祝奔石

(黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北黃州438000)

分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用

祝奔石

(黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北黃州438000)

本文介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的歷史、基礎(chǔ)知識(shí)以及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

分?jǐn)?shù)階微積分;分?jǐn)?shù)階Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù);分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

1 分?jǐn)?shù)階微積分的歷史與基礎(chǔ)知識(shí)

在展開(kāi)論述之前，首先介紹一下分?jǐn)?shù)階微積分的定義.所謂分?jǐn)?shù)階微分或積分，不是指一個(gè)分?jǐn)?shù)或一個(gè)分式函數(shù)的微積分或微分，而是指微分的階數(shù)和積分的次數(shù)不是整數(shù)，它可以是任意實(shí)數(shù)，乃至于復(fù)數(shù).當(dāng)然，就目前而言，在實(shí)際問(wèn)題中還沒(méi)有出現(xiàn)階或次數(shù)為復(fù)數(shù)的情形.分?jǐn)?shù)階微積分的歷史幾乎和整數(shù)階微積分的歷史一樣久.1695年，微積分的發(fā)明者、德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz和法國(guó)數(shù)學(xué)家L’Hospital就曾以書(shū)信的方式探討過(guò)把整數(shù)階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展到非整數(shù)的情況.比如說(shuō)，令，則對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，Leibniz也是一頭霧水，沒(méi)有給出一個(gè)合理的答案.n(n=124)年后，Lacroix首次給出了這一問(wèn)題的正確解答:由于分?jǐn)?shù)階微積分理論與通常的整數(shù)階微積分理論相左，又沒(méi)有實(shí)際應(yīng)用背景，在此后的一百多年里一直發(fā)展緩慢，直到1983年Mandelbort首次指出自然界及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中存在大量的分?jǐn)?shù)維事實(shí)，且在整體與局部之間存在自相似現(xiàn)象以后，作為分形幾何和分?jǐn)?shù)維的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)階微積分才重新獲得了新的發(fā)展而成為當(dāng)前國(guó)際上的一個(gè)熱點(diǎn)研究課題，并在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.1974年，在美國(guó)紐黑文大學(xué)召開(kāi)了第一屆分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議，并以Lecture Notes in Mathematics系列叢書(shū)形式發(fā)表了第一部關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理論和應(yīng)用的會(huì)議文集［1］.同年，Oldham和Spanier出版了第一部分?jǐn)?shù)階微積分專著［2］.此后，該領(lǐng)域的研究蓬勃興起，許多關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分方面的書(shū)籍被出版，如文獻(xiàn)［3－8］.在美國(guó)數(shù)學(xué)分類號(hào)2010版(Mathematics Subject Classification 2010，簡(jiǎn)稱 MSC 2010)中也增加了分?jǐn)?shù)階微積分的條目.另外，至少有兩種關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的國(guó)際雜志Journal of Fractional Calculus和Fractional Calculus and Applied Analysis被公開(kāi)發(fā)行.

為了說(shuō)明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分的定義，我們先來(lái)回顧經(jīng)典微積分中求導(dǎo)運(yùn)算和求積分運(yùn)算的關(guān)系.定義求導(dǎo)運(yùn)算D和求積分運(yùn)算Jα如下:

它們滿足關(guān)系式

這說(shuō)明求導(dǎo)運(yùn)算D是求積分運(yùn)算Ja的左逆運(yùn)算，且這兩種運(yùn)算一般來(lái)說(shuō)不具有交換性.進(jìn)一步，對(duì)任何自然數(shù)n有

即求導(dǎo)運(yùn)算Dn是求積分運(yùn)算Jna的左逆運(yùn)算.對(duì)連續(xù)函數(shù)f(t)，反復(fù)應(yīng)用分部積分法可得

其中Γ(·)是Gamma函數(shù)，且Γ(n)=(n－1)!.因此，對(duì)非整數(shù)的正數(shù)α＞0，我們可以定義分?jǐn)?shù)階積分

如果利用D=DD，非整數(shù) α階 Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

這里應(yīng)該說(shuō)明的是，與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義只有一種不同，數(shù)學(xué)家從不同的角度出發(fā)，給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的多種定義，Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)是其中應(yīng)用比較廣泛的兩種.

下面說(shuō)一下這兩類導(dǎo)數(shù)的區(qū)別.對(duì)于非整數(shù)α階Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)而言，是先求m－α次積分(相當(dāng)于－(m－α)階導(dǎo)數(shù))，再求m階導(dǎo)數(shù)，可大致理解為先積再微，少積多微.而對(duì)非整數(shù)α階Caputo導(dǎo)數(shù)而言，是先求m階導(dǎo)數(shù)，再求m－α次積分(相當(dāng)于－(m－α)階導(dǎo)數(shù))，可理解為先微再積，多微少積.引入Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)定義，可以簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算;引入Caputo導(dǎo)數(shù)定義，讓其拉普拉斯變換式更簡(jiǎn)潔，有利于分?jǐn)?shù)階微分方程的討論.

接下來(lái)說(shuō)說(shuō)這兩類導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別.當(dāng)α=n時(shí)，這兩類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與通常的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)一致.同樣，這兩類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和整數(shù)階導(dǎo)數(shù)一樣也有線性性質(zhì).另外，對(duì)函數(shù)f(x)先求α次積分再求α階導(dǎo)數(shù)，它的值仍然是f(x).但是它們之間還是有很大的區(qū)別.整數(shù)階導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)從定義上看實(shí)際上是一種積分，它與函數(shù)過(guò)去的狀態(tài)有關(guān)，反映的是函數(shù)的非局部性質(zhì).分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的這種性質(zhì)使得它非常適合構(gòu)造具有記憶、遺傳等效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.我們也可以從卷積的角度來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的區(qū)別［2］.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)a=0.令核函數(shù)

從運(yùn)算方面看，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)公式都很復(fù)雜，對(duì)乘積、商與復(fù)合運(yùn)算沒(méi)有整數(shù)階導(dǎo)數(shù)那樣簡(jiǎn)單的求導(dǎo)公式，計(jì)算復(fù)雜性大大增加.下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明兩者之間的差別.我們知道，常數(shù)的正整數(shù)階導(dǎo)數(shù)為零，但分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不一定為零.比如，設(shè)f(t)=c≠0，對(duì)0＜α＜1，有

2 分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用

如前所述，分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展緩慢除了與經(jīng)典的整數(shù)階微積分不一致之外，也因?yàn)樗鼤簳r(shí)在實(shí)際問(wèn)題中沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用.分?jǐn)?shù)階微積分的第一個(gè)應(yīng)用是1832年Liouville提出的位勢(shì)問(wèn)題方程，第二個(gè)應(yīng)用是1881年A-bel提出的等時(shí)降落線問(wèn)題.在近20年里，它的應(yīng)用范圍逐漸擴(kuò)大，應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋流體力學(xué)、流變學(xué)、粘彈性力學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器、電分析化學(xué)、生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo)、神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型以及分?jǐn)?shù)回歸模型等［8］.

下面給出一些例子來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用.為了使符號(hào)簡(jiǎn)化，這里把非整數(shù)α階Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)寫(xiě)成

例1粘彈性材料模型［9，10］.力學(xué)中，理想彈性材料的彈性力與彈性形變服從胡克定律，即

而理想牛頓流體的應(yīng)力與應(yīng)變則滿足如下方程

粘彈性材料既不是理想固體，也不是理想流體，而是介于理想固體與理想流體之間，因此，粘彈性材料所滿足的模型可表示為

例2PIλDμ控制模型［11］.經(jīng)典的 PID 控制器的輸出方程中，積分和微分都是整數(shù)階的.近年來(lái)的重要推廣是其中積分的次數(shù)和微分的階數(shù)可以是任何實(shí)數(shù).其傳輸函數(shù)為

輸出函數(shù)為

若λ=μ=1時(shí)便是經(jīng)典的PID控制器.若λ=1，μ=0時(shí)是控制器，若λ=0，μ=1是PD控制器.

分?jǐn)?shù)階狀態(tài)反饋控制比經(jīng)典狀態(tài)反饋控制更精確，而且具有很多良好的控制性能，如對(duì)增益變化有很好的魯棒性、能抗高頻噪聲、易于消去靜態(tài)誤差等等.分?jǐn)?shù)階控制的應(yīng)用包括:車輛主動(dòng)懸架、液壓動(dòng)作器、柔性機(jī)械臂、機(jī)器人等諸多運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題［12］.

例3廣義牛頓定律.我們熟知的牛頓定律的形式是，Westerlund建議把它改為

相關(guān)的爭(zhēng)論可參見(jiàn)文獻(xiàn)［13］.

例4擴(kuò)散波動(dòng)方程［14］.Nigmatullin的一維擴(kuò)散波動(dòng)方程為易知，當(dāng)α=1時(shí)，是拋物型方程，是經(jīng)典的擴(kuò)散方程;當(dāng)α=2時(shí)，是雙曲型方程，是經(jīng)典的波動(dòng)方程.于是Mainardi把它叫做“擴(kuò)散波動(dòng)方程”.

例5變分原理是研究保守力學(xué)系統(tǒng)的重要方法，利用它所推導(dǎo)出來(lái)的方程是整數(shù)階微分方程.對(duì)于具有摩擦或其它耗散過(guò)程的非保守系統(tǒng)，它不成立.如果將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入Lagrange函數(shù)，可對(duì)非保守系統(tǒng)直接建立變分原理.分?jǐn)?shù)階微積分使得Lagrange力學(xué)、Hamilton力學(xué)、Hamilton－Jacobi理論等在同一框架下完整地得到描述［15］.

從上面的例子可以看出，有許多問(wèn)題如果用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)來(lái)描述的話，或者不能得到合適的微分方程，或者所得到的微分方程非復(fù)雜，且所得到的結(jié)果與實(shí)際情況不一定非常吻合，而利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)所得到的微分方程不但非常簡(jiǎn)潔而且利用它所得到的結(jié)果更接近實(shí)際.我認(rèn)為，一個(gè)問(wèn)題之所以復(fù)雜，有時(shí)候并不是因?yàn)樗娴暮軓?fù)雜，而是因?yàn)闆](méi)有找到合適的方法.利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)而產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)階微分方程就是這樣一種研究復(fù)雜問(wèn)題的有力工具.當(dāng)然，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分也有許多問(wèn)題值得研究.比如說(shuō)，最基本的問(wèn)題是，經(jīng)典的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)都有明確的幾何和物理意義，但是對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分，人們至今也沒(méi)有找到合適的幾何和物理解釋.但是它在研究實(shí)際問(wèn)題中的作用是毋庸置疑的.也許，分?jǐn)?shù)階微積分就是二十一世紀(jì)的微積分［6］.

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Fractional calculus and its applications

ZHU Ben-shi
(College of Mathematics and Computer Science，Huanggang Normal University，Huangzhou 438000，Hubei，China)

This paper introduces the history，fundamental theory and applications of fractional calculus.

fractional calculus;fractional riemann-Liouville derivative;fractional caputo derivative;application

O175.1

A

1003-8078(2011)06-0001-03

2011-07-30 doi10.3969/j.issn.1003 －8078.2011.06.01

祝奔石，男，湖南邵陽(yáng)人，講師，博士，主要從事離散動(dòng)力系統(tǒng)的研究.

黃岡師范學(xué)院博士基金項(xiàng)目(10CD089).

(張所濱)