朱思念, 王 剛

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 徐州 221008)

半直線上一類分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)邊值問(wèn)題解的存在性

朱思念, 王 剛

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 徐州 221008)

討論了一類半直線上分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)邊值問(wèn)題解的存在性,其中非線性項(xiàng)含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),通過(guò)建立合適的相對(duì)緊的判定準(zhǔn)則,結(jié)合Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了解的存在性．

分?jǐn)?shù)階; 無(wú)窮區(qū)間; 不動(dòng)點(diǎn)定理; 邊值問(wèn)題

0 引言

無(wú)窮區(qū)間上的邊值問(wèn)題起源于非線性橢圓方程對(duì)稱解的研究,由于無(wú)窮區(qū)間不具有緊性,給討論增加了一定難度,為此人們給出了一些判定相對(duì)緊的準(zhǔn)則[1].近些年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程引起了人們的廣泛興趣,出現(xiàn)了許多出色的成果[2-5], 然而很少有文章討論分?jǐn)?shù)階微分方程在無(wú)窮區(qū)間上解的存在性[6-8].在文[6]中,作者使用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合對(duì)角化原理,討論了如下無(wú)窮區(qū)間上有界解的存在性:

受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文考慮如下分?jǐn)?shù)階無(wú)窮區(qū)間耦合邊值問(wèn)題

(1)

和

(2)

為方便起見(jiàn),先給出一些預(yù)備知識(shí)和引理及假設(shè).

1 預(yù)備知識(shí)和引理

定義1[5]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中αgt;0,Γ(·)為gamma函數(shù).

定義2[5]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中αgt;0,Γ(·)為gamma函數(shù),n=[α]+1.

其中N=[α]+1

本文總假設(shè)以下條件成立:

(H) 存在非負(fù)函數(shù)a(t),b(t),c(t),k(t),l(t),m(t)∈L1(J)使得

且滿足

考慮空間

類似的有

由于無(wú)窮區(qū)間不具有緊性, 我們給出如下引理, 具體證明類似文獻(xiàn) [8] 的引理2.3.

引理2V?E為有界集, 即V={(x,y)∈E|‖(x,y)‖Elt;l}, 如果下列條件滿足:

有

其中t1,t2≥T.

引理3 假設(shè)條件(H)滿足, 則邊值問(wèn)題(1)(2)的解等價(jià)于以下積分方程

定義算子A(u,v)(t)=(A1(u,v)(t),A2(u,v)(t)), 其中

(3)

(4)

則邊值問(wèn)題(1)(2)的解等價(jià)于算子A的不動(dòng)點(diǎn).

證明利用引理1和邊界條件(2), 易得.

2 主要結(jié)果

下面給出本文的主要定理,所用的不動(dòng)點(diǎn)定理為Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理:

定理1 假設(shè)f,g∈C(J×R×R,R),條件(H)滿足,則邊值問(wèn)題(1)(2)至少存在一個(gè)解.

證明由(3)(4)易知

(5)

(6)

我們分3步證明:

(i) 取

令R=max{R1,R2},U={(u(t),v(t))∈E:‖(u(t),v(t))‖E≤R},則A:U→U.

(7)

(8)

故‖A(u,v)(t)‖E≤R

(ii) 令V是U的子集, 下證AV是相對(duì)緊的

令I(lǐng)?J是緊子區(qū)間,t1,t2∈I,t1lt;t2,則對(duì)任意的(u,v)∈V,我們有

(9)

又

(10)

由條件(H),

故對(duì)任意給定的εgt;0,存在常數(shù)L1gt;0,使得

(11)

(12)

(13)

選取Tgt;max{T1,T2},則對(duì)t1,t2≥T

另外有

則由引理2知AV相對(duì)緊.

(iii) 我們驗(yàn)證算子A的連續(xù)性

設(shè)((un(t),vn(t)),(u(t),v(t))∈U,且‖un-u‖X2→0,‖vn-v‖X1→0,則由(3)～(6)和條件(H),有

以及

故由Lebesgue控制收斂定理知算子A是連續(xù)算子.綜上,由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,可得邊值問(wèn)題(1),(2)在U中至少有一個(gè)解.

[1] Argarwal R P, O’Regan D. Infinite Interval Problems for Differential,Difference and Integral Equations?[M].Kluwer Academic, 2001.

[2] Bai Z B, Lv H S. Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation?[J].J Math Anal Appl, 2005,311: 495-505.

[3] Su X. Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations?[J].Appl Math Lett, 2009, 22: 64-69.

[4] Yang L,Chen H B. Unique positive solutions for fractional differential equation boundary value problem?[J].Appl Math Lett, 2010, 23: 1095-1098.

[5] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations?[M].Amsterdam, Elsevier B V, 2006.

[6] Arara A, Benchohra M, Hamidi N. Fractional order differential equations on unbounded domain?[J].Nolinear Anal, 2010, 72: 580-586.

[7] Zhao X K, Ge W G.Unbounded solutions for a fractional boundary value problem on the infinite interval?[J].Acta Appl Math, 2010, 109: 495-505.

[8] Su X, Zhang S Q.Unbounded solutions to a boundary value problem of fractinal order on the half-line?[J].Compu Math Appl, 2011, 61: 1079-1087.

[責(zé)任編輯：李春紅]

ExistenceResultforaCoupledSystemofFractionalOrderBoundaryValueProblemontheHalf-line

ZHU Si-nian, WANG Gang

(College of Science China University Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221008, China)

This paper deals with a boundary value problem of fractional order differential equation with the nonlinear term dependent on a fractional derivative of lower order on the semi-infinite interval.An appropriate criteria is established,such that we can use Schauder fixed point theorem to obtain the existence result for solution.

fractional order; infinite interval; fixed point theorem; boundary value problem

O175.8

A

1671-6876(2011)02-0099-07

2011-01-20

朱思念(1986-), 男, 山東濟(jì)寧人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)槲⒎址匠踢呏祮?wèn)題.