林旻序，汪永陽，戴 明，喬彥峰

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033;2.中國科學院 研究生院，北京100039)

1 引言

光電穩(wěn)定平臺作為偵察、測量、校射和打擊效果評估的重要技術支撐，其視軸穩(wěn)定精度決定了整個系統(tǒng)性能的好壞。而提高視軸穩(wěn)定精度，必須對慣性速率反饋元件陀螺的噪聲加以約束。目前小型光電穩(wěn)定平臺常采用壓電陀螺作為慣性傳感器，由于壓電陀螺隨機游走噪聲較大，通常采用二階或高階巴特沃思低通濾波對其進行濾波，雖然這種方法能夠對高頻噪聲起到很好的抑制作用，但同時會產(chǎn)生陀螺低頻信號的相位延遲，從而影響陀螺信號帶寬［1］。

本文在設定壓電陀螺速率狀態(tài)變量的基礎上，運用卡爾曼濾波理論建立狀態(tài)遞推、狀態(tài)估計以及濾波增益等方程，從而完成對壓電陀螺信號的濾波。由于在狀態(tài)遞推的過程中采用了壓電陀螺的角加速度信號，從而引入系統(tǒng)噪聲，因此濾波后陀螺信號的噪聲水平和帶寬在很大程度上依賴于加速度信號。

目前慣性角加速率的測量方法較少，一般采用CJ4、CJ6兩款角加速度陀螺，因為其采用壓電陀螺角速率差分原理，從而帶寬上限只能達到50 Hz，無法保證卡爾曼濾波后陀螺的相位延遲。本文通過在光電平臺內框架跨軸安裝3個線性加速度計間接測量平臺的慣性角加速度，通過對線性加速度計的選型，很好地控制了卡爾曼濾波后陀螺信號的噪聲和帶寬。

2 壓電陀螺噪聲特性

為了分析壓電陀螺測量信號的噪聲特性，取平臺靜止不動時的測量信號(零位測量信號)序列數(shù)據(jù)為研究對象，圖1為壓電陀螺零位測量信號曲線。陀螺噪聲隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程，因此對噪聲特性的分析，必須對其進行傅里葉變換得到其功率譜，隨后根據(jù)噪聲頻率域的分布情況對其進行濾波。

圖1 壓電陀螺零位測量信號曲線Fig.1 Zero-position test signal curve of piezoelectric gyro

圖2 壓電陀螺噪聲功率譜Fig.2 Noise power spectrum of piezoelectric gyro

圖3 經(jīng)50 Hz巴特沃思低通濾波后的壓電陀螺零位信號曲線Fig.3 Zero-position test signal curve of piezoelecric gyro filted with 50 Hz Butterworth

壓電陀螺噪聲功率譜如圖2所示，可以看出噪聲功率譜密度值在低頻段較為突出，若采用巴特沃思低通濾波或均值濾波，只能消除噪聲的高頻段信息，對壓電陀螺噪聲不能起到明顯的抑制作用，而采用二階或高階低通濾波器，極易引起壓電陀螺信號的相位延遲，從而影響整個伺服系統(tǒng)的控制帶寬，圖3為采用50 Hz二階巴特沃思低通濾波器濾波后的壓電陀螺零位測量信號［2-3］。

3 卡爾曼濾波器的應用

以離散系統(tǒng)為例，設tk時刻的被估計狀態(tài)Xk受系統(tǒng)驅動噪聲序列Wk-1驅動，驅動機理由下述狀態(tài)方程描述［4］：

對Xk的量測滿足線性關系，量測方程為：

式中：Φk/k-1為tk-1時刻至tk時刻的一步轉移矩陣，Γk-1為系統(tǒng)噪聲驅動矩陣，Hk為量測矩陣，Vk為量測噪聲序列，Wk為系統(tǒng)激勵噪聲序列。同時，Wk和Vk滿足［5］：

式中：Qk為系統(tǒng)噪聲序列的方差陣，假設為非負定矩陣;Rk為系統(tǒng)測量序列的方差陣，假設為正定矩陣。

狀態(tài)一步預測［6］：

狀態(tài)估計：

濾波增益：

一步預測均方誤差：

估計均方誤差：

卡爾曼濾波過程如圖4所示。

圖4 卡爾曼濾波的兩個計算回路和兩個更新回路Fig.4 Two calculating and updating loops in Kalman filtering method

圖中狀態(tài)變量Xk為k時刻所估計的壓電陀螺速度;Φ=1;Uk為采樣周期T;Zk為壓電陀螺儀在k時刻速度的測量量;Hk=1;Rk為陀螺自身的噪聲方差;Qk為加速度計自身的噪聲方差。

采用卡爾曼濾波器濾除壓電陀螺噪聲，必須先獲得平臺的角加速度a以及角加速度測量噪聲方差Wk。

4 線性加速度計測量角加速度原理

圖5為采用一對線加速度計測量平臺角加速度的原理示意圖，平臺的轉軸垂直于紙面，一對線加速度計A1和A2同向平行地安裝于平臺上，敏感軸間距為L。

設線加速度計測得的線加速度為a1(t)和a2(t)，則平臺的慣性角加速度a可由下式表示：

從圖5可以看出，不論平臺的轉軸在兩個加速度計的連線上，還是在兩個加速度計連線的延長線上，或是根本不在兩個加速度計的延長線上，式(11)均成立。

圖5 線加速度計測量角加速度示意圖Fig.5 Schematic of angle acceleration measured with linear accelerometer

式(12)說明加速度計的安裝位置不影響測量結果，所以實際系統(tǒng)中可以根據(jù)安裝空間的位置任意安裝加速度計。根據(jù)這一原理，測量互相垂直的兩個軸向的角加速度，只需要3個線加速度計，如圖6所示。

圖6 3個線加速度計測量兩軸角加速度示意圖Fig.6 Schematic of two-axis angle acceleration measured with three linear accelerometers

3個線加速度計呈三角形位置，設加速度計A1，A2，A3的輸出分別為a1(t)，a2(t)和a3(t)，則兩個方向的角加速度為［4］：

利用線性加速度計得到平臺的角加速度后，可以從角加速序列中統(tǒng)計得到Qk。

圖7(a)為壓電陀螺的原始噪聲曲線，圖7(b)為卡爾曼濾波后的壓電陀螺噪聲曲線，圖中縱坐標為0.003 05(°)/s。實際計算時。壓電陀螺噪聲方差Rk=35，加速度計噪聲方差Qk=0.3;T=0.001 25 s。

圖7 壓電陀螺噪聲曲線Fig.7 Noise curves of piezoelectric gyro

可以看出若加速度計的噪聲方差Qk=0.3，那么其噪聲的標準差 σk= ■0.3≈055，則由于加速度計所引入的噪聲水平最大值為3×σk×T≈

(°)/s，從而 0.002(°)/s作為卡爾曼濾波過程中的系統(tǒng)噪聲，最大程度地影響著卡爾曼濾波的效果，實驗中采用CF-1型線加速度計，標稱帶寬為100 Hz，噪聲均方根值為300 μg(考慮 AD采樣的影響)。

通過對圖7(a)和圖7(b)分別求功率譜變換曲線，可以得到圖7(a)壓電陀螺隨機游走噪聲水平為0.005(°)·s-1/ ■Hz，圖7(b)卡爾曼濾波后壓電陀螺隨機游走噪聲水平為0.001 25(°)·s-1/ ■Hz，圖3中經(jīng)50 Hz二階巴特沃思低通濾波器濾波后的隨機游走噪聲水平為0.002(°)·s-1/■Hz。

雖然采用線性加速度計進行卡爾曼濾波后壓電陀螺的噪聲水平約為采用巴特沃思濾波器的2/3，但采用基于線性加速度計的卡爾曼濾波器在相位延時上卻明顯優(yōu)于巴特沃思低通濾波器。圖8和圖9分別給出了開環(huán)2 Hz和15 Hz的情況下，采用卡爾曼濾波和巴特沃思低通濾波器的壓電陀螺反饋曲線，其中實線為采用卡爾曼濾波器后的反饋曲線，虛線為采用50 Hz二階巴特沃思濾波器濾波后的反饋曲線。

圖8 2 Hz壓電陀螺開環(huán)曲線圖Fig.8 Curves of piezoelectric gyro in open loop of 2 Hz

圖9 15 Hz壓電陀螺開環(huán)曲線圖Fig.9 Curves of piezoelectric gyro in open loop of 15 Hz

通過圖8(b)兩條曲線峰值的延時可以看出，2 Hz時卡爾曼濾波器的相位超前二階巴特沃思濾波器3 ms，等效于(3/500)×360=2.16°。通過圖9(b)兩條曲線峰值的延時可以看出，15 Hz時卡爾曼濾波器的相位超前二階巴特沃思濾波器8 ms，等效于(8/66.67) ×360=43°。因此隨著頻率的升高，巴特沃思濾波所帶來的延遲也會逐漸加大，而卡爾曼濾波則保持很好的相位特性。

圖10給出了原始噪聲、采用CF-1加速度計濾波后的噪聲以及采用更高精度線性加速度計濾波后的噪聲對穩(wěn)定精度的影響。

圖10 壓電陀螺噪聲對穩(wěn)定精度的影響Fig.10 Influence of piezoelectric gyro noise on stabilization accuracy

5 結論

針對目前小型光電穩(wěn)定平臺上廣泛應用的壓電陀螺隨機游走噪聲大的問題，提出采用基于線性加速度計的卡爾曼濾波技術對其進行信號濾波。結果表明：采用卡爾曼濾波能夠在保持壓電陀螺帶寬(最小相位延遲)的前提下，依靠高精度線性加速度計，充分消除原始陀螺信號中的白噪聲。

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