邊義祥，裘進浩

(1.揚州大學 機械工程學院，江蘇 揚州 225127;2.南京航空航天大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，南京 210016)

壓電材料同時具有傳感和驅動性能，可以用作傳感器或驅動器。為了適應特殊的應用需要，很多學者正在研究特殊形狀的壓電器件，如壓電陶瓷纖維、薄膜、薄殼等［1］。裘進浩等［2］和 Hiroshi Sato等［3］先后研制成功的含金屬芯壓電陶瓷纖維MPF(Metal-Core Piezoelectric Ceramic Fibers)，就是一種新型的壓電器件。當MPF只有一半的縱向表面噴鍍金屬層時，稱為半電極含金屬芯壓電纖維HMPF(Half Coated Metal Core Piezoelectric Fiber)。

自從MPF和HMPF研制成功后，一些學者對MPF進行了理論和實驗研究。Gael Sebald等建立了MPF的物理振動模型，分析了MPF的性能及金屬芯的影響［1，4］，研究了 MPF 的機電特性［5］;Hiroshi Sato等測量了 MPF的機械性能［6］，把 MPF粘貼在梁的表面，利用MPF的傳感和驅動性能制作了智能復合材料懸臂梁［3］;Kiyoshi Takagi等在碳纖維復合材料中埋入MPF，實現(xiàn)了振動控制和結構損傷監(jiān)測［7，8］;Davood Askari等分析了 MFC 和 MPF 的機械性能的異同點［9］。Hiroshi Sato等還從電極配置、機電轉換效率、機械性能、所需電場等方面分析了MFC和MPF之間的區(qū)別［10］。國內主要有南京航空航天大學展開了MPF的研究工作，劉建、常偉杰等把MPF粘貼在復合材料板的表面，建立了MPF對圓形壓電片激勵Lamb波的傳感響應模型，并應用這個模型對復合材料板的損傷進行定位［11－12］。

上述研究幾乎都是關于表面全覆蓋電極的MPF，而在很多情況下，例如氣流傳感、彎曲驅動等方面，HMPF更能發(fā)揮重要的作用。本文作者之一的裘進浩在世界上首次成功制作了 HMPF［13］。在以前的工作中，我們研究了HMPF的靜態(tài)本構關系方程［14］和驅動性能［15］。為了擴展 HMPF的應用范圍，有必要研究其傳感性能。本文根據第一類壓電方程，基于振動理論，使用平均電荷方法，研究了懸臂梁結構的HMPF自由端外加垂直簡諧作用力時，電極上產生的電荷值，由此建立了動態(tài)微力傳感模型;分析了HMPF長度和半徑比對產生電荷值的影響，并實驗驗證了所建立的傳感模型。

1 理論建模

1.1 壓電方程

HMPF的幾何形狀和橫截面分別如圖1和圖2所示。由于是圓柱形，為了研究方便，采用圓柱坐標系，壓電方程的直角坐標系和圓柱坐標系的對應關系為，直角坐標系的1方向、2方向和3方向分別對應圓柱坐標系的z方向、θ方向和r方向。

圖1 HMPF的幾何形狀及坐標表示

圖2 HMPF的橫截面及其極化示意圖

如圖2所示，HMPF的上半部分壓電陶瓷表面覆蓋了金屬層。外加電壓時，壓電陶瓷內部的電場分布比較復雜，為了研究方便，認為表面覆蓋電極的上半部分壓電陶瓷極化后，具有壓電效應，其極化方向也認為是徑向分布;認為表面沒有覆蓋電極的下半部分壓電陶瓷沒有被極化，不具有壓電效應。由于陶瓷表面的金屬層很薄，在下面的研究中，其影響不予考慮。

當HMPF用作懸臂梁結構時，假設其壓電陶瓷部分在徑向可以自由伸縮;和長度相比，HMPF的半徑很小，其圓周方向和切向的應力可以忽略。外加電場后，其應力和電場的邊界條件可以表示為:

所加電場方向和極化方向相反時，壓電陶瓷產生伸長變形。根據第一類壓電方程，當d31取負值時，其應變和電位移分別為

其中的Sij是應變，Tij是應力，Di是電位移，Er是電場強度是彈性柔順系數(shù)，dij是壓電常數(shù)，是介電常數(shù)，上標p表示壓電陶瓷極化部分。由于是圓柱形狀，在HMPF的電極上外加電壓后，半徑r處的電場強度為

而下半部分壓電陶瓷以及金屬芯的應力應變關系為

上標m和n分別表示金屬芯和下半部分沒有被極化的壓電陶瓷。

1.2 HMPF的微力傳感模型

懸臂梁結構HMPF的自由端受到動態(tài)彎矩M時，由于HMPF的長度和半徑比很大，可以認為HMPF各縱向纖維的曲率半徑相同，都為ρ，則

其中Mm是金屬芯部分所受彎矩，Mc是整個壓電陶瓷部分所受彎矩，Em是金屬芯的彈性模量，Ec是整個壓電陶瓷部分的彈性模量，Im是金屬芯的慣矩，Ic是整個壓電陶瓷部分的慣矩。聯(lián)立式(8)和式(9)，并由Em=1/sm和Ec=1/sE11可解得

由1/ρ=M/(EI)，得到整個HMPF的等效的抗彎剛度EI

當動態(tài)激勵力F=F0ejωt垂直作用在懸臂梁結構HMPF自由端時，HMPF的中性層在極化部分和未極化部分的結合面上，如圖3所示。此時，HMPF是均勻等截面直梁，可以得到HMPF的彎曲振動模型［16］

ρc和ρm分別表示壓電陶瓷和金屬芯的密度。由此，得到HMPF的曲率

則HMPF的應變可以表示為

把式(15)代入式(3)和式(4)中，并由Er=0，得到壓電陶瓷極化部分電位移為:

由式(16)得壓電陶瓷極化部分外表面和內表面的電位移，即電荷密度分別為:

用平均電荷方法［17］，得到HMPF表面電荷為

1.3 長度和半徑比的影響

由式(19)可知，當懸臂梁結構HMPF自由端受到正弦激勵作用時，HMPF產生的電荷也是正弦信號，頻率和激勵頻率相同。如果不考慮時間因素的影響，式(19)可以寫成:

進而得到:

當HMPF的參數(shù)確定后，測量到HMPF產生的電荷頻率和幅值，根據式(19)和式(21)可以算出激勵力的頻率和幅值。

為了研究HMPF半徑比對產生電荷幅值的影響，把半徑比B=Rm/Rc代入式(20)，得

為了研究HMPF結構尺寸對HMPF產生電荷的影響，把HMPF的參數(shù)代入到式(22)中進行計算。含鉑金芯HMPF的參數(shù)見表1。設所加激勵力的參數(shù):f=10 Hz、F0=0.000 1 N。逐漸增大 HMPF的長度和半徑比，HMPF產生的電荷幅值如圖3所示。由圖可見，在懸臂梁結構HMPF自由端激勵力頻率和幅值不變的情況下，HMPF產生的電荷幅值隨著長度的增加而增大，在半徑比為0.44處取最大值。如果要提高HMPF動態(tài)微力傳感器的靈敏度，可以采用增加長度和選擇合適半徑比的方法。

圖3 含鉑金芯HMPF動態(tài)微力傳感器電荷幅值和結構尺寸的關系

由以上的分析可知，懸臂梁結構HMPF動態(tài)微力傳感器參數(shù)確定后，根據其電荷的頻率，可以測量激勵力的頻率;根據電荷的頻率和幅值，可以測量激勵力的幅值。

2 實驗研究

為了驗證HMPF的動態(tài)微力傳感性能，搭建如圖4所示的實驗系統(tǒng)。把一根HMPF一端固定在激振器的激振頭上，另一端搭在電子天平上。當激振器低頻振動時，HMPF受到電子天平動態(tài)微力作用。

圖4 HMPF動態(tài)微力傳感器實驗系統(tǒng)

電子天平的讀數(shù)和HMPF產生的電荷信號經過電荷放大器、dSPACE卡輸入到計算機中。HMPF長度為36 mm，其它參數(shù)如表1所示。

表1 MPF的材料性能

HMPF產生電荷的時域信號，經過FFT變換為頻域信號后，可以得到HMPF產生電荷的頻率。取時域信號中電荷幅值的平均值，由式(21)可以得到激勵力的幅值。一組動態(tài)微力幅值的測量結果如圖5所示。

圖5 動態(tài)微力幅值的測量結果

實驗結果表面，由HMPF測定的動態(tài)微力的幅值和理論值之間有一定程度的誤差，主要原因是:懸臂梁結構的HMPF自由端受力彎曲后，壓電陶瓷極化部分受到拉伸時，在電極表面產生電荷;當HMPF被拉伸到最大位置時，電荷量最大。當壓電陶瓷極化部分受到回復拉力時，在電極表面將產生和拉伸時相反的異種電荷，并和原來的電荷相互抵消，且由于HMPF的電容很小，原來的電荷將很快消失，導致HMPF的電荷很快減小到零;而此時，HMPF并未回復到平衡位置，其應變還是正應變，電荷和應變相比有滯后。在接下來的回復和壓縮過程中，HMPF的電荷和應變之間同樣有滯后。由于HMPF產生的電荷和所受到的力之間存在滯后，導致動態(tài)微力幅值的測量值和理論值之間有誤差。

隨著激勵頻率的增加，HMPF壓電陶瓷極化部分受到拉伸和壓縮的轉換過程加快，電荷泄漏減少，產生的電荷和所受到的力之間的滯后減小，動態(tài)微力幅值的測量值和理論值之間的誤差也逐漸減小。

從測量結果看，HMPF測量的動態(tài)微力的頻率值和理論值誤差不大，主要原因是:HMPF在測量過程中電荷的滯后主要是幅值的滯后，頻率滯后很小，所以頻率的測量值和理論值較為接近。

3 結論

懸臂梁結構HMPF自由端受到動態(tài)微力作用后，電極上將產生交變電荷。本文基于第一類壓電方程和懸臂梁彎曲振動理論，使用平均電荷方法，推導了懸臂梁結構HMPF自由端受到動態(tài)微力作用時，電極上產生電荷的解析表達式。分析了長度和半徑比對產生電荷的影響，結果表明含鉑金芯的

HMPF傳感器具有最佳半徑比。搭建了HMPF動態(tài)微力傳感器實驗系統(tǒng)，進行動態(tài)微力傳感實驗;實驗結果表明，懸臂梁結構HMPF對于動態(tài)微力具有很好的傳感特性，可以較準確地測量動態(tài)微力的頻率和幅值。該理論模型將進一步促進HMPF傳感器的研究和應用。

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