制策略，比如迭代學(xué)習(xí)控制［2］、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［3］、自適應(yīng)控制［4－5］、滑模控制［6］等。這些方法有其局限性，比如模糊規(guī)則庫的建立問題、滑?？刂频亩墩駟栴}、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法復(fù)雜性問題。這些問題限制了其應(yīng)用范圍。

本文將參數(shù)的不確定性看作系統(tǒng)的干擾，采用非線性L2控制策略，結(jié)合LMI方法，設(shè)計了L2控制器，使圓筒型永磁直線電動機(jī)系統(tǒng)在存在參數(shù)不確定性的情況下，在原點(diǎn)平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。

1 圓筒型永磁直線電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型

1.1 TPMLM的電流方程

我們僅考慮基波分量，在d－q軸坐標(biāo)系，圓筒型永磁直線電動機(jī)(以下簡稱TPMLM)的電流方程描述［7］:

式中:id、iq為TPMLM相電流;ud、uq為TPMLM相電壓;v為動子直線速度;τ為極距;Rs、Ld、Lq、Ψf分別為相電阻、d、q軸電感、永磁體基波磁勢過動子繞組磁鏈的實(shí)際值為其標(biāo)稱值，其變化量分別為ΔRs、ΔLd、ΔLq、ΔΨf，則有:

將式(2)代入式(1)，并令x=［x1x2］T=［id－idriq－iqr］T，idr、iqr為d、q軸電流的參考信號。TPMLM的電流狀態(tài)方程可變成:

式中:f(x)為單位矩陣，z表示評價信號，H∈ Rp×2，Δf=

在式(3)中，Δf表示由電機(jī)參數(shù)的變化引起的系統(tǒng)干擾，可以看出，Δf含有電流分量，因此Δf可以表示由電機(jī)參數(shù)變化引起的干擾的量化指標(biāo)。如果我們將電機(jī)參數(shù)的變化看作施加在電流控制系統(tǒng)上的干擾信號，將電機(jī)參數(shù)變化引起的電流變化看作干擾信號在系統(tǒng)輸出端的輸出量，則電機(jī)參數(shù)變化問題就變成了系統(tǒng)的干擾抑制問題，可以采用L2性能指標(biāo)來描述此干擾信號的抑制問題。

1.2 TPMLM的動力學(xué)模型

TPMLM的動力學(xué)模型如下:

式中:Cv為粘滯摩擦系數(shù);Fconcos(2Npz)為齒槽力;Fr為紋波推力;Fload為負(fù)載阻力;Ffsign(v)為靜摩擦力;m為動子質(zhì)量;Fem為電磁推力;v為動子速度;y為動子位移。

令:F=Fem－d，d=Ffsign(v)+Fcogcos(2Npz)+Fr+Fload并對式(4)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得:

TPMLM電磁推力模型如下:

式中:Kd為推力系數(shù);iq為q軸電流。

由上所述，TPMLM系統(tǒng)的模型如圖1所示。

圖1 TPMLM系統(tǒng)的模型

2 TPMLM電流控制系統(tǒng)設(shè)計

針對式(3)，對TPMLM的L2控制問題可以表述如下:對于給定的正數(shù)γ，求狀態(tài)反饋控制律:

使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下性能準(zhǔn)則:

(1)當(dāng)Δf(x，τ)=0時，閉環(huán)系統(tǒng)在x(0)=0處是全局漸近穩(wěn)定的;

(2)對于任意給定的T＞0，當(dāng)x(0)=0時，不等式:

成立。

由γ耗散性與L2性能準(zhǔn)則的關(guān)系可知，式(8)等價于以下耗散不等式:

其中:V(x)是正定的儲能函數(shù)。

由文獻(xiàn)［4－5］可知，如果存在半正定的儲能函數(shù)V(x)，滿足如下HJI不等式:

則閉環(huán)系統(tǒng)具有性能準(zhǔn)則(2)。本文以下部分將敘述如何將求解HJI問題轉(zhuǎn)化為求解LMI問題，同時使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足性能準(zhǔn)則(1)和(2)。

下面采用LMI方法設(shè)計TPMLM電流L2控制算法。

設(shè)V(x)=xTP－1x為儲能函數(shù)，其中P∈Rn×n，P=PT＞0，代入式(10)左邊，得:

易知存在D∈Rn×n，HTH=DTD成立，式(11)右邊乘以P2并將HTH=DTD代入得到:

則L=P－1RP－1。由式(10)～式(12)可知，當(dāng)R≤0時，?x即:

TPMLM電流閉環(huán)系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)(2)。

由式(13)和Shur定理可得:

當(dāng)w=0時，令儲能函數(shù)V(x)=xTP－1x為其Lyapunov函數(shù)，則:

由于P＞0，M＜0，所以V·(x)=2xTP－1MP－1x＜0，x≠0，又因?yàn)閂(x)是徑向無界的，所以閉環(huán)系統(tǒng)在x=0處全局漸近穩(wěn)定。因此TPMLM電流閉環(huán)系統(tǒng)具有性能準(zhǔn)則(1)。

因此，令式(3)的控制律為u(x)=B－1［MP－1x－f(x)］，TPMLM電流控制系統(tǒng)滿足性能準(zhǔn)則(2);由式(14)求得P、M滿足P＞0，M＜0，則TPMLM電流控制系統(tǒng)滿足性能準(zhǔn)則(1)。將式(3)代入可得:

M、P可由式(14)求解。

式(14)是非嚴(yán)格LMI，對于可行性問題，對應(yīng)的嚴(yán)格LMI的解也包含在其解集內(nèi)。因此求解非嚴(yán)格LMI的可行性問題，可求解對應(yīng)的嚴(yán)格LMI的可行性問題，在大多數(shù)情況下是可行的。運(yùn)用Matlab中的LMI工具箱或其他計算軟件容易求解。

圖2 圓筒型永磁直線電動機(jī)控制系統(tǒng)仿真模型

3 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證設(shè)計的控制律，針對一臺圓筒型TPMLM控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。樣機(jī)的主要參數(shù)解得由Matlab魯棒控制工具箱解式(14)得到則控制律得u=仿真時，電機(jī)參數(shù)的變化在±10%的范圍內(nèi)。設(shè)置的初始狀態(tài)為［idiq］′=［0 0］′，速度設(shè)為2 m/s，d軸電流設(shè)為0。仿真模型如圖2所示。電流控制器仿真模型采用S函數(shù)編寫，速度控制器和位置控制器采用PI控制算法。本文主要設(shè)計電流控制算法，不考慮動力學(xué)模型中的干擾d，分別對γ=0.1、γ=0.01的情況下進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

仿真結(jié)果歸納如下:

(1)在干擾抑制方面，L2控制器對電機(jī)參數(shù)變化的抑制效果很好，并且γ越小，電機(jī)參數(shù)的變化對電流的影響越小。

(2)在控制系統(tǒng)動態(tài)性能方面，電流輸出響應(yīng)速度很快，超調(diào)量很小，并且與γ的大小關(guān)系不大。

4 結(jié) 論

針對TPMLPM參數(shù)變化引起的干擾，設(shè)計了電流L2控制器。將TPMLPM的參數(shù)變化看作系統(tǒng)的干擾項(xiàng)，采用狀態(tài)空間法，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立包含干擾項(xiàng)的的TPMLPM模型，根據(jù)所建立的模型，將TPMLPM電流控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為L2控制標(biāo)準(zhǔn)問題;最后對于L2控制標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計問題，選取二次型函數(shù)作為HJI不等式存儲函數(shù)，采用線性矩陣不等式方法，推導(dǎo)出了電流控制器的解析表達(dá)式，并且證明了該閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。針對由于TPMLPM系統(tǒng)參數(shù)變化引起的不確定性，仿真和實(shí)驗(yàn)研究表明L2控制策略能夠抑制TPMLPM參數(shù)變化對電流的影響，實(shí)現(xiàn)了對電流的有效控制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了對電磁推力的有效控制，為圓筒型永磁直線電動機(jī)的直線運(yùn)動控制創(chuàng)造了重要條件。

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