伊厚會，吳新華，姚延立

（1.濱州學(xué)院 理論物理研究所，山東 濱州 256603；2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系，山東 濱州 256603）

導(dǎo)體尖端周圍電勢分布的有限差分法研究

伊厚會1，吳新華2，姚延立2

（1.濱州學(xué)院 理論物理研究所，山東 濱州 256603；2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系，山東 濱州 256603）

有限差分法是對電磁場進行數(shù)值求解的重要方法.基于有限差分法的基本原理，計算了導(dǎo)體尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強度并討論了它們和尖端角度的關(guān)系.本文對于理解電勢的概念、尖端放電問題以及電場的具體應(yīng)用起到很好的幫助.研究對數(shù)值計算電磁場的本科教學(xué)和編程實現(xiàn)有一定的參考意義.

電場；有限差分法；導(dǎo)體尖端

1 引言

自麥克斯韋方程組提出以來，各種用于計算電磁場問題的解析手段被廣泛應(yīng)用并逐漸形成了許多系統(tǒng)而規(guī)范的計算方法，如分離變量法、電像法、復(fù)變函數(shù)法、格林函數(shù)法等[1-3].解析法計算電磁場雖然能求出精確解，但具有很大局限性，求解區(qū)域要求規(guī)則，對每個問題都需單獨進行復(fù)雜的計算.而對于實際情況下的電磁場問題，由于結(jié)構(gòu)、邊界復(fù)雜，要求它的解析解并非易事，而且在絕大多數(shù)情況下都是無法求解的，只能用近似的解析計算方法或電場數(shù)值計算方法計算，或用電場的實際測量或模擬測量技術(shù)測得.

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，各種用于電磁場數(shù)值計算的方法也得到了相應(yīng)的發(fā)展[4-6].數(shù)值計算方法借鑒了數(shù)學(xué)中偏微分方程數(shù)值解法及力學(xué)中的數(shù)值分析法，從數(shù)值分析角度求解電磁場，以期獲得滿足工程精度要求的近似解.有限差分法是一種數(shù)值解法，它將場域進行網(wǎng)格劃分，并用有限差分方程近似地替代偏微分方程，然后引入所研究的特定問題的邊界條件求解差分方程，得到電勢的數(shù)值解，進而求得電場[4-6].

本文基于有限差分法的基本原理，計算了導(dǎo)體尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強度，并討論了它們和導(dǎo)體尖端角度的對應(yīng)關(guān)系.研究對于本科教學(xué)理解電勢的概念、尖端放電問題以及電場的實際應(yīng)用起到很好的幫助.

2 有限差分法簡介

對于給定的邊值問題，應(yīng)用差分法把所研究的區(qū)域，離散化為很多網(wǎng)格和節(jié)點.對任一節(jié)點用差商代替微商，從而把所研究區(qū)域的偏微分方程變?yōu)楦鱾€節(jié)點上的差分方程組，則求場的微分方程的解就變?yōu)榍舐?lián)立差分方程組解的問題.

差分法求解該靜態(tài)場問題的過程：首先需從網(wǎng)格劃分著手決定離散點的分布方式，這里采用正方形網(wǎng)格的節(jié)點配置，從而在每個離散點上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解題速度.然后按差分、差商的定義，采用泰勒級數(shù)展開法進行差分離散化，推導(dǎo)出相應(yīng)的差分方程.由二維場拉氏方程的差分形式可得，網(wǎng)格節(jié)點（i，j）處的電勢滿足方程:

進而可以通過迭代法在誤差允許的范圍內(nèi)精確求解電勢.根據(jù)電勢和電場強度的關(guān)系E軑=-塄覬，可以計算研究區(qū)域任意一點的電場強度.

3 結(jié)果和討論

圖1是模擬計算導(dǎo)體尖端處電勢分布的二維示意圖.研究區(qū)域的長度L為500，寬度D為200；計算區(qū)域右邊界中心處有向內(nèi)凹陷的尖端，尖端的形狀為等腰三角形，深度h=20，角度為θ.研究區(qū)域的左邊界電勢為1，右邊界電勢為0，其上下邊界的電勢由左向右依次降低.數(shù)值計算的迭代次數(shù)為100000時電場穩(wěn)定，開始分析研究區(qū)域的電勢分布和局部電場強度.

圖2 導(dǎo)體尖端角度θ為30°，60°，90°，120°時的電勢分布圖

圖3 導(dǎo)體尖端頂點A處相對電場強度和角度θ之間的關(guān)系

圖2是尖端頂角θ為30°，60°，90°，120°時金屬導(dǎo)體周圍的電勢分布圖，由圖可知，尖端金屬導(dǎo)體對電勢的影響在其頂尖處和底部更加明顯.由于尖端的存在并且尖端的表面是等勢面，電勢分布隨尖端形狀做不同程度的彎曲.圖3給出了在導(dǎo)體尖端外A點電場強度的大小和尖端角度θ的關(guān)系.在計算中定義電場強度的相對量E/E0，其中E0為無尖端時A點的電場強度（即兩平行板間的電場強度），E為在尖端頂尖外A點的電場強度.計算結(jié)果表明，隨著尖端角度的減少，尖端頂尖外A點的電場強度增加.當(dāng)劈尖角度θ=30°時，A點的電場強度是無尖端時該點的電場強度三倍多.計算結(jié)果能很好的解釋尖端放電的原因.圖4給出了在尖端底端凹陷處B點相對電場強度的大小和角度α的關(guān)系，B點相對電場強度的定義和A點相同.計算發(fā)現(xiàn)，凹陷處B點的電場強度小于兩平行板間的電場強度并且電場強度E/E0隨角度α的增加而增大.根據(jù)電荷密度和電場強度的關(guān)系可知，導(dǎo)體尖端頂尖處的電荷密度遠遠大于劈尖底部凹陷處的電荷密度.定量的計算結(jié)果和理論分析得到的結(jié)果相符合[7].

圖4 尖端頂點B處相對電場強度和角度α之間的關(guān)系

4 結(jié)論

本文基于有限差分法的基本原理，計算了尖端周圍的空間電勢分布和局部的電場強度和劈尖角度的關(guān)系.研究對于理解電勢的概念、導(dǎo)體表面電荷面密度與曲率半徑的關(guān)系、尖端放電問題等以及電場的具體應(yīng)用起到很好的幫助作用，并對數(shù)值計算電磁場的本科教學(xué)和熟練掌握計算機輔助求解電磁場邊值問題提供了參考實例.

〔1〕郭碩鴻.電動力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1997.

〔2〕馮慈章.電磁場(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1983.

〔3〕Bhag Sing Gurn,Hiziroglu.電磁場與電磁波[M].北京:機械工業(yè)出版社,2000.

〔4〕劉圣民.電磁場的數(shù)值方法[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1991.

〔5〕胡之光.電機電磁場的分析和計算[M].北京:機械工業(yè)出版社,1982.

〔6〕呂英華.計算電磁學(xué)的數(shù)值方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

〔7〕游榮義.錐形導(dǎo)體尖端的電場特性[J].大學(xué)物理,2003,22(9)：18-20.

O44

A

1673-260X（2011）11-0021-02

濱州學(xué)院重點課程（BZXYZDKC200912）；濱州學(xué)院教學(xué)研究項目（BYJYZD201010）；濱州學(xué)院博士基金（2007Y03）