方 超

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長春130033)

1 引言

與傳統(tǒng)成像系統(tǒng)不同，波前編碼系統(tǒng)將光學(xué)技術(shù)和數(shù)字圖像處理技術(shù)相結(jié)合，通過相位掩模板對被攝物體進(jìn)行編碼，不僅使光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)對離焦量不敏感，同時(shí)避免了部分空間頻率的丟失。波前編碼通過對所得中間圖像進(jìn)行解碼來恢復(fù)圖像，從而可在保證系統(tǒng)的光通量和成像分辨率的情況下，擴(kuò)大系統(tǒng)焦深［1-3］。由于波前編碼技術(shù)不僅能拓展系統(tǒng)的景深，而且能在一定程度上抑制球差、色差、匹茲法像面彎曲等像差，所以波前編碼具有廣闊的應(yīng)用前景，并且已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展［4-5］。

目前，對波前編碼系統(tǒng)性質(zhì)的研究多基于不存在安裝誤差的理想情況，而實(shí)際波前編碼系統(tǒng)由于存在裝配誤差，編碼所使用的相位掩模板不可避免地存在一定的傾斜誤差。這一因素直接影響系統(tǒng)的廣義光瞳函數(shù)，進(jìn)而影響系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)。因此，本文針對相位板安裝傾斜的波前編碼系統(tǒng)，通過坐標(biāo)變換推導(dǎo)了傾斜系統(tǒng)的廣義光瞳函數(shù)，分析了傾斜因子的相位板放大效果，并通過仿真模擬驗(yàn)證了這一理論。

2 理論分析

含有三次相位掩模板的波前編碼系統(tǒng)如圖1所示，其中虛線部分是放置相位掩模板的理想位置。在非相干光正入射的條件下，定義光軸沿z軸方向，則廣義光瞳函數(shù)［6］的相位部分可表示為：

式中：x，y是光瞳上的點(diǎn)坐標(biāo)，α是相位板參數(shù)。

在實(shí)際波前編碼系統(tǒng)中，由于裝調(diào)誤差等因素的存在，相位板旋轉(zhuǎn)一定角度β，就會(huì)導(dǎo)致相位板的廣義光瞳函數(shù)發(fā)生變化，如圖1實(shí)線所示。通過坐標(biāo)變換的方法可以獲得旋轉(zhuǎn)后的廣義光瞳函數(shù)。圖1中坐標(biāo)系xyz旋轉(zhuǎn)β角后變?yōu)樽鴺?biāo)系x'y'z'，則廣義光瞳函數(shù)變?yōu)椋?/p>

圖1 含三次相位掩模板的波前編碼系統(tǒng)Fig.1 Wavefront coding system with cubic phase mask

坐標(biāo)系變換的關(guān)系式為：

將式(3)代入式(2)，得出關(guān)于z的一個(gè)方程：

由于α很小，只有幾個(gè)波長數(shù)量級，所以可以忽略含α的z高階量，則z的近似解為：

由于 α 很小，所以 3αcos2βsinβy2較小，則：

忽略包含α的高階項(xiàng)，展開得：

式中：tanβy表示主光線的位置發(fā)生了一個(gè)位移，考慮到它對波前編碼系統(tǒng)成像質(zhì)量影響很小，將其忽略。

令：

將式(8)代入式(7)得：

對比式(1)和式(9)可知，傾斜后的相位掩模板仍然是一塊三次相位掩模板，只是相位板的參數(shù)發(fā)生了變化，且子午方向和弧矢方向的參數(shù)不同。具體變化情況如圖2所示，子午方向和弧矢方向的相位板系數(shù)在傾斜前后的比值均大于1，說明傾斜后三次相位板的系數(shù)均被放大;相位板系數(shù)的放大效果僅與旋轉(zhuǎn)角度的絕對值有關(guān)而與符號正負(fù)無關(guān);相位板系數(shù)放大效果隨傾斜角度的增大而增大，并且子午方向的放大效果要強(qiáng)于弧矢方向。

圖2 相位板系數(shù)比Fig.2 Ratio of phase mask coefficients

考慮到系統(tǒng)離焦因素的影響，整個(gè)系統(tǒng)的廣義光瞳函數(shù)可表示為：

式中：λ為入射光的波長，W20為離焦量參數(shù)。

一個(gè)點(diǎn)物在像平面上產(chǎn)生的輸出函數(shù)稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)。對廣義光瞳函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，再對其取模的平方就可以得到系統(tǒng)的PSF［7］，PSF傅里葉變換后的模即為系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(MTF)，分別如式(11)和(12)所示。

根據(jù)式(1)，可得：

式(13)說明x，y是輪換的，所以如果傾斜發(fā)生在弧矢平面，會(huì)有類似的結(jié)論，只不過弧矢方向的放大效果大于子午方向。

3 仿真模擬

仿真光學(xué)系統(tǒng)的光瞳直徑為2 mm，波長為587.561 8 nm，成像透鏡的焦距為15 mm，相位掩模板的參數(shù)為10λ，子午面繞x軸旋轉(zhuǎn)傾斜，采用控制變量法分析點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)性質(zhì)。

當(dāng)傾斜角β為30°時(shí)，模擬系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖3所示，其中(a)對應(yīng)離焦量W20為0，(b)為2.5λ，(c)為5λ。

圖3 β=30°時(shí)不同離焦量的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖Fig.3 PSF with different defocuses when β =30°，

由圖3可知，當(dāng)相位掩模板傾斜時(shí)，不同離焦量的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不變，這個(gè)特性有利于后續(xù)的圖像恢復(fù)。

當(dāng)離焦量為5λ時(shí)，模擬系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖4所示，其中(a)對應(yīng)傾斜角β為0°，(b)為15°，(c)為30°，(d)為 -30°。

由圖4(a)～4(c)可知，系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)隨傾斜角的增大而被放大，并且在子午方向的擴(kuò)展效果要強(qiáng)于弧矢方向，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的形狀由等邊三角形退化為不等邊三角形，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的形狀發(fā)生較大變化，因此，依靠點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的圖像恢復(fù)算法在不考慮根據(jù)傾斜角修正點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)時(shí)，圖片的恢復(fù)質(zhì)量將受到嚴(yán)重影響。比較圖4(c)和圖4(d)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)未發(fā)生變化，說明傾斜角的正負(fù)對點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)沒有影響，只與絕對值有關(guān)，因此與廣義光瞳函數(shù)的結(jié)論相對應(yīng)。

圖4 不同傾斜角的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖Fig.4 PSF with different angles when W20=5λ

為了驗(yàn)證上述結(jié)論，利用光學(xué)軟件，采用相同的參數(shù)對上述系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分別如圖5和圖6所示。

圖5 光學(xué)軟件中β=30°時(shí)不同離焦量的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖Fig.5 PSF with different defocuses in optical software when β =30°

圖6 光學(xué)軟件中W20=5λ時(shí)不同傾斜角的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)圖Fig.6 PSF with different angles in optical software when W20=5λ

對比圖3、圖5以及圖4、圖6可見，從光學(xué)軟件中獲得的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的變化規(guī)律與前面的分析基本一致，說明用這種近似方法研究相位板傾斜對波前編碼系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的影響是可行的。

利用光學(xué)軟件獲得了不同傾斜角不同傾斜方向時(shí)系統(tǒng)的MTF值。圖7表示對應(yīng)0°和30°這兩個(gè)角度的MTF，當(dāng)傾斜角為0°時(shí)，子午和弧矢方向的MTF趨向重合，隨著傾斜角的增大，系統(tǒng)的MTF曲線逐漸減小，并且子午方向減小的程度大于弧矢方向，這樣會(huì)導(dǎo)致子MTF曲線與弧矢MTF曲線分離，降低后期圖像恢復(fù)的質(zhì)量。

圖7 不同傾斜角和不同傾斜方向時(shí)的MTF曲線Fig.7 MTF curves of different angels and directions

4 結(jié)論

本文分析了波前編碼系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件相位掩模板在裝調(diào)過程中發(fā)生傾斜對系統(tǒng)的影響。通過坐標(biāo)變換，獲得相位掩模板在傾斜后的近似表達(dá)式，進(jìn)而推導(dǎo)出這種情況下的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。結(jié)果表明：相位板傾斜的波前編碼系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)會(huì)受傾斜影響而被放大，在子午傾斜的情況下，子午方向的放大效果要大于弧矢方向，這將在很大程度上影響基于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的恢復(fù)算法對圖像恢復(fù)后期的效果，且MTF曲線會(huì)相應(yīng)地隨之降低，子午方向MTF曲線減小程度也會(huì)大于弧矢方向。該方法不僅可以應(yīng)用于三次相位板系統(tǒng)，也可以用于其它形式的波前編碼系統(tǒng)性質(zhì)的分析，為分析裝配誤差對系統(tǒng)的影響提供了依據(jù)。

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