張 斐，謝麗萍，曾建潮，譚 瑛

（太原科技大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)與計(jì)算智能實(shí)驗(yàn)室，太原 030024）

目前工程實(shí)踐中涉及到很多約束優(yōu)化問題（Constrained Optimization，CO），如機(jī)械設(shè)計(jì)、生產(chǎn)調(diào)度、交通調(diào)度、資金使用、工程參數(shù)控制等問題。約束優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是在自變量滿足約束條件的情況下，求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的全局優(yōu)化問題，由于約束條件的存在，使求解約束優(yōu)化問題比較困難。傳統(tǒng)的解決約束優(yōu)化問題方法的有:懲罰函數(shù)法［1］、可行規(guī)則法［2］、約束保持法［3］、牛頓法［4］。自各種啟發(fā)式優(yōu)化算法提出以來，混合約束保持法的微粒群算法［5］、混合懲罰函數(shù)的遺傳算法［6］、混合可行性規(guī)則的差分演化算法［7］、混合可行性規(guī)則的類電磁算法［8］、混合罰函數(shù)的微粒群算法［9］，為解決約束優(yōu)化問題提供了很多新的有效解決方案。但這些算法自身也存在不足之處，例如微粒群算法容易陷入局部最優(yōu)解，類電磁算法的局部搜索效率不高，由于矢量擬態(tài)物理學(xué)算法本身是全局優(yōu)化算法避免出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)情況，而引入一維搜索方法提高了算法局部搜索可行個(gè)體信息的能力，故本文提出了混合一維搜索的矢量擬態(tài)物理學(xué)算法。

擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法（Artificial Physics Optimization，APO）［10］最早由 Spear 和 Cordon［11］提出的，因受物理力學(xué)定律的啟發(fā)故稱為“擬態(tài)”，是一種基于擬態(tài)物理學(xué)［11］的新的全局優(yōu)化算法。APO算法中每個(gè)個(gè)體可以看做是可行域內(nèi)的一個(gè)可行解，通過利用一群在可行域內(nèi)隨機(jī)初始化產(chǎn)生的個(gè)體來搜索目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，個(gè)體的質(zhì)量是用戶定義的有關(guān)其適應(yīng)值的函數(shù)，個(gè)體適應(yīng)值越好，質(zhì)量就越大，對(duì)其它個(gè)體的作用力就越大。適應(yīng)值較優(yōu)個(gè)體吸引適應(yīng)值較差個(gè)體，適應(yīng)值較差個(gè)體排斥適應(yīng)值較好個(gè)體，最優(yōu)適應(yīng)值個(gè)體對(duì)其它所有個(gè)體都有吸引力，但不受其它個(gè)體的作用力，整個(gè)種群在這種引斥力的作用下向更好的搜索區(qū)域搜索，整個(gè)群體經(jīng)歷的最好位置就是當(dāng)前的全局最優(yōu)解。

1 約束優(yōu)化問題

一般來說，約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下:

其中，X={x1，x2，…，xk，.xn}T是決策變量，n 是決策變量的維數(shù)，和是第k維分量的上下界。式（1）是不等式約束條件，式（2）是等式約束條件，式（3）是邊界約束條件。X∈S?RN，S是式（3）表示的變量X所有可能的取值范圍，稱為問題空間；F是所有可行解構(gòu)成的空間，稱為可行域；顯然F?S.約束優(yōu)化問題就是保證變量X在滿足m個(gè)不等式約束和l個(gè)等式約束前提下，尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

對(duì)于約束優(yōu)化問題構(gòu)造違反約束量函數(shù)φ（X），表達(dá)式如下:

其中 max（0，gi（X））（i=1，2，…，m）表示個(gè)體X在第i個(gè)不等式約束的違反程度，|hj（X）|（j=1，2，…，l）表示個(gè)體X在第j個(gè)等式約束的違反程度。違反約束量函數(shù)φ（X）表示個(gè)體X到可行域的距離，若φ（X）=0表示個(gè)體為可行個(gè)體，φ（X）＞0表示個(gè)體為不可行個(gè)體。

2 VM-APO算法

APO算法目前在解決無約束優(yōu)化問題上已經(jīng)有了很多研究成果，包括:個(gè)體之間的負(fù)指數(shù)作用力規(guī)則、單峰函數(shù)作用力規(guī)則、線性作用力規(guī)則三種作用力規(guī)則對(duì)APO算法性能的影響［12］；個(gè)體質(zhì)量函數(shù)應(yīng)具有的的性質(zhì)及構(gòu)造方法［13］；通過借鑒生物個(gè)體的記憶和交互能力提出的擴(kuò)展的擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法［14］；以及矢量擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法（The Vector Model of Artificial Physics Optimization，VMAPO）模型［15］。但目前APO算法仍未用于求解約束優(yōu)化問題，本文采用矢量擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法結(jié)合一維搜索方法求解約束優(yōu)化問題，個(gè)體的速度和位置作為矢量處理。通過引入收縮系數(shù)β*處理個(gè)體越界問題，以確保個(gè)體移動(dòng)后始終在問題空間內(nèi)；然后用違反約束量函數(shù)來判斷個(gè)體是否在可行域內(nèi)，利用一維搜索方法使跳出可行域的個(gè)體回到可行域內(nèi)。

以求解無約束全局最小化問題為例，整個(gè)種群的集合為A=（X1，X2，…，XNpop），其中Npop為種群個(gè)體數(shù)量，個(gè)體 i的位置矢量 Xi=（xi，1，…，xi，k，…，xi，n），速度矢量 Vi=（vi，1…vi，k…vi，n），其中 n 為解空間的維數(shù)，VM-APO算法由三個(gè)部分組成:初始化，計(jì)算個(gè)體所受作用力，個(gè)體運(yùn)動(dòng)。算法框架如下:

首先初始化種群，個(gè)體的初始位置和速度都在n維問題空間中隨機(jī)產(chǎn)生，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值，取得最優(yōu)適應(yīng)值的個(gè)體被標(biāo)記為Xbest.

咳嗽跟呼吸的空氣有很大關(guān)系。如果空氣太臟，或者是太干燥，寶寶就咳得厲害。所以，在家里護(hù)理寶寶時(shí)，若天氣好，應(yīng)多開門窗通氣，使屋里的空氣保持清新；若天氣不好，可以使用空氣凈化器來改善室內(nèi)的空氣；若空氣干燥，要用加濕器增加室內(nèi)濕度，使用加濕器使室內(nèi)濕度保持在40%～50%，濕度太大也不行，容易使房間滋生霉菌。也可以選擇讓寶寶吸入水蒸汽的方式緩解咳嗽。睡前在浴室內(nèi)放會(huì)兒熱水，待蒸汽充滿浴室，把寶寶抱進(jìn)去盡可能多待一些時(shí)間，讓呼吸道通過多吸入一些水蒸汽獲得充分的滋潤，這個(gè)方法也有助于緩解鼻塞和咳嗽。還可以用媽媽們蒸臉的蒸汽機(jī)讓寶寶的呼吸道滋潤，但蒸汽機(jī)里不能使用自來水或礦泉水，要使用蒸餾水。

接著計(jì)算個(gè)體所受作用力，要計(jì)算個(gè)體所受力，首先計(jì)算個(gè)體的質(zhì)量，質(zhì)量函數(shù)是關(guān)于適應(yīng)值的反比例函數(shù)，即個(gè)體i的適應(yīng)值越小，其質(zhì)量就越大。算法中質(zhì)量函數(shù)可構(gòu)造為:

其中Xbest是取得最優(yōu)適應(yīng)值的位置，Xworst是取得最差適應(yīng)值的位置。

由于VM-APO算法定義了矢量模型，所以若定義Ni={Xj|f（Xj）＜ F（xi），?Xj∈A}，為相對(duì)個(gè)體i較好個(gè)體的集合，Mi={Xj|f（Xj）≥f（Xi），?Xj∈A}為相對(duì)個(gè)體 i較差個(gè)體的集合，‖Xj-Xi‖ =為個(gè)體j相對(duì)于個(gè)體i的距離。個(gè)體j相對(duì)于個(gè)體i的矢量方向表示為= ［rij，1，……rij，n］，其中:

則個(gè)體j對(duì)個(gè)體i的作用力為:

最后更新個(gè)體運(yùn)動(dòng)的位置和速度，個(gè)體i在t+1時(shí)刻的速度和位置迭代方程為:

其中λ是隨機(jī)變量且λ～U（0，1），w為慣性權(quán)重，w∈［0，1］.

3 VM-APO-ODS算法求解約束優(yōu)化問題

本文求解約束優(yōu)化問題時(shí)，首先采用約束保持法，使個(gè)體在迭代過程中都在可行域內(nèi)，然后再利用VM-APO算法進(jìn)行搜索找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。因此初始化種群要求產(chǎn)生Npop個(gè)可行個(gè)體，然而在迭代過程中，個(gè)體有可能跳出問題空間。VM-APO算法對(duì)這些越界個(gè)體的處理方法是將其拉回問題空間的上或下邊界，但這種處理方法改變了個(gè)體的搜索方向，為了保存?zhèn)€體的速度方向這一重要信息，本文引入一個(gè)收縮系數(shù)β*將越界個(gè)體拉回問題空間，并且不改變其搜索方向。此時(shí)所有個(gè)體都在問題空間中，但有可能一些個(gè)體不在可行域內(nèi)，對(duì)不可行個(gè)體采用一維搜索的方法將個(gè)體映射回可行域內(nèi)。

引入一個(gè)收縮因子處理越界個(gè)體。在VM-APO算法中，種群經(jīng)過迭代進(jìn)化后，處理個(gè)體越界的方法如下:

由于第一種處理方法使個(gè)體運(yùn)動(dòng)方向會(huì)發(fā)生改變，為了保持個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向不變，在算法中引入收縮系數(shù)β*將越界個(gè)體拉回解空間。其中當(dāng)個(gè)體i逃離問題空間中的第k維上界（）時(shí)，

故可知要讓個(gè)體i的位置矢量Xi收縮回問題空間，只需要用最小的收縮系數(shù)β*將越界個(gè)體的分量xi，k（k=1…k…n）都拉回問題空間，即:

則個(gè)體i的位置迭代方程如下:

其中β*的取值范圍為（0，1］，經(jīng)過這樣處理后能保證越界個(gè)體都在問題空間內(nèi)。

即使采用上述方法將個(gè)體拉回問題空間，也不能確保所有個(gè)體都是可行個(gè)體，對(duì)于不可行個(gè)體用一維搜索方法在速度方向上找到可行解。首先對(duì)在問題空間內(nèi)的個(gè)體，利用違反約束量函數(shù)φ（X）判斷個(gè)體是否為可行個(gè)體，對(duì)于在t時(shí)刻的可行個(gè)體，若在t+1時(shí)刻不在可行域內(nèi)，將在位置迭代方程中引入一個(gè)系數(shù)（如式（15）所示）α，使得在其速度方向上能找到一可行解，即使個(gè)體i在t+1時(shí)刻的違反約束量最小，如式（16）所示，這其中系數(shù)α相當(dāng)于一個(gè)步長，所以α的確定過程可以用一維搜索方法來代替。

這種一維搜索方法的矢量擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法（The Vector Model of Artificial Physics Optimization Algorithm with one demention search method，VMAPO-ODS），通過利用一維搜索方法，確保種群所有個(gè)體都在可行域內(nèi)。

VM-APO-ODS算法具體流程如下:

Step1 初始化種群。在問題域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生Npop個(gè)個(gè)體，其速度產(chǎn)生也是隨機(jī)值，根據(jù)式（4）判斷個(gè)體是否在可行域內(nèi)，若在可行域內(nèi)保存?zhèn)€體，若個(gè)體不在可行域內(nèi)直接刪除。計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)值，并選出全局最優(yōu)個(gè)體bbest.

Step2 計(jì)算個(gè)體所受力

（1）利用式（5）計(jì)算個(gè)體質(zhì)量。

（2）利用式（7）計(jì)算種群個(gè)體間作用力。

Step3 利用式（8）和式（9）更新個(gè)體的速度和位置。

Step4 判斷個(gè)體是否越界，如果越界用式（13）計(jì)算種群個(gè)體的最小收縮系數(shù) β*，利用式（14）將個(gè)體拉回問題空間。

Step5 利用式（4）判斷個(gè)體是否在可行域內(nèi)，并利用一維搜索找到個(gè)體的新位置，如果個(gè)體在可行域內(nèi)則跳轉(zhuǎn)到Step 6，否則，用式（15）產(chǎn)生新位置重新轉(zhuǎn)到Step 5.

Step6 計(jì)算種群所有個(gè)體的適應(yīng)值，并更新最優(yōu)個(gè)體及其適應(yīng)值。

Step7 判斷是否滿足結(jié)束條件，若滿足，退出并輸出最優(yōu)適應(yīng)值；否則，執(zhí)行Step 2.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了測試該算法的性能，利用經(jīng)典Michalewicz基準(zhǔn)測試函數(shù)［16］來進(jìn)行仿真測試，將VM-APO-ODS算法與文獻(xiàn)［8］中的FAD-ELM算法在同等條件下進(jìn)行比較，VM-APO-ODS算法中采用黃金分割法來實(shí)現(xiàn)一維搜索過程，其中參數(shù)選取為:在式（7）中λ是隨機(jī)變量且 λ ～U（0，1），w∈［0.4，0.9］，w 是隨著時(shí)間t線性遞減變化的函數(shù)，w的公式為:

其中MAXITER為最大迭代次數(shù)。在仿真試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)參數(shù)G的取值對(duì)VM-APO-ODS算法的性能影響較大，并且以下10個(gè)測試函數(shù)的G的取值取經(jīng)驗(yàn)值。

表1 VM-APO-ODS算法與FAD-ELM算法比較最優(yōu)適應(yīng)值和平均最優(yōu)適應(yīng)值Tab.1 The comparison of VM-APO-ODS with FAD-ELM on the results of optimal fitness and average optimal fitness

VM-APO-ODS算法與FAD-ELM在相同實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行測試，選用個(gè)體50個(gè)，實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行30次，每次實(shí)驗(yàn)的最大迭代代數(shù)為7000，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。在測試 g01、g04、g06、g07、g10 時(shí)，VM-APOODS算法在最優(yōu)適應(yīng)值、平均最優(yōu)適應(yīng)值上都優(yōu)于FAD-ELM算法。在測試 g02、g09、g11時(shí)，VM-APOODS算法在最優(yōu)適應(yīng)值上優(yōu)于FAD-ELM算法，在測試函數(shù)g12時(shí)兩個(gè)算法在最優(yōu)適應(yīng)值上都能達(dá)到已知最優(yōu)解，本算法在平均最優(yōu)適應(yīng)值上要略低于FAD-ELM算法。從表1中還可以看出VM-APOODS算法在測試函數(shù)g01、g04、g11、g12都能找到已知最優(yōu)解，在測試函數(shù) g02、g06、g07、g08、g09、g10都能搜索到最優(yōu)解的鄰域，說明算法在求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解上具有較好的求解性能；從方差的結(jié)果看，算法的求解結(jié)果比較穩(wěn)定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明VMAPO-ODS算法是一種有效算法。

5 結(jié)論

本文用矢量擬態(tài)物理優(yōu)化算法結(jié)合約束保存法來求解約束優(yōu)化問題，通過引入收縮系數(shù)處理越界問題，沿著其速度方向?qū)⑵淅貑栴}空間，并采用一維搜索方法確保種群個(gè)體在運(yùn)動(dòng)過程中始終在可行域內(nèi)。仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法是有效的，后期工作將對(duì)VM-APO-ODS算法在求解約束優(yōu)化問題時(shí)平均最優(yōu)值精度的問題，通過選擇不同曲線質(zhì)量函數(shù)，引入多維搜索提高平均最優(yōu)解的精度。針對(duì)G的取值對(duì)算法性能影響較大的問題，可對(duì)參數(shù)G的設(shè)置進(jìn)行進(jìn)一步的研究探討，對(duì)于本算法運(yùn)用到解決實(shí)際機(jī)械設(shè)計(jì)問題是下一步研究工作。

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